初一数学有理数教材含

1、有理数中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应会用有理数表示拥有相反意义的相反数量；借助数轴理解相反数的意义，掌握相反数的性质会求实数的相反数掌握有理数的加、减、乘、除及能用有理数的运算有理数的运算理解乘方的意义乘方和简单的混淆运算（以三步解决简单问题为主）近似数、有效数字在解决实际问题中，能按问题的认识近似数和有效数字的观点；要求对结果取近似值；能对含有和科学计数法会用科学计数法表示数较大数值的信息作出合理的解释和推断重难点1掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关观点2

2、娴熟去括号法例，以及有理数的有关运算课前预习数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创办用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更精练、更直观、更具一般性。纵观历史，数学的发展创办了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促使了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步持续走下去，数学的每一个进步都必须陪同着新的数学符号的产生。“”是15世纪德国数学家魏德美所创办的。它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加“”也是德国数学家魏德美创办的。它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写“”

3、是18世纪瑞士人哈纳创办的。它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创办的。列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的几何学中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“”表示相像，用“”全等。初中数学.有理数教师版Page1of18例题精讲模块一正负数与有理数的分类1.关于正负数的理解不能简单理解为带“”号的数就是正数，带“”号的数就是负数。相反意义的两个量是相互的，也是相对的。掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类?有理数的分类【例1】下列

4、说法：0是整数；负分数一定是负有理数；一个数不是整数就是负数；为有理数；最大的负有理数是1，正确的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类【答案】【牢固】下列说法：存在最小的自然数；存在最小的正有理数；不存在最大的正有理数；存在最大的负有理数；不是正整数就不是整数，错误的序号是【难度】2星【解析】考察有理数的分类【答案】模块二数轴、相反数、倒数数形联合思想是一种重要的数学思想。数轴就是数形联合的工具。数轴是条直线，能够向两方无限延长。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。所有有理数都能够用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数相反数是成对出现的，不能独自存在。相

5、反数和为零。数轴【例2】如下列图，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹遮住的整数共有几个4.11014.3【难度】1星【解析】考察数轴的有关观点【答案】如图，遮住数中的整数有4、3、2、2、3、4，共有6个初中数学.有理数教师版Page2of18【牢固】数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上随意画出一条长2006cm的线段，则线段遮住的整数点共有个【难度】2星【解析】考察数轴的有关观点【答案】2006或2007相反数与倒数【例3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x1，求abx2cdx的值【难度】3星【解析】考察相反数与倒数的有关观

6、点【答案】解：由相反数、倒数的定义可得ab0，cd1则当x1时，原式=01110当x1时，原式=0(1)21(1)2【牢固】已知a和b互为相反数，m和n互为倒数，c(2)，求2a2bmn的值c【难度】3星【解析】考察相反数与倒数有关观点【答案】解：由相反数和倒数的定义可得ab0，mn1c(2)原式mn112(ab)02c2【牢固】已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数，a和b(ab)并且A、B两点间的距离是41,求a、b4【难度】3星【解析】考察相反数有关观点【答案】解：a、b两数互为相反数ab0abA、B两点间距离有b1b(b)1a4444初中数学.有理数教师版Page3of18b1

7、7，a1788模块三有理数的运算在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易犯错。减法转变为加法作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加，然后再把结果相加。既有分数，又有小数时，平时把小数化成分数。有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值；除法转变为乘法进行计算。5.要正确解答乘方运算，必须确实弄清乘方定义，它是求n个相同因数的积的运算，anan。6.(1)2n1，(1)2n11。7.带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不能犯如下错误：(31)291。24有理数加减运算解决实际问题【例4】超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市

8、复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5、0.3、0.9、0.1、0.4、0.2、0.7、0.8、0.3、0.1那么超市购进的橙子共多少千克？【难度】2星【解析】有理数加减运算【答案】(0.5)(0.3)(0.9)(0.1)(0.4)(0.2)(0.7)(0.8)(0.3)(0.1)=0.50.30.1(0.9)0.80.1(0.2)(0.7)(0.40.3)=0.750100.7500.7(kg)即橙子共有500.7千克【例5】数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4

