运用图示语言提高小学生解决问题能力的研究

1、运用图示语言提高小学生解决问题能力的研究课题结题报告执笔： 苏州外国语学校蔡杰一、课题的提出数学是研究数量关系和空间形式的科学， 2011 版数学新课标中指出： “作为基础教育的重要组成部分，数学教育的目标主要有两个方面，一是使学生掌握现代生活和学习所需要的数学知识与技能。二是培养思维能力和创新能力，发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。”解决实际问题内容的教学是培养学生思维能力、实践能力和创新意识最重要的载体。苏教版新课标实验课本中重新设置教学内容，改变了教材编写的思路，没有专门的应用题单元的教学，把解决实际问题放在计算教学中教学，把应用题作为计算的实际应用，加强了数学与生

2、活的联系，提高了学生的实际应用意识。但没有专门而系统的解决问题的教学，学生解决问题的方法的掌握和解决问题的能力较之以前有一定程度的降低。如何在现行教材现状下提高学生的解决问题的能力呢，这就是我思考的起点。解决问题的关键主要是要让学生正确理解题意，找到条件和问题之间的数量关系，找到解题思路。而通过图示语言来帮助理解题意，找到解题思路，是解决问题最有效的手段，对提高解决问题能力有很大帮助。“解决问题的策略”是苏教版教材编写的一大特色， 因为删减了“应用题”的教学，所以苏教版教材从四年级开始，每次教材都安排了一个“解决问题策略”的单元。主要意图是教给学生解决问题的基本方法和常用的策略，提高解决问题的

3、能力。所以本课题在研究运用图示语言提高学生解决问题能力的切入点是结合苏教版教材的“解决问题的策略”单元进行的，做到与课堂教学例题教学相结合，研究的内容是苏教版课本中四到六年级教材中各个“解决问题的策略”单元的例题和习题。既是对解决问题单元教法的探索，同时也对学生学法的研究。从教和学两个方面对提高学生解决问题能力的方法进行了研究，着力提高学生建模能力和数学素养。二、课题的界定1、图示语言图示语言作为一种直观的语言符号，有它的双重特性。它比语言文字的表述更简洁、更直观，能有效的过滤掉问题情境中的凌乱的、情节性的、非本质的信息，使得问题情境数学化，凸显问题情境中的数量关系，具有形象具体又简单抽象的双

4、重性的特点，能够有效地帮助学生找到解决问题的方法和思路。图示语言可以是线段图、表格，也可以是几何 图形，也可以是用字母和文字表示的等量关系式，也可以用字母、方框、箭头等直观的符号表示的示意图。2、解决问题的能力这里所指的解决问题的能力是指结合苏教版教材中解决问题策略单元的各类实际问题，这些实际问题的数量关系比较复杂或者隐蔽。提高学生解决数学问题的能力关键需在从“问题情境”到 “解决问题”这个通道上建立一个中介，去帮助学生理解、分析问题中的数量关系，而图示语言就是一个很好的中介和桥梁。通过这个中介能提高学生解决问题的能力。另外通过图示语言分析数量关系还能提升思维品质，有利于数学素养的培养。三、课

5、题研究的理论依据1 、 2011 版新课程标准中对于“几何直观”核心概念的阐述数学新课标中对“几何直观”这一核心概念这样解释：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简单、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用”。 这里的“几何直观” 在实际运用中就是指各种数学图示语言。所以用图示语言进行分析问题在解决实际问题的教学中作用是极其重要的，数学知识和数量关系是高度概括和抽象的，尤其是到了高年级更是如此，教师在教学中更要注意发挥几何直观的作用，让学生更好的理解数学知识，提高解决问的能

6、力，不仅如此，通过“图示语言”对培养学生的抽象思维和推理能力、理解知识形成的过程、分析问题的方法等各方面的数学素养都有重要作用和价值。2 、教材主编沈重予老师撰写的加强对解决问题基本策略的研究和教学苏教版教材主编沈重予老师讲解教材编排意图时讲到解决问题策略教学的目的是让学生学会解决问题的常用思考方法，发展学生的数学思维，积累经验和解决新颖的、比较难的问题的信心和能力，重点在于交给学生分析较复杂的数学问题的方法。而运用“图示语言”分析就是其中主要的方法，所以探索在解决问题单元教学中“图示语言”的运用是非常有必要的。3、张丹、白永潇在小学教学（数学版）对新课标十大核心理念的的解读的连载文中指出“几

