专题五 数列解答题的解法

1、专题五 数列解答题的解法第1页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日第二部分高考题型解法训练专题五 数列解答题的解法第2页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日1.近三年高考各试卷数列考查情况统计 2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答试题，处于压轴位置的有6道.由此知，数列解答题属于中档题或难题.当中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道.另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点.专题五 数列解答题的解法试题特点第3页，共36页

2、，2022年，5月20日，1点36分，星期日 2006年的18道数列解答试题中，与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点. 2007年高考的各套试卷中都有数列题，有3套试卷是在压轴题的位置，有5套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，涉及到递推数列的有6道.专题五 数列解答题的解法试题特点第4页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日 综上可知，数列解答试题是高考命题的一个必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题.当中，以函数迭代、解

3、几何曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷点是数列的应用性解答题.专题五 数列解答题的解法试题特点第5页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日2.主要特点： 数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强. 数列解答题大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运

4、用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度.专题五 数列解答题的解法试题特点第6页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日1.考查数列、等差数列、等比数列、数列极限以及数学归纳 法等基本知识、基本技能.2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查 学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会， 进而考查学生的学习潜能和数学素养.3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识 和发挥创造能力提供广阔的空间.专题五 数列解答题的解法试题特点第7页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日应试策略 1.熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是

5、解决数列问题的基础. (1)等差、等比数列的判定： 利用定义判定； an+an+2=2an+1 an是等差数列，anan+2= (an0) an 是等比数列； an=an+b(a,b为常数) an是等差数列； Sn=an2+bn(a,b为常数，Sn是数列an的前n项和) an是 等差数列.专题五 数列解答题的解法第8页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日(2)等差、等比数列的性质的应用：注意下标、奇、偶项的特 点等.(3)已知数列的前n项和求通项公式，这类问题常利用 an= 求解.(4)用递推公式给出的数列，常利用“归纳猜想证明” 的方法求解.(5)数列求和的基本方法： 公式

6、法(利用等差、等比数列前n 项和公式或正整数的方 幂和公式）； 错位相减法(等比数列求和推导的基本方法)； 倒序相加法； 裂(拆)项法等.专题五 数列解答题的解法应试策略 第9页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日2.注意函数思想与方程思想在数列中的运用. 由于数列是一种特殊的函数，所以数列问题与函数、方程有着密切的联系，如等差数列的前n项和为n的二次函数，有关前n项和的最大、最小值问题可运用二次函数的性质来解决.等差(比)数列问题，通过涉及五个元素a,d(q)，an，n，Sn ，利用方程思想，熟练运用通项公式与前n项和公式列出方程或方程组，并求出未知元素，是应当掌握的基本技

7、能.专题五 数列解答题的解法应试策略 第10页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日3.数列问题对能力要求较高，特别是运用能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出. 在高考解答题中更是能力与思想的集中体现，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们的足够重视.专题五 数列解答题的解法应试策略 第11页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日考题剖析 1.（2007湖南省示范性高中模拟题）已知数列an的前n项和Sn=n(2n1),(nN*). (1) 求数列an的通项公式,并证明该数列为等差数列； (2) 设数列bn=S1+ + + (nN*),

8、 试判定：是否存在自然数n,使得bn=900，若存在, 求出n的值；若不存在，说明理由.专题五 数列解答题的解法第12页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解析(1) 当n2时， an=SnSn1=n(2n1)(n1)(2n3)=4n3， 当n=1时, a1=S1=1, 适合, an=4n3， 而anan1=4(n2)， 所以an为等差数列.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第13页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日(2) = 2n1, bn=S1+ + + =1+3+5+7+ +(2n1)=n2, 由n2=900, 得n=30, 即存在满足条件的自然数为

9、30.考题剖析 专题五 数列解答题的解法点评由于题目给出是的Sn与n的关系，故在求通项时 要注意n2与n=1的情况，第2问涉及到的是等差 数列的一个性质，如果Sn是等差数列an的前n项 和，则 也是等差数列.第14页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日2.（2007江苏九大名校模拟题）设等比数列an的各项均为 正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍， 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列 lgan的前多少项和最大？(取lg2=0.3, lg3=0.4) 分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成 等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定

10、是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数 之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可 由函数解析式求最值. 考题剖析 专题五 数列解答题的解法第15页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解析解法1：设公比为q,项数为2m,mN*, 依题意有 化简得 考题剖析 专题五 数列解答题的解法 解 得第16页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lg(a1q2) + +lg(a1qn1) =lg(a1nq1+2+(n1) =nlg a1+ n(n1)lgq =n(2lg2+3lg3) n(n1)lg3 =( )n

