2012高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程8-4直线与圆锥曲线位置关系

1、PAGE PAGE 5用心 爱心 专心第八章 第四讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009陕西西安名校一模)过点P(4,4)且与双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,9)1只有一个交点的直线有()A1条B2条C3条D4条答案：D解析：由图象可知有两条切线和两条与渐近线平行的直线，共4条2(2009浙江台州调研)已知点M(eq r(3)，0)，椭圆eq f(x2,4)y21与直线yk(xeq r(3)交于点A、B，则ABM的周长为()A4 B8 C12 D16答案：B解析：M(eq r(3)，0)是椭圆的焦点，而yk(xeq r(3)过椭圆的另一个焦点(eq r(

2、3)，0)，所以ABM的周长为4a8.3过抛物线y22px(p0)的焦点，倾斜角为45的直线截得的线段长为()Ap B2p C3p D4p答案：D解析：设直线方程为yxm，抛物线y22px(p0)的焦点F(eq f(p,2)，0)，0eq f(p,2)m.meq f(p,2).直线方程为yxeq f(p,2).由eq blcrc (eq avs4alco1(yxeq f(p,2)，,y22px，)得x23pxeq f(p2,4)0，设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p.|AB|x1x2p4p.4若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A(

3、eq f(eq r(15),3)，eq f(eq r(15),3) B(0，eq f(eq r(15),3)C(eq f(eq r(15),3)，0) D(eq f(eq r(15),3)，1)答案：D解析：联立eq blcrc (eq avs4alco1(ykx2,x2y26)消y得(1k2)x24kx100，由题意得eq blcrc (eq avs4alco1(0，,x1x20，,x1x20)即eq blcrc (eq avs4alco1(16k240(1k2)0，,eq f(4k,1k2)0，,eq f(10,1k2)0，)解得eq f(eq r(15),3)k1.故选D.5(2009湖

4、南韶山模拟)双曲线9x216y2144被点P(8,3)平分的弦AB的直线方程是()A3x2y180 B3x2y180C2x3y180 D2x3y180答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (eq avs4alco1(9xeq oal(2,1)16yeq oal(2,1)144，,9xeq oal(2,2)16yeq oal(2,2)144，)两式相减，得9(x1x2)(x1x2)16(y1y2)(y1y2)0.又P(8,3)为AB的中点，x1x216，y1y26.kABeq f(y1y2,x1x2)eq f(3,2).直线AB的方程为y3eq f(3,2)(x

5、8)，即3x2y180.6(2009浙江杭州名校一模)直线yx3与曲线eq f(y2,9)eq f(x|x|,4)1交点的个数为()A0 B1 C2 D3答案：D解析：x0时，曲线为eq f(y2,9)eq f(x2,4)1；x0时，曲线为eq f(y2,9)eq f(x2,4)1，画图可知，直线与曲线的交点个数为3个7设抛物线yax2(a0)与直线ykxb(k0)有两个交点，其横坐标分别是x1，x2，而直线ykxb(k0)与x轴交点的横坐标是x3，那么x1，x2，x3的关系是()Ax3x1x2 B.eq f(1,x3)eq f(1,x2)eq f(1,x1)C.eq f(1,x1)eq f(

6、1,x3)eq f(1,x2) Dx1x2x3答案：B解析：联立直线、抛物线方程eq blcrc (eq avs4alco1(yax2，,ykxb，)消y得ax2kxb0，由韦达定理得：x1x2eq f(k,a)，x1x2eq f(b,a)，而x3eq f(b,k)，所以eq f(x1x2,x1x2)eq f(b,k)x3，即eq f(1,x3)eq f(1,x2)eq f(1,x1).故选B.8(2010首都师大附中)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|eq r(2)|AF|，则AFK的面积为()A4 B8 C16 D32答案：B解析：如图，y28x的

7、焦点为F(2,0)，准线x2，K(2,0)，设A(x，y)，由|AK|eq r(2)|AF|，得eq r(x2)2y2)eq r(2)eq r(x2)2y2)，即(x2)2y22(x2)2y2，化简得y2x212x4，由eq blcrc (eq avs4alco1(y2x212x4,y28x)，解得eq blcrc (eq avs4alco1(x2，,y4.)SAFKeq f(1,2)|FK|yA|eq f(1,2)448.二、填空题(4520分)9过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标为_答案：2解析：设A(x1，y1)，B(x2

8、，y2)则|AB|x1x2px1x22.又|AB|8，x1x26.OAB的重心的横坐标为xeq f(0 x1x2,3)2.10椭圆mx2ny21与直线l：xy1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为eq f(eq r(2),2)，则eq f(m,n)_. 答案：eq f(eq r(2),2)解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)mxeq oal(2,1)nyeq oal(2,1)1，mxeq oal(2,2)nyeq oal(2,2)1，又eq f(y2y1,x2x1)1，得mneq f(y1y2,x1x2)0eq f(y1y2,x1x2)eq f(eq f(y1y2,2)0,

