【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点47 二项式定理（含解析）新人教A版

1、PAGE PAGE 4【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点47 二项式定理（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标二项式定理的通项和二项式系数的性质.二.知识梳理1.二项式定理及其特例：（1），（2）2二项展开式的通项公式：3常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，

2、定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 三考点逐个突破1.求二项式的指定项或其系数例1.（1） 在(2x2eq f(1,x)5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D40答案D解析本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力(2x2eq f(1,x)5的展开式的通项为Tr1Ceq oal(r,5)(2x2)5r(eq f(1,x)rCeq oal(r,5)25r(1)rx103 r，

3、令103r1得， r3，T4Ceq oal(3,5)22(1)3x40 x.x的系数是40.点评把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误(2) 在(x2)5(eq r(2)y)4的展开式中x3y2的系数为_答案480解析(x2)5的展开式的通项为Tr1Ceq oal(r,5)x5r(2)r，令5r3得r2，得x3的系数Ceq oal(2,5)(2)240；(eq r(2)y)4的展开式的通项公式为Tr1Ceq oal(r,4)(eq r(2)4ryr，令r2得y2的系数Ceq oal(2,4)(eq r(2)212，于是展开式中x3y2的系数为4012480.(3) 在(x1)(x2)(x3)(

4、x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是_答案15解析从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即5x44x43x42x4x4，所以x4项的系数应是1234515.2.二项式系数的性质例2.（1）多项式x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为()A10 B45 C9 D45答案B解析x101(x1)101Ceq oal(1,10)(x1)Ceq oal(2,10)(x1)2Ceq oal(10,10)(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10对任意实数x都成立，a8Ceq oal(8,10)Ceq oal(2,10)45.(

5、2) 二项式(1sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 eq f(5,2)，则x在0,2内的值为_答案eq f(,6)或eq f(5,6)解析由题意得T4Ceq oal(3,6)sin3x20sin3xeq f(5,2)，sinxeq f(1,2)，x 0,2，xeq f(,6)或eq f(5,6).(3) 若eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,ax)6的二项展开式中，x3的系数为eq f(5,2)，则二项式系数最大的项为_答案eq f(5,2)x3解析Tr1Ceq oal(r,6)(x2)6req blc(rc)(avs4alco1(f(1,ax)rCeq oal

6、(r,6)arx123r，令123r3，得r3，Ceq oal(3,6)a3eq f(5,2)，解得a2.故二项式系数最大的项为T4Ceq oal(3,6)(x2)3(eq f(1,2x)3eq f(5,2)x3.3.用赋值法求二项式各项系数的和例3.（1）若(xa)8a0a1xa2x2a8x8，且a556，则a0a1a2a8_.答案256解析(xa)8的展开式的通项公式为Tr1Ceq oal(r,8)x8r(a)r(1)rCeq oal(r,8)arx8r，令8r5，则r3，于是a5(1)3Ceq oal(3,8)a356，解得a1，即(x1)8a0a1xa2x2a8x8，令x1得a0a1a

7、2a828256.(2) 设(x21)( 2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1 C1 D2答案A解析依题意，令x21，等式右边为a0a1a2a11.把x1代入等式左边，得(1)212(1)192(1)92，即a0a1a2a112.4.综合运用例4.（1）设aZ，且0a13，若512012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案A解析本题考查二项展开式的应用512012(521)2012Ceq oal(0,2012)522012Ceq oal(1,2012)522011Ceq oal(2,2012)522010Ceq

8、oal(2011,2012)52(1)2011Ceq oal(2012,2012)(1) 2012，若想被13整除需加12，a12.（2）在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为2，公差为3的等差数列的()A第11项 B第13项 C第18项 D第20项答案D解析(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，含x4项的系数为Ceq oal(4,5)Ceq oal(4,6)Ceq oal(4,7)Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,6)Ceq oal(3,7)5eq f(65,2)eq f(765,32)55，以2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an23(n1)3

9、n5，令an55，即3n555，n20，故选D.（3）将eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x2)n(nN*)的展开式中x4的系数记为an，则eq f(1,a2)eq f(1,a3)eq f(1,a2014)_.答案eq f(2013,1007)解析第r1项Tr1Ceq oal(r,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)r(1)rCeq oal(r,n)x2r，令2r4，r2，an(1)2Ceq oal(2,n)eq f(nn1,2)，eq f(1,a2)eq f(1,a3)eq f(1,a2014)eq f(2,12)eq f(2,23)eq f(2,2

10、0132014)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2013)f(1,2014)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2014)eq f(2013,1007).(4) 已知数列an满足ann2n1(nN*)，是否存在等差数列bn，使anb1Ceq oal(1,n)b2Ceq oal(2,n)b3Ceq oal(3,n)bnCeq oal(n,n)对一切正整数n成立？并证明你的结论解析假设等差数列bn使等式n2n1b1Ceq oal(1,n)b2Ceq oal(2,n)b3Ceq oal(3,n)bnCeq oal(n,n)对一切正整数n成立，当n1时，得1b1Ceq oal(1,1)，b11，当n2时，得4b1Ceq oal(1,2)b2Ceq oal(2,2)，b22，当n3时，得12b1Ceq oal(1,3)b2Ceq oal(2,3)b3Ceq oal(3,3)，b33，可猜想bnn时，n2n1Ceq oal(1,n)2Ceq oal(2,n)3Ceq oal(3,n)nCeq oal(n,n).kCeq oal(k,n)keq