11、2+(2lg2+ lg3)n可见，当n= 时，Sn最大.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第17页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日而 = = 5,故lgan的前5项和最大.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第18页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解法2：接前，a1=108, q= , 于是lgan=lg108( )n1=lg108+(n1)lg , 数列lgan是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数 列，令 lgan0,得2lg2(n4)lg30， n = = 5.5. 由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大.点评本题主要考查等比数列的基本

12、性质与对数运算法 则， 等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第19页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日3.(2006开封市高三质量检测)已知数列an满足 2an+1=an+an+2(n=1,2,3,),它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36. (1)求数列an的通项公式； (2)已知等比数列bn满足b1+b2=1+a,b4+b5=a3+a4(a1). 设数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第20页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解析(1)由2an+1=an+an+2

13、an+2an+1=an+1an,则an为等差数列， an=2n1. 考题剖析 专题五 数列解答题的解法第21页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日(2)设bn的公比为q,q3= =a3, q=a. 由b1+b2=1+a, 得 b1(1+a)=1+a,a1，b1=1.则bn=b1qn1=an1,anbn=(2n1)an1, Tn=1+3a+5a2+7a3+(2n1)an1 , 当a1时，aTn=a+3a2+5a3+(2n1)an, 由得考题剖析 专题五 数列解答题的解法第22页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日(1a)Tn=1+2a+2a2+2an1(2n1

14、)an = 1(2n1)an. Tn= . 当a=1时，Tn=n2.点评本题考查等差、等比数列的基础知识，考查利用错 位相减求数列前n项和的方法，注意公比等于1的情 况，考查推理及运算能力. 考题剖析 专题五 数列解答题的解法第23页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日4.(2007南京模拟题）已知等差数列an满足a3+a6= , a1a8= 且a1a8.（）求数列an的通项公式；（）把数列an的第1项、第4项、第7项、第3n 2项、分别作为数列bn的第1项、第2项、第3 项、第n项、，求数列 的所有项之和； （）设数列Cn的通项为Cn=n ，试比较 (n+1)(n+2)Cn

15、+n(n+1)Cn+2与2n(n+2) Cn+1的大小.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第24页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解析（）an为等差数列，a3+a6=a1+a8= ，又 a1a8= 且a1a8 求得a1=1，a8= ，公差d= = an=1 (n1)= n+ ，nN*考题剖析 专题五 数列解答题的解法第25页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日（）b1=a1=1，b2=a4=0 bn=a3n2= (3n2)+ =n+2 = = 是首项为2，公比为 的等比数列 的所有项的和为 = 4考题剖析 专题五 数列解答题的解法第26页，共36页，20

16、22年，5月20日，1点36分，星期日（）Cn=n (n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1=n (n+1)(n+2) +n(n+1)(n+2) 2n(n+1)(n+2) =n (n+1)( n +2)( )= n (n +1)( n +2)= n (n +1)( n +2) (1+22221)= n (n +1)( n +2) (1+ 1)0其中bn+2bn=(n+2)+2(n+2)=2， bn+1bn=(n+1)+2(n+2)=1(n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1考题剖析 专题五 数列解答题的解法第27页，共36页，2022年，

17、5月20日，1点36分，星期日5.(2006郑州市质量预测题) (1)已知函数f(x)=3x2+6x2,Sn是数列an的前n项和，点 (n, Sn) (nN*)在曲线y=f (x)+2上,求an;(2)在(1)的条件下，若bn=( )n1,cn= ，且Tn是数列cn的 前n和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大 值;若不存在，请说明理由.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第28页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日解析(1)点(n, Sn)在曲线y=f (x)+2上，Sn=3n2+6n.当n=1时，a1=S1=3.当n2时，an=SnSn1=96n,an=96n

18、.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第29页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日(2)bn=( )n-1,cn= anbn=(32n)( ) n,Tn=c1+c2+cn= ( )2(32n)( )n,利用错位相减法，得Tn=(2n+1)( )n1.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第30页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日Tn+1=(2n+1)（ ）n0,Tn+1+1=(2n+3)（ ）n+10, = 1，Tn+1+1Tn+1,Tn+1TnT1= .存在最大值T1= .点评本题综合考查了函数与数列的基本知识，考查了等 差数列，等比数列的基本知识及错位相减求和法.考题剖析 专题五 数列解答题的解法第31页，共36页，2022年，5月20日，1点36分，星期日6.(2007海淀区模拟题） 已知函数f (x)= (x2). (1)求f (x)的反函数f -1(x)； (2)设a1=1, =f -1 (an)(nN*),求an； (3)设Sn= + + ，bn=Sn+1Sn是否存在最小正整数m, 使得对任意nN*,有bn 成立？若存在，求出m的 值；若不存在, 说明理由. 考题剖析 专题五 数列解答题的解法