高代复习习题

1、填空题每小题三分，共27分， 选择题每小题三分，共18分， 解答题共四题，共55分。了解线性变换在不同基下的关系，会求矩阵的若尔当标准形，理解正 交矩阵的性质，掌握欧式空间中向量的长度和夹角的性质， 会求矩阵 的秩，掌握实对称矩阵的基本性质，掌握求欧式空间基的度量矩阵， 能够求线性变换在基下的矩阵，掌握线性空间的定义和一些基本的线 性空间，掌握欧式空间中正交变换的性质， 会求线性空间的维数和一 组基，对于实对称矩阵会求正交矩阵使得该实对称矩阵正交相似于对 角阵，掌握矩阵的特征值与矩阵的行列式和迹的关系，会求矩阵的最小多项式，理解矩阵可对角化的条件，掌握矩阵特征值和特征向量的 性质，掌握对称变换

2、的性质，会证明空间的子空间的和是直和，掌握双性性函数的性质一.填空题ai bi ci1、设线性变换在基 2,%下的矩阵为a? b2 C2 ,则 在基a3 ba C3的,k孙的（k是非零数）下的矩阵为2、欧式空间中对称线性变换在标准正交基下的矩阵是3、若A是n级正交矩阵，曲如，厮是A的n个列向量，那么 出、的,，厮是欧式空间Rn的.1001004、设Aa10, Bx10,则A,B相似于对角矩阵的充分cb1zy2必要条件是5、设A是一个正交对称矩阵，则A必相似于对角矩阵6、设111,1 ,%2x,y,1，曲 01,z是3级实对称矩阵矩阵A的属于3个不同特征值的特征向量，那么x,y,z的值分别为7、

3、设向量a , B两两正交，那么 a B 丫 =18、设1,2,3是三级矩阵A的特征值，则 A1 A 9、在欧式空间R3中，基g1,1,1，的 1,2,1，电0,1,1的度量矩阵为10、设4阶矩阵A的特征多项式为 入1入23 ,则矩阵A可能相似的若当标准形有11、设A,B分别是欧式空间 V中两组基的度量矩阵，那么A与B12、入E A与入E B等价的充要条件是 A与B2 b2213、设1, 4是矩阵A的两个特征值，则1 卜a 1=.14、设三级矩阵A的特征多项式f入 入EA 23 2；2 3入5,则A115、设A 24 a的特征值是16,4卜2,若A相似于对角矩阵,33 5则a 12 0 016、

4、矩阵A 1 0 0 0的最小多项式为0 0 2 00 0 1217、在PXn中，线性变换 f X fX, f X PXn,在基1,X,X2, ,Xn1下的矩阵为a c 18、V|a,b,c R是实数域R上全体2阶对称矩阵关于矩阵的c b加法和数乘构成的线性空间，令A 1 0 A 1 1 , A V,那么关 TOC o 1-5 h z 110 1于基1 , 1 , 的矩阵是 0 01 0 0 11、若矩阵A,B相似，则下列说法不正确的是（）它们有相同的特征值它们有相同的特征向量它们有相同的最小多项式它们相同的秩2、设A是正交矩阵，下列说法不正确的是（）A A1|A 1 A*也是正交矩阵A的特征值

5、为13、若矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是（）A2与B2相似对任意数a, aE A与aE B相似A与B同时相似于对角形A与B有相同的若当标准形4、设R是实数域，下列集合不构成实数域上线性空间Rn的子空间是（ ） n Vai,a2, ,an Rna1 0 Va色，自 Rn aj 0j inVai ,a2, ,an Rn jaj 0j i nVai,a2, ,an Rn aj 1j i5、设A, B是线性变换 在两组基下的矩阵，那么下列最恰当的说法是（）A与B相似A与B合同A与B有相同的特征值A与B有相同的行列式6、设A,B都是n级正交矩阵，且A |B 0,那么行列式|E AB的值（）等于零

6、不等于零大于零 小于零7、如果A是n级实反对称矩阵，那么对任意n维实向量x,内积x, Ax等于零不等于零大于零或等于零小于零或等于零8、如果A是n级实反对称矩阵，那么 A的特征值为（）实数 i 零零或纯虚数9、下列说法不正确的有（）1）正交变换的逆变换是正交变换；2 ）正交变换的乘积是正交变换；3）正交变换保持向量的夹角不变；4 ）正交变换保持向量的内积不变；5）正交变换保持向量的长度不变；6 ）正交变换保持向量的距离不变.3个2个1个0个10、如果A是n级实对称矩阵，那么下列说法不正确的是（）A的特征值为实数A的特征值大于零A的属于不同特征值的特征向量必正交A的属于不同特征值的特征向量必线性

7、无关11、设A是n级复矩阵，下列说法中，（）不是矩阵A相似于对角形的充要条件A有n个线性无关的特征向量A的初等因子全是一次的A有n个不同的特征值A的不变因子都没有重根12、设 是欧式空间中的对称线性变换，那么下列说法不正确的是的特征值为实数在任意基下的矩阵是实对称矩阵 的不变子空间的正交补也是它的不变子空间 的属于不同特征值的特征向量必正交13、设儿不是实对称矩阵A的两个不同的特征值，而己是A的属于1的特征向量，,是A的属于4的特征向量，那么（） , B必践性无关 , B必两两正交D %, B 3,0B , E 014、设2是三级实对称矩阵A的三重特征值，那么A必与下列矩阵（相似2 0 01

8、2 00 1 22 0 00 2 00 0 22002)02001215、设a,是相互垂直的实向量，则下列式子不成立的是（15、在线性空间P3中，定义线性变换X1,X2,X3X1, 2X2 X3, 3X2 ,求一组基使得线性变换 在此基下的矩阵为对角形。16、求数字矩阵的若当标准形17、求矩阵的最小多项式18、求正交矩阵T,使得T1AT TAT为对角形（A为实对称矩阵）19、V Pn n是数域P上所有n级矩阵组成的线性空间，令V1A V证明：V V1 V2.A A , V2A V20、V是数域P上线性空间，是V上线性变换，且2 ，令V1aV(ra 0 , V2aV(ra a证明：V V1 V2.21、设Vi与V2分别是齐次线性方程组Xi X2Xn 0与Xi X2Xn的解空间，证明，Pn V