7、何直观”它应该具备直观具体和简单抽象的双重特点，才能给学生在解决问题的通道上建立起有效的支撑。著名数学家M 阿蒂亚指出：几何直觉是增进数学理解的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。特别要指出的是几何直观不仅在“图形与几何”的学习内容中发挥作用，而且在解决数与代数、综合与实践等各领域的数学问题中都能发挥重要作用。另外张兴华老师的小学数学教学心理学、朱永新教授的新教育之梦系列丛书等著作中都讲到形象直观对于学生学习数学的作用。四、课题研究的目标结合苏教版小学数学教材四到六年级“解决问题的策略”单元的例题和习题的教学进行研究。主要包括四年级上册“列表的策略”，四年级下册“画图的策略”，五年

8、级上册“一一列举的策略”，五年级下册“倒推的策略”，六年级上册“替换的策略”，六年级下册“转化的策略”。通过研究，让学生掌握各种数学图示语言理解题意、分析问题的方法。能合理运用合适的图示语言来帮助理解题意，分析数量关系，从而提高解决问题的能力和素养。具体研究目标分以下三个方面：1 、各单元内容用什么形式的图示语言来帮助理解和分析解决问题。2 、如何让学生学会运用图示语言分析问题。让学生学会比较不同图示语言的优点和长处，会灵活选择合适的图示语言解决问题。3、图示语言对提高学生数学素养的作用。五、课题研究的方法与步骤在研究过程中，我们主要采用了以下研究方式：活动研究法（主要活动有：上研究课、课后的

9、答辩式评课和教学论坛、校园网络平台上的发贴跟帖讨论）、经验总结法、讨论思辩法，文献资料法，对生活化数学教学的模式、生活化教学资源的开发和利用，进行深入的研究。研究步骤具体如下：第一阶段：（2012 年4月2012 年5 月）制定课题方案，确立课题组成员、收集相关资料，理论学习、做读书笔记。第二阶段：（2012 年6月2013 年6 月）按计划操作，开展实践研究，结合理论学习，上研究课，开展讨论交流，在研究过程中不断地探索并及时总结，教师做好资料积累，及时收集与课题相关的教案、课间、教学反思、经验论文等资料。第三阶段：（2013 年7月2013 年8 月）做好课题资料的整理，完成结题报告。六、课

10、题研究的体会和思考从 2013 年 6 月起，本课题组成员按照课题方案中的操作计划开展了研究活动，在实践研究过程中，我们注重以理论指导实践，以实践促进反思，提高认识，取得了一定的成效，现总结如下：（一）探索了各年级段解决问题策略单元中运用的图示语言解决问题的方法。1 、有意渗透，让学生喜欢图示语言在低年级时还没有提到解决问题的策略，但有些较复杂的实际问题就已经需要用图示语言来帮助分析理解了例如 “妈妈买来一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盘里还剩下3个，妈妈原来买了多少个桃？”一些学生对逆向思考的数量关系难以理解，教学时教师可以画出用正方形表示的示意图，帮助学生理解题意。有了这个 模

11、型的支撑，学生很容易推想原来桃子的个数，3X2=6 （个），6X2=12 （个）。解答完成后老师再让学生说说画示意图分析的好处，也让学生学着画一画。在低年级的解决问题的教学中，教师首先要有意识引导学生学会看懂图示语言，体会到示意图的既简洁又形象， 容易找到解决问题的思路，让学生对图示语言产生好感和画图的愿望。并且鼓励学生解决问题时多画画图帮助分析题意， 培养画示意图解决问题的意识。2、有效引导，让学生学会运用图示语言从四年级开始，苏教版教材正式编排“解决问题策略”单元的教学。“列表整理解决问题的策略”是解决问题策 略的起始单元，表格是一种常用的图示语言，列表整理问题中的信息是解决问题基本的策略

