热点问题3不等式(含多元变量)(教师版)

1、- -2_X2x-x)所以x2y2=x24(x-x)5x2.5-1热点问题3基本不等式(含多元变量)一、填空题1已知f(x)=log2(x一2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为【解析】由f(m)f(2n)=3可得log2(m-2)Iog2(2n一2)=3,则(m_2)(n-1)=4，其中(m2,n1),m2亠n1由基本不等式(m-2)(n-1)wmn1,即mn7,2当且仅当m=4,n=3时，取=”所以m亠n的最小值为7.2设实数x,y满足x2+2xy_1=0，则x2+y2的最小值是.1【解析】因为x22xy一1=0，则y=当且仅当X2=匹时，取“=”.5所以x2y

2、2的最小值为2113.已知x,y为正实数且满足x+yw1,则+的最小值为xy+11【解析】因为(一4x1)(xy1)y1x+2A744y14xy+111777所以一A4xy14(xy1)4(11)8当且仅当2x=3,y1-时，取“=”.31所以-17的最小值为-.xy184.若不等式x2+2xywa(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立，则实数a的最小值为21+2(y)【解析】因为x22xy笃学x+y)2十1x令2t1QL1At21令-=t，则a7(t0),x则匸t21uU-12()212二4三u5-2u425-2,512当且仅当t=亠时，取“=”22所以X22x?的最大值为X2+y25.设m

3、：=R,过定点A的动直线xmy=0和过定点B的动直线mxy-m3=0交于点P(x,y),则PAPB最大值是【解析】由题意：A(0,0),B(1,3)，又两直线互相垂直，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆,则PA2PB2=10，所以PAPBn)的两颗钻石，且价值损失的百分率为原有价值-现有价值原有价值x100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为.【解析】因为V与3的平方成正比，所以设V=k32.则原有价值V0=k(m+n)2,现有价值V=V1+V2=km2+kn2,222所以价值损失的百分率=好=km+Jkm2_knx100%,V0k(m+n)km+n2km2kn22mn2mn1

4、而2=沁浮=1，当且仅当m=n时取等号.k(m+nj(m+n)4mn2故价值损失的百分率的最大值为50%.X+V7已知x0,y0，且满足xy=，贝Ux+4y的最小值为x+4y解析】由xy=上V可得x4y二X一二丄.丄,x+4yxyxy所以(x+4y)$=(x+4)(丄+1)=5+空+9,xyxy当且仅当x=1,y二1时，取“=”2所以x4y的最小值为3.bc&已知a,b,c为正实数且满足b+ca,则+的最小值为ca+bTOC o 1-5 h z【解析】由bca可得bbcb,ca+bcb+c+bcob2-+1c令b=t，则t0,2t10,c则b-ct-AAAA-(2t1)2-cab2t+122t

5、122当且仅当t=2-1点时，取“=”2所以b-c-的最小值为.2-1.ca+b2二、解答题9.已知x0,y0且满足xyx8，求xy的最小值.变式1.已知x:0,y:0且满足xyx8，求xy的取值范围.变式2.已知x0,y3且满足xyx8，求xy的最小值.8x【解析】法1：因为xyx8，则y二,x+1由x0,y-0可得0:x：8,TOC o 1-5 h z8x9所以xv=x=x124,x+1x+1当且仅当X=2时，等号成立.法2：由xyxy=8可得xy=8-（xy）4或者xy4.TOC o 1-5 h z8-x变式1因为xyx8，则y=,x+1由x:0,y:0可得x1，即x1:：0,8-x,9

6、9所以xy=xx12-(x1)-23可得0:x17.410.已知函数f(x)-cos2x2，是否存在正整数m，使得f(x)-mf(|)f(0)对任意的恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.x【解析】由f(x)mf()f(0)可得2cos2xm(cosx2)1,2TOC o 1-5 h z1cos2x22cos2x二,即m对任意的x0,恒成立，2cosx2-cosx2-令2cosx=t-1,2I22则2-2cosx=2-2(2“)=8-(2t-)W8-4.3,2cosxtt当且仅-3时，等号成立，所以2-2述冬的最小值为8-4.3,2cosx所以m：8-4.3,所以存在正整数m=1，使

7、得f(x)-mf)f(0)对任意的x0,2恒成立.11有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距dm与车速vkm/h和车长Im的关系满足d=kv0.0024V+6|-(k为正的常数).假定车身长为24m，当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长.(1)写出车距dm关于车速vkm/h的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【解析】(1)由题意，当v=60时，d=2.66I,1所以L2.661_212.16所以-1=蔽二.006，所以d=0.0024v2+2.(2)设每小时通过的车辆数为Q,则Q=迴乞，d+41000v10000.0024V+-V因为0.0024V+-2V-.0.0024V=0.24,1000=0.24=12500当且仅当0.0024v=2即卩v=50时，Q取最大值2500V3故当车速为50km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多.12.已知数列玄的前n项和为Sn,Sn=2an-2.(1)求数列fan?的通项公式;(2)设bn=log2an,Cn=，记数列的前n项和Tn.若对nN,2时，an二Sn-Sn4=2an-2-(2an/2),即丑=2,an4所以数列an为以2为首项，2为公比的等比数列