外弹道学第三章

1、第三章弹丸质心运动方程组空气弹道特性3.1 基本假设 对于飞行稳定性良好的弹丸，在飞行中弹轴和速度矢量线间总是存在一个不大的章动角(攻角)，因而气流对弹丸的速度矢量线就不再对称，此时阻力作用线既不通过质心，也不与速度矢量线平行，形成一个使弹丸围绕质心运动的静力矩。C=00C3.1 基本假设 这样，弹丸在空中的运动就成为一个复杂的刚体运动，需要六个二阶微分方程来求解。三个描述弹丸的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动。实际上，对于飞行稳定的一般弹丸，章动角总是很小，弹丸围绕质心运动对其质心运动的影响不大。因而在研究弹丸质心运动时，可以暂时忽略围绕质心对它的影响，这样就可将复杂的刚体在空中的运动

2、简化成两个独立的方程组来研究：一组表示弹丸质心的运动(=0)，而且是一个平面运动。由于的实际存在，使迎面阻力Rx增大，由增大的弹道系数c来修正；另一组是表示弹丸围绕其质心的运动(弹丸的飞行稳定性理论)。3.1 基本假设 研究弹丸质心的运动，首先做基本假设：1、在弹丸的整个运动期间，假设章动角(攻角)=0；2、弹丸是轴对称体；3、地表面为平面；4、重力加速度的大小不变和飞行始终铅直向下；5、科氏加速度为零；6、气象条件是标准值，无风雨。 在上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫外弹道学基本问题。3.2 描绘弹丸质心运动的主要变量 要描绘弹丸在空中的质心方程，首先要明确弹丸在空中的质心运动主要用哪些

3、参量来描述。t 解决弹丸质心在空中运动，要知道变量t、x、y、v和五个变量之间的函数关系，如图所示。 以上的五个变量均可作为自变量来组成弹丸的质心运动方程组，但实际上根据需要，常作为自变量的有t、x、y等，有一些特殊问题中，也采取弹道弧长s作为自变量，因为ds=vdt，s可以消除系数中的变量v，使方程简化。3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组 在基本假设下作用于弹丸的力仅有重力和空气阻力。据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程: 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组，常用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心运动的自然坐标系。下面将分别组成这两个方程组。一、直角坐标系的弹丸质心运动方程组

4、(3-1) 所谓直角坐标系的弹丸质心运动方程组，是指将矢量方程(3-1)在直角坐标系二坐标轴上的投影而得的方程组。3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组 首先将矢量方程(3-1)在x轴上投影(如图)得：由于和 故代入得：其次将方程(3-1)在y轴上投影得将 及 代入，得到3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组由于坐标x、y对于时间的导数分别为 故最后得到以t为自变量的、直角坐标系的弹丸质心运动方程组如下:(1)(2)(3)(4)(5)此方程组是解一般弹丸质心运动的常用方程组。(3-2)3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组积分的起始条件为t=0时 式中第(5)式为联系变量v与

5、u、w、y的代数方程，即所谓的联系方程。其它4式称为联解方程，因为积分方程(1)时，必须知道其右端的y和是t的什么函数后，才能积分出来。而要知道y和是t的什么函数，又必须积分方程(2)、(3)和(4)。同理，积分方程(2)、(3)和(4)时，也必须同时积分出方程(1)、(3)或(1)、(2)。3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组二、自然坐标系的弹丸质心运动方程组 所谓自然坐标系的弹丸质心运动方程组是指矢量方程(3-1）在所谓自然坐标轴(即切向和法向n)上的投影而得到的方程组。yxo 由于阻力加速度矢量a，和重力加速度矢量g在切向上的投影分别为3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组

6、又由于a和g在法向上的投影分别为故得法向加速度的方程为:(b)故得切向加速度dvdt的方程为(a)3.3 以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组积分的起始条件为t=0时：将上二方程(a)、(b)与确定坐标的两个方程合并，即得到自然坐标系的弹丸质心运动方程组为:(3-3)3.4 以x为自变量的弹丸质心运动方程组 首先根据复合微分，得到其次根据得到形式最为简单的、以x为自变量的方程组如下 为获得较方程组(3-2)和(3-3)更为简单的方程组，以取横坐标x为自变量较好。3.4 以x为自变量的弹丸质心运动方程组积分的起始条件为x=0时 这个方程组在 时计算方便而准确。3.5 以y为自变量的弹丸质心运动方

7、程组 为了求自空中投掷炸弹的弹道，宜于取纵坐标y为自变量。由复合微分和及以及联系方程组成以y为自变量的弹丸质心运动方程组。3.6 以弧长S为自变量的弹丸质心运动方程组 只要将自然坐标系的运动方程组(3-3)的自变量t换为弧长s，即可得到以弧长s为自变量的弹丸质心运动方程组(注意ds=vdt)：积分的起始条件为s=0时：3.7 斜坐标系的弹丸质心运动方程组 在解与空中射击有关的弹道诸元问题时，应用以射出点o为原点的斜角坐标系o是比较方便的。oyHBDM(,)Muw013.7 斜坐标系的弹丸质心运动方程组 如图所示，以空中o点为射出点，B为目标，oB为高低线。斜角坐标系以射出点o为原点，轴o铅直向

8、下为正，而轴o为弹丸相对于地面的初速矢量线，顺射向为正。而初速矢量式中 弹丸相对于飞机的初速矢量; 飞机相对于地面的航速。 与直角坐标系中沿水平轴分速u及铅直轴分速的概念相似，取速度矢量v沿斜角坐标系的0轴分速U和沿0轴分速W。将矢量方程(3-1)分别投影到斜角坐标系的两个坐标轴上，得到与直角坐标系相似的斜角坐标系的运动方程组如下：3.7 斜坐标系的弹丸质心运动方程组式中H-射出点的高度3.8 空气弹道的一般特性一、速度沿全弹道的变化 在只有重力和空气阻力两个力作用下的弹丸质心运动速度沿全弹道的变化，由下式确定： 在升弧上，倾角为正值，因而 ，因此在弹道升弧上弹丸速度始终减小。至弹道顶点s=0

9、，gsin=0，故 ，速度将继续减小。过顶点后，为负值，因而 。3.8 空气弹道的一般特性在 以前， ，故速度仍然继续减小；至某点， ， ，速度达极小值； 以后， ，此后速度又开始增大。 下面讨论速度的水平分速和铅直分速度沿弹道的变化情况。由 知，u沿全弹道始终减小。对于w，在同一高度时升弧上的比降弧上的大。因而初速大于落速。3.8 空气弹道的一般特性二、空气弹道的不对称性 抛物线弹道是相对于x=xs=X/2的铅直线对称的。而空气弹道由于受空气阻力作用的影响不再对称。并且随着弹道系数的增大，其不对称性愈来愈显著。下面将讨论空气弹道不对称性的几个方面。1、空气弹道降弧比升弧陡，即2、3、4、顶点速度3.8 空气弹道的一般特性三、最大射程角 最大射程角是指某一弹丸在一定初速条件下发射，获得最大射程时的射角。用符号 表示。对于抛物线弹道来说， 。对于空气弹道来说，它可能大于或小于45度。 口径较大或初速较小的弹丸，由于空气阻力对其运动的影响较小，其弹道与抛物线相近似，故其最大射程角也近似为45度。如枪榴弹、追击炮弹、小初速的榴弹的最大射程角均近似为45度；反之，如口径较小或初速较大的弹丸，空气阻力对弹丸运动的影响特别大，则与45度相差较大。 最大射程角