9、eq f(x1x2,2)0)eq f(eq r(2),2)，meq f(eq r(2),2)n，eq f(m,n)eq f(eq r(2),2).11(2009浙江宁波十校联考)设双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,16)1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案：eq f(32,15)解析：有两种情况，(1)直线BF直线yeq f(4,3)x；(2)直线BF直线yeq f(4,3)x.但两种情况所围成的AFB的面积相等现就(1)进行解答A(3,0)、F(5,0)，直线BF：yeq f(4,3)(x5)，联立eq blcrc

10、 (eq avs4alco1(yeq f(4,3)(x5)，,eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，)得B(eq f(17,5)，eq f(32,15)，SAFBeq f(1,2)|AF|yB|eq f(1,2)2eq f(32,15)eq f(32,15).12(2009湖南郴州三模)已知抛物线yax2(a0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQl于Q，则()抛物线的焦点坐标是_；()梯形PQRF的面积是_答案：()(0，eq f(1,8)()eq f(19,16)解析：抛物线上一点P(1,2)，求得a2，焦点坐标为(0，eq f(1,8)；梯形P

11、QRF的面积是eq f(19,16).故填()(0，eq f(1,8)；()eq f(19,16).三、解答题(41040分)13如图所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点(1)若直线l的斜率为eq f(eq r(2),2)，求证：eq o(FA,sup6()eq o(FB,sup6()0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，求证：kFBkFA.证明：(1)Q(eq f(p,2)，0)，直线l的方程为：yeq f(eq r(2),2)(xeq f(p,2)由eq blcrc (eq avs4alco1(yeq f(eq r(

12、2),2)(xeq f(p,2),y22px)，消去x得：y22eq r(2)pyp20，解得：A(eq f(32eq r(2),2)p，(eq r(2)1)p)，B(eq f(32eq r(2),2)p，(eq r(2)1)p)而F(eq f(p,2)，0)，故eq o(FA,sup6()(1eq r(2)p，(1eq r(2)p)，eq o(FB,sup6()(1eq r(2)p，(eq r(2)1)p)eq o(FA,sup6()eq o(FB,sup6()p2p20.(2)因直线l与抛物线交于A、B两点，故直线l的方程为：yk(xeq f(p,2)(k0)由eq blcrc (eq a

13、vs4alco1(yk(xeq f(p,2),y22px)消去x得：ky22pxkp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2，kFAeq f(y1,x1eq f(p,2)，kFBeq f(y2,x2eq f(p,2)，kFAeq f(eq f(p2,y2),eq f(yeq oal(2,1),2p)eq f(p,2)eq f(eq f(p2,y2),eq f(eq f(p2,y2)2,2p)eq f(p,2)eq f(y2,eq f(p,2)eq f(yeq oal(2,2),2p)kFB.14(2009辽宁，20)已知，椭圆C经过点A(1，eq f(3,2)，两个焦点(1,

14、0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解析：(1)由题意，c1，可设椭圆方程为 eq f(x2,1b2)eq f(y2,b2)1.因为A在椭圆上，所以eq f(1,1b2)eq f(9,4b2)1，解得b23，b2eq f(3,4)(舍去)所以椭圆方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)设直线AE的方程为yk(x1)eq f(3,2)，代入eq f(x2,4)eq f(y2,3)1得(34k2)x24k(32k)x4(eq f(3,2)k)2120.设E(xE，y

15、E)，F(xF，yF)因为点A(1，eq f(3,2)在椭圆上，所以xEeq f(4(eq f(3,2)k)212,34k2)，yEkxEeq f(3,2)k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代替k，可得xFeq f(4(eq f(3,2)k)212,34k2)，yFkxFeq f(3,2)k.所以直线EF的斜率kEFeq f(yFyE,xFxE)eq f(k(xExF)2k,xFxE)eq f(1,2).即直线EF的斜率为定值，其值为eq f(1,2).15已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(eq r(3)，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线yk

16、xm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析：(1)设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)由已知aeq r(3)，c2，又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为eq f(x2,3)y21.(2)联立eq blcrc (eq avs4alco1(ykxm，,eq f(x2,3)y21.)整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，eq blcrc (eq avs4alco1(13k20，,12(m213k2)0.)可得m23k21.设M(x1，y1)，N(x2，

17、y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2eq f(6km,13k2)，x0eq f(x1x2,2)eq f(3km,13k2)，y0kx0meq f(m,13k2)，由题意，ABMN，kABeq f(eq f(m,13k2)1,eq f(3km,13k2)eq f(1,k)(k0，m0)整理得3k24m1.将代入，得m24m0，m0或m4.m的取值范围是(，0)(4，)16(2009安徽宿州二中模考)给定圆P：x2y22x及抛物线S：y24x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D，如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程解析：圆P的方程为(x1)2y21，则直径长|BC|2，圆心为P(1,0)，设l的方程为kyx1，即xky1，代入抛物线方程得：y24ky4.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有eq b