12、。所以这一单元不单是要教 会学生解答“归一”和“归总”数量关系的数学问题，而要承担更多的教学任务，让学生喜欢图示语言，产生画图的需 要，学会列表的方法，体会到列表画图的好处和作用。首先要让学生产生运用表格这种图示语言的需要。课堂引入环节可设计让学生看用文字抄写的课程表与表格整理后 的两种课程表，从中很快找到星期三第三节课是什么课的活动环节。通过对比让学生发现用列表的方法整理信息能更清 楚明了，这样设计能够重视学生的内心感受，让学生真正产生列表整理的需要。小明3本18元小华5本?元二是要让学生经历列表整理条件和问题的过程，锻炼列表的能力。用列表格方法整理信息，重点是要指导学生学会 收集题目中的条

13、件和问题，并按一定的顺序填写在表格里。因此在学习列表整理条件和问题时分三个层次进行教学，首 先师生讨论表格中需要整理的哪几个方面的内容，让学生有个思考方向，并尝试整理；然后汇报整理的结果，对学生不 同的整理结果进行比较，怎样摘录更好；让学生再次修改自己的表格，学会列表整理方法；最后把整理过的条件问题和 原题进行比较，体会列表的优点简洁有序，学会列表整理的方法。三是组织对比、体会列表的优点，增强运用图示语言的意识。让学生体会列表策略的价值, 并自觉应用这一方法解决问题也是本单元的重点，要适时引导学生对比、反思总结。通过对简 化的表格的认识，使学生明白列表整理信息更简洁有序，从而形成自愿运用列表法

14、解决问题的 积极情感。3、重视训练，让学生养成用图示语言分析问题的习惯苏教版教材四年级下册的解决问题策略单元安排的是几何图形面积和行程问题的实际问题的教学。解决这些问题 时，运用图示语言来帮助理解分析就显得更加重要了。所以教学中要充分制造让学生画示意图的机会，让画示意图成为 学生的一种习惯。比如教学例题“梅山小学有一块长方形花圃，长 8米。在修建校园时，花圃的长增加了 3米，这样花圃的面积就增加了 18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？ ”时，先让学生说说读了一遍后觉得已经理解了题意同学举手，显然举手的人不多。老师接着说：“遇到这种比较复杂的面积计算的问题，大家觉得应该怎么办，有没有好的 方

15、法帮助我们来理解题意？”从而引出画出示意图来帮助分析。看到示意图，学生很容易就理解了题意。这时再让学生 自己学着画一画示意图，并最终解决问题。最后请学生交流解题思路时，带领学生反思回顾在刚才解决问题的过程，让 学生体会到画图的价值和作用。比较复杂的行程问题，关系到两个物体的运动方向和路程，数量关系比较复杂，此时用箭头、线段来表示行走的方 向和路程能直观形象的表示出路程之间的数量关系。通过相对而行、相背而行、同向而行的行程问题能锻炼学生画线段 图的能力。例如“一艘货轮和一艘客轮同时从南京开往武汉。客轮每小时行23千米，货轮每小时行28千米。经过20小时货轮到达武汉，客轮距离武汉有多少千米？”这个

16、问题，学生自己根据题目的叙述，逐步画出线段图，学生就会知 道，要求客轮距武汉有多少千米，就是求货轮与客轮的路程差。从而列出算式28X2023X20=100 (米)，示意图的作用显而易见。像这样的数学问题还有很多，比如圆形、组合图形等复 杂的图形面积计算问题，画示意图几乎成了学生最好的助手。通过平时课堂中有意识的训练，让学生养成边读题，边画 示意图的习惯，会给学生解决问题的带来很大的好处，同时在这样训练的过程中学生解决问题的能力也有了进一步提高。4、突出优势，提升学生运用图示语言解决问题的能力倒推解决问题的策略是五年级下册的内容，对于较复杂的倒推问题，学生却不容易理解其中的数量关系。所以教会 学

17、生画倒推示意图来分析题意尤为重要。倒推问题的种类很多，不同的示意图对理解题意解决问题的帮助大小也不同。 所以在教学画示意图时要引导学生比较选择，体会不同示意图对解决问题的作用，从而画出合适的示意图解决问题。(1)单一数量变化的倒推问题，用方框和箭头的方法来画示意图比较合适。比如，“小明原来有一些邮票，今天有收集了24张,送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？”画出这种方框加箭头的图让人更加容易理解。遇到比较复杂的单一量倒推的问题，用这种方框和箭头的示意图分析更能体现它的作用。又如“李白喝酒”的一道趣题，“李白街上走，提壶去买酒。与店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问

