高中数学必修二 8. 简单几何体的表面积与体积（精讲）(含答案)

1、8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲)思维导图常见考法考点一 旋转体的体积【例1】(2021山东莱西高一期末)在中，若将绕边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是_【答案】【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以，所以旋转体的体积: 故答案为：【一隅三反】1(2021湖南省邵东市第三中学高一期中)圆台上、下底面面积分别是、，高为，这个圆台的体积是( )ABCD【答案】D【解析】由题意故选：D2(2021山东任城高一期中)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放

2、米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_斛【答案】12.5【解析】设圆柱的底面半径为r尺，则2r6，r4，圆锥的体积V20立方尺，堆放的米约有12.5斛故答案为：12.53(2021上海市七宝中学)已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_.【答案】【解析】由题意圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，则，所以高为，体积为故答案为：考点二 旋转体的表面积【例2】(2021吉林延边二中高一期中)如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底

3、面挖去一个圆柱，(1)求剩余几何体的体积(2)求剩余几何体的表面积【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，所以.(2)因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线，所以圆锥的表面积为，挖去的圆柱的侧面积为：，所以剩余几何体的表面积为.【一隅三反】1(2021广东仲元中学高一期中)已知一个母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的侧面积为( )ABCD【答案】D【解析】将圆心角化为弧度为：，设圆锥底面圆的半径为由圆心角、弧长和半径的公式得：，即由扇形面积公式得：所以圆锥的侧面积为.

4、故选：D.2(2021全国高一课时练习)已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180，则这个圆台的侧面积为( )A600B300C900D450【答案】A【解析】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解得，所以圆台的侧面积.故选：A3(2021全国高一课时练习)圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为10，则圆台的表面积为_【答案】【解析】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为，下底面半径为，高为则，则它的母线长为，所以，故，.故答案为：考点三 多面体的体积【例3-1】(2021全国高一课时练习)如图所示，

5、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是( )ABCD1【答案】A【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，三棱锥D-ACD1的体积为V=111=.故选：A【例3-2】(2021全国高一课时练习)若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528，体积为14，则棱台的高度为( )A8B4C2D2【答案】C【解析】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h=4x，由棱台的体积公式得：，解得，棱台的高为h=4x=2.故选：C【一隅三反】1(2021全

6、国高一课时练习)设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为( )A12B24C4D30【答案】C【解析】所求的体积为，故选：C.2(2021全国高一课时练习)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于( )ABCD6【答案】C【解析】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，故由公式可知，棱台的体积是，故选：C.3(2021全国高一课时练习)若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为( )AB1C3D9【答案】D【解析】设四棱锥的高为h，则由锥体的体积公式得：3h=9，解得h=9，所以所求高为9.故选：D4(2021广东仲元中学高一期

7、中)如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为( )A1：5B1：4C1：3D1：2【答案】A【解析】由图知：，而，剩余部分的体积为，棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A考点四 多面体的表面积【例4】(2021全国高一课时练习)正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为()ABCD【答案】B【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.故选:B.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( )A12B48C64D72【答案】D【解

8、析】六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高，棱柱的侧面积，故选：D2(2021全国高一课时练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A11B1C1D12【答案】C【解析】设正方体的边长为，则表面积，因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线则面对角线长为，三棱锥D1AB1C的表面积，所以.故选：C3(2021全国高一课时练习)长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( )A12，32B12，24C22，12D12，11【答案】A【解析】长方体的体

9、积为，表面积为，故选：A.4(2021全国高一课时练习)(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是( )A正三棱锥高为3B正三棱锥的斜高为C正三棱锥的体积为D正三棱锥的侧面积为【答案】ABD【解析】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，故,故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.5(2021全国高一课时练习)(多选)在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比不可能是( )ABCD【答案】ABD【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为.三棱锥为各棱长均为的正四面体，其中一个面的面积为，则三棱锥的表面积为 所

10、以三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为.故选：ABD.考点五 有关球的计算【例5-1】(2021全国高一课时练习)长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )AB56C14D16【答案】C【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得长方体的体对角线长为，其外接球的半径为故选：C【例5-2】(2021广东高州高一期末)已知正四面体的表面积为，且、，四点都在球的球面上，则球的体积为( )ABCD【答案】C【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，

11、若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为故选：C.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)表面积为16的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为( )ABC16D8【答案】A【解析】由题意可知，4R216，所以R2，即球的半径R2设圆柱的底面圆半径为r，则，即，所以r，V圆柱r22r224故选：A.2(2021全国高一课时练习)若一个正方体内接于表面积为4的球，则正方体的表面积等于( )A4B8C8D8【答案】B【解析】设正方体棱长为，球半径为，则，解得，正方体的体对角线为，所以，解得.所以该正方体的表面积为.故

12、选：B.3(2021全国高一课时练习)(多选)我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是( )A半径是3B体积为C表面积为D表面积为【答案】ABC【解析】如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为，是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为，棱锥体积为，半球体积为，表面积为，故选：ABC4(2021全国高一课时练习)一个球内有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和2，求球的体积和表面积【答案】球的表面积为，球的体积为【解析】(1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由截面性质知，为两

13、截面圆的圆心，且，设球的半径为，因为，所以，同理得.设，则，在中，在中，联立可得，所以，.(2)当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，分别为两截面圆的圆心，且，设球的半径为，因为，所以因为，所以设，则在中，在中，所以，解得(不合题意，舍去)综上所述，球的表面积为球的体积为考点六 综合运用【例6】(2021全国高一课时练习)一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角)，然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示

14、为关于的函数，并标明其定义域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”请指出此时的值(不用说明理由)，并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积【答案】(1)；(2)，【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高，其底面积，则三棱柱容器的容积，即所求函数关系式为；(2)此时，而相应棱柱的高，故侧面积为【一隅三反】1(2021安徽镜湖高一期中)如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.【答案】表面积

15、，体积为.【解析】设圆的半径为，扇形的半径为，由题意，得，解得.所以围成的圆锥的母线长为，底面半径为，高为圆锥的表面积；圆锥的体积为.2(2021全国高一课时练习)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).【答案】36【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.S表2S下S侧222422()21236，该几何体的表面积为36.3(2021全国高一课时练习)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?【答案】(1)(m3)，96(m3)；(2)32(m2)，60(m2)；(3)方案二比方案一更加经济.【解析】(1)若按方案一，仓