空间与轴对称问题有限元分析

1、空间及轴对称问题有限元概述空间问题(四面体、六面体类)轴对称问题轴对称问题非轴对称荷载1概 述 三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题处理，这时必须按空间问题求解。 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个困难：1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样直观，人工进行离散时很容易产生错误；2）未知量的数量剧增。 建立网格自动生成前处理程序 采用高阶单元来提高单元精度 平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。2空间问题 1 常应变四面体单元形函数 与平面三角形单元相对应，四面体单元内任一点可用“体积坐标”来表示。各子

2、四面体体积 与三角形单元一样，体积坐标为Ti =Vi /V ,三个是独立的，它有“本1，它0，总和1”的性质。P123四面体总体积 (右旋体积正)1234P234P124P134P 剩下来的工作基本和三角形常应变单元类似。作业：自学单元列式内容。3空间问题 2 十结点（二次）四面体单元形函数 类似于平面六结点二次三角形单元，采用试凑法建立结点的形函数。T1T2T3O12345678N1=a785234=a(T1-1/2)T1 为使N1满足本点为1，可得a=2，代回后得N1 =T1 (2T1-1) 余者类似，也可按如下通式得到：式中p为形函数阶次，分子为不通过i点的平面方程左端项，分母中括号内为

3、i点体积坐标。请大家自行验证！4空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 先划分成六面体再分为四面体1243568714671246143748761）六面体划分为5个四面体A5型1467间连6根对角线 15675空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 1）六面体划分为5个四面体1243568712352568243835872358B5型2358间连6根对角线 相邻六面体必须一个为A5另一个为B5共同点相对面对角线相互空间交叉6空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687124356435687连47、76、636874、5673、4763连

4、23、25、632351、3562、3642A6型以折面3564分7空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连35、52、633562、5673、2351连47、46、633764、6874、3642A6型以折面2376分243687123567两种A6划分结果完全相同8空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连23、35、452453、4753、2351连45、46、674562、5674、6874B6型以折面2475分2456871243579空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2

5、）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连47、76、544753、5674、6874连32、25、542351、4352、4562B6型以折面3465分124356435687两种B6划分结果也完全相同作业：P.95给出了由六面体8个角点点号，按式(4.1.25)求A6和A5型四面体结点号的方法。请考虑B6和B5型的计算公式。10空间问题 4 六面体类单元的形函数 1）八结点单元12345678类似平面问题矩形线性单元，由试凑法可建立形函数如下：2）二十结点单元和平面问题一样，基于试凑法，可以根据上述八结点低阶单元形函数构造各顶点形函数。123456789101112141720作业

6、：32结点三次单元11空间问题 5 五面体类单元的形函数 1）试凑法建立六结点形函数用于与六面体单元联合，解决边界形状不规则物体的分析。课堂练习：建立15结点五面体单元形函数。2）三维等参元列式 基本思想和平面问题一样，具体列式参看P.101P.104。L1L231264512轴对称问题 工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1 离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，2 应力与应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，径向为

7、r 轴，环向为轴。 因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。 因此可用的单元与平面问题一样。13轴对称问题 在柱坐标下轴对称问题的几何方程为根据具体单元,代入所建立的位移模式,即可得应变矩阵B。轴向位移径向位移 教材上有推导的示意图，参考弹性力学。由于算子中有1/r，所以三角形环单元B不再是常数矩阵。14轴对称问题 根据具体单元，即可得应变、应力矩阵等。 D = 0式中对称对线弹性问题，在上述应变分量条件下，物理方程为 以三角形环单元为例，其位移模式为15轴对称问题 根据轴对称问题的算子矩阵，单元应变矩阵为应力矩阵： 由于应变矩

8、阵的特点，应力分量中除剪应力为常量外，其余三项正应力均不再是常数。16轴对称问题 由于B 中含有坐标变量，因此积分运算较平面问题复杂，精确积分参见Zienkiewicz (Finite Element Method, 5th Ed，2000)。 教材上对三角形环单元具体介绍了ke和FEe的有关计算过程。请自学相关内容。 单元刚度矩阵仍可按照平面问题的方法建立，但需注意体积积分应在整个环上进行。 实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。如何进一步改进积分精度？17轴对称问题等参元分析 教材上P.111具体给出了单刚和等效荷载结果。单元位移

9、场：单元描述：圆柱坐标系下雅可比矩阵：应变矩阵：18 如果轴对称体上作用的非轴对称荷载，如烟囱上作用的风荷载及地震荷载等，此时结构的位移、应变和应力将不再是轴对称的，需按照空间问题求解。轴对称问题非轴对称荷载此时求解费用将大大增加，如何进行简化？ 采用半解析有限元方法，将此类问题化为若干轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用的一般荷载P(r,z,)沿三个坐标轴方向分解，并沿方向展开成付氏级数：轴对称对称反对称扭转19轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载的分解： R0、Z0 与无关，是轴对称荷载；T0 与无关、沿 方向，是扭转荷载；Ri(r,z)cosi等是关于=0平面的对称荷载；Ri(r,

10、z)sini等是关于=0平面的反对称荷载；对称反对称20轴对称问题非轴对称荷载将位移作类似的分解： u0、w0 轴对称位移；v0 扭转位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是关于=0平面对称的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是关于=0平面反对称的位移。轴对称对称反对称扭转21轴对称问题非轴对称荷载 对称荷载作用下的计算： 对称荷载引起的位移是对称的：22轴对称问题非轴对称荷载 由于荷载非轴对称，因此一点的应变分量将有6项。采用虚位移原理或势能原理建立单元的刚度矩阵与等效荷载矩阵,公式显式表达式见教材P.115116.(4.4.114.4.4.18)。基于三角函数的正交性，单元分析得到