18、此壶中，原有多少酒？”学生通过顺着题意画出这样的箭头方框示意图，就不难一步一步倒推算出原 来酒壶中有0.875斗酒。(2)“比一半多几或少几”的倒推的问题，用画线段图的方法分析学生更容易理解。比如，“小明看一本故事书，已经看了一半还少 3页，还剩53页没看。这本书有多少页？ “引导学生画出这样的线段图来理解题意，显然学生就比画方框箭头的示意图来得直观，容易理解。学生很容易明白是用“ 533”求出这本书一半的页数，而不是“ 53+3”。再如“一群小蚂蚁搬家，原来存有一堆食物，第一天运出总数的一半少12克，第二天又运走剩下的一半多12克，结果还有22克食物没有运走。蚂蚁家原来有食物多少克？” 这道

19、题中画线段图时，把表示第一天运走剩下的食物移下来重新再画，就比在同一条线段上接着画更清楚，更好理解。通过下面的线段图我们可以套推出第一天后剩下的食物的重量，用（12+22） X 2=68 （克），再根据上面的线段图，可15天14天13天12天11天8cm4cm2cm1cm0.5cm以倒推出原来食物的重量，（6812） X 2=112（克）。（3）有些倒推问题用表格示意图更简单、清楚。比如，“一种毛毛虫，从幼虫长到成虫身长每天增加一倍，到第 15 天时长到8厘米。问第几天长到0.5厘米？”这个问题用列表的方法来 解决会更清楚有效。（4）多种数量变化的倒推实际问题，用多行方框加箭头的示意图来表示会

20、更有效。比如，“有一个书架有上中下三层，共有 360本图书。从上层拿30本到中层，再从中层拿45本到下层，再从下层拿35本到上层后，三层的图书同样多。原来三层上各有多少本书？”这道题中的有三个数量，都有两次变化，比较复杂。引导学生用方框和箭头示意图的方法，画出三层中图书的变化情况，问题就一目了然。看着这个示意图，学生不难列出算式。上层“120 35+30=115 （本）”，中层“120+ 45-30=135 （本），下层120+ 3545=110 （本）”。总之，培养学生运用图示语言解决问题是一个长期的过程，老师要在平时的教学中有目的、有计划地持续训练，让学生喜欢图示语 言，体会画图示语言的好

21、处，养成运用图示语言来分析问题的习惯，从而提高分析解决实际问题的能力。（二）探究了运用直观图示语言分析问题对提高学生数学素养的作用。在研究的过程中，发现学生运用直观图示语言分析问题之后，不但解决问题得到提高，而且在理解数学知识、培养思维能力、建立 模型思想等诸多方面的数学素养也得到相应提升。1、运用直观图形展示思维的过程，让学生更好地理解知识新课标中指出：“数学学习内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成过程和蕴含的数学思想方法。”因此教学中“既要重视结果，又要重视获取知识过程”已经是老师们的共识， 向学生展示知识形成的来龙去脉，更有利于学生解数学知识。比如教学“转化”策略新授课，“回顾我们

22、曾经运用转化 策略解决过哪些问题“这一环节时，通过提问启发，学生回想到以前在学习平行四边形、三角形、梯形、圆形等平面图 形的面积计算时都用到了转化的策略，把未学过图形面积转化成已学图形面积进行计算。师生在交流时如果仅仅靠语言 叙述，显然不够清楚，不能很好讲清体现转化的过程。在这里就要运用直观的演示的方法，根据学生回答用课件同步演 示（如图1）,展现转化的具体过程，帮助学生有效理解“转化”的内涵。在教学用转化策略“求不规则图形周长”时，有这样一个 问题（如图2）。显然，用常规思路把这个图形的每一条边的长度加起来计算它的周长，条件是不够的。启发学生讨论， 利用转化策略可以转化成什么样的图形来计算周

23、长。在师生交流的中及时运用课件动态演示，将边平移转化成长方形的 过程（如图3）,有效的在学生的头脑中建立了平移转化的表象，帮助学生准确理解平移转化的方法。在这个教学过程 中用图形直观、动态的演示转化的过程就比语言的描述更有效。2、运用直观示意图分析问题，让学生学会分析问题的方法“培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”是数学教学的一个重要目标。复杂的数学问题 往往数量关系比较抽象、隐蔽，让学生学会画直观示意图分析问题是非常重要的。通过用直观的示意图，可以把问题情 境中的条件和问题用直观的图形、符号把问题呈现出来，可以把的看不见的思维过程显现出来、固化下来，对于学生进 一步思考

24、、发现思路，都有很大的帮助。所以教学中要教会学生运用直观示意图，来分析分析问题，找到解决问题的方 法。比如教学课本练习十四有这样一道习题，“有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有是白子。这三堆棋子一共有白子多少枚？”在引导学生探讨解决问 题的思路时，学生发现根据“第三堆的白子是60的”能算出第三堆白子的个数，而“第一堆和第二堆各有多少个白子” 题目中没有说明，只看文字叙述学生感觉理不出头绪。此时，我启发学生用线段图画一画，表示出第一段和第二堆中的 黑子和白子，看看有什么发现。学生画出线段图后马上就找到解决问题的方法了（如图4）。根据题意，第一堆和第二堆棋子的总数同样

25、多，而第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，那么反过来第一堆的白子和第二堆的黑子也是同样多的。通过线段图，学生发现第一堆的白子和第二堆的白子加起来正好等于一堆围棋子的个数，是 60个，不需要去求第一堆 和第二堆各有多少个白子，就能算出三堆棋子中一共有多少个白子了。通过直观的线段图学生就理解了隐含在文字中的 数量关系。图5在解决数量关系较复杂的数学问题时，让学生学会运用画示意图来的分析数量关系，学生也就掌握了解决实际问题 的一个重要法宝。3、发挥数形结合优势，帮助学生对算理深层建构在解决一些有关代数领域数学问题时，通过老师的指导，学生能掌握解题方法，但对算理理解较难深入，常常是知 其然，而不知其所以

26、然，停留在模仿的阶段。华罗庚先生曾形象的讲过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结 合百般好，割裂分家万事休。”教学中有些代数问题转化成图形来思考，常常会有很好的效果，能帮助学生对知识进行 深层建构，加深对算理的理解。比如，在教学课本第72页例题“+ + +”简便算法的算理时，启发学生思考这个算式为什么可以转换成1-来计算，用图形来帮助讲解，就很清楚。用一个正方形表示单位“1”，把正方形平均分成2份，其中的1份就表示。把剩下的再平均分成 2份，1份就表示，再把剩下平均分成2份，其中的一份表示，最后把平均分成2份，1份表示，最后剩下的部分也是（如图 6）。通过画图学生就能理解“求这 4个分数

27、相加的和“转换角度看，也可以用单位“1”减去空白部分，用1-来计算更方便。用数形结合的方法，学生就理解了简便算法的算理。为了加深对算理的理解，再提出“+ + +”，能不能用 1来计算，引发学生进一步思考。让学生自己尝试画示意图，做出解释（如图7）。学生通过画图，很清楚的看出，如果用 1 ,算出来结果里还多加了一个，结果就不正确了。从而使学生认识到这样的分数连加算式的简便计算，必须有特定的条件，必须从开始加起，而且后一个分数的分母要是前一个分母的两倍，才能转化成“用1减最后一个分数”的方法求这个连加算式的和。通过图形结合，使教学中的难点得到了有效的解决。4、通过直观符号表示的数量关系式，培养学生的初步模型思想“几何直观”理念中所指的“图形”不仅局限于几何图形，运算符号、方框、箭头等直观的符号表示出的图示语言， 甚至用图形、文字、字母表示出来的数量关系式都有把数学问题变得简明、形象的作用，有助于探索解决问题的思路。 所以用符号、文字表示的数量关系式可以看成是一种特殊“直观”。图8比如在练习课中有这样一个问题（如图 8）, “阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环形部分的面积。”学生初看题目，感觉无从下手，要求圆环面积要用“外圆面积一内圆的面积”，要知道外圆和内圆的半径，但题目中并没有告诉我们。我让学生图中先用字母 R和r分别表示出