9、个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B点求O、B两点之间的距离（用单位长度表示）若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能抵达？若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？【难度】4星【解析】有理数加减运算【答案】1(2)3(4)99(100)50，故O、B两点之间的距离为50个单位长度分两种情况，第一种情况：点C在数轴的正半轴，察看规律可知：除掉第一次，依次每两次联合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298（次）运动即可前进50米，抵达B地；用时为：(1239899)22475（分钟）第二种情况：初中数学.有理数教

10、师版Page4of18点C在数轴的负半轴，察看规律可知，每两次联合相当于向负半轴前进1米，故经过100次运动即可前进50米，抵达B地，用时为：(12100)22525（分钟）设第n次运动时，正好60分钟，那么有123456n602222222所以n15，此时它离A点：1234561314158（米）【牢固】A市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A市某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3、7.2、6.1、8、1.8（单位：9.3公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后

11、距离出发点多远？【难度】3星【解析】有理数加减运算【答案】因为每公里收费2元，且不足1公里的按1公里计算所以出租车司机的收入为收入：(3878102)276(元)出租车所行驶的行程为2.37.26.189.31.834.7公里汽油成本：34.70.1413.88（元），收入7613.8862.12（元）.他最后距离出发点的距离：2.3(7.2)(6.1)89.3(1.8)4.5（公里）答：净收入为76元，最后距离出发点4.5公里【牢固】电子跳蚤在数轴上的某一点K0，第一步K0向左跳1个单位到点K1，第二步由点K1向右跳2个单位到点K2，第三步有点K2向左跳3个单位到点K3，第四步由点K3向右跳

12、4个单位到点K4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰巧是19.94求电子跳蚤的初始地点点K0所表示的数【难度】4星【解析】考察有理数的运算【答案】假定电子跳蚤的起点K0为x0，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：x01234569910019.94解得x030.06所以电子跳蚤初始地点点K0所表示的数为30.06模块四有理数的大小比较1数轴法：利用数轴比较有理数的大小，数轴右侧的数永远大于它左侧的数2正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小数轴法【例6】在数轴上表示下列各数，再按大小次序用“”号连结起来.4，0，4.5，11，

13、2，3.5，1，2122初中数学.有理数教师版Page5of18【难度】1星【解析】数轴法进行有理数大小比较【答案】先画出数轴，在数轴上方注明所求数（如图下所示）根据数轴上的大小次序，按从左到右依次用“”号连结起来.11-12223.5-4.5-4201-5-4-3-2-101234即:4.5410122113.522【牢固】已知有理数a与b在数轴上的地点如下列图：判断a，b，a，b的大小并用“”连结.b0a【难度】2星【解析】数轴进行有理数大小比较【答案】如右图b-a0a-b答案：baab.【牢固】三个有理数a、b、c在数轴上的地点如下列图，则（）cbaA111B111cacbabbccab

14、aC111D111cababcabacbc【难度】3星【解析】数轴法进行有理数大小比较【答案】由图可见cba，所以0abac0bcac，由此011caba011，由有011acbccaba故111选择Bccabba特殊值法特殊值法的合用范围：选择题，填空题【例7】已知0 x1，则x2，x，1的大小关系是什么？【难度】2星x【解析】特殊值法【答案】0 x1令x1则x21，12112，则x2x124x42x初中数学.有理数教师版Page6of18【牢固】如果1a0，请用“”将a，a，a2，a2，1，1连结起来.【难度】2星aa【解析】特殊值法1，a1，1，1【答案】1a0令a1则aa2，12222

15、244aa211112则1aa2a2a12442aa【例8】设ma2，na1，paa，若a3,则（）a3a21A.mnpB.npmC.pnmD.pmn【难度】2星【解析】特殊值法【答案】a3令a4，m2，n3，p4，432pnm，应选C2332【牢固】设a0bc，abc1，bc，ac，ab，则m，n，p之间的关系为（）mnpcabAmpnBnpmCpmnDpnm【难度】2星【解析】特殊值法【答案】a0bc，abc1令a4，b1，c2m3，n2，p333422npm应选A24模块五绝对值的意义及其化简1.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a2.绝

16、对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.a(a0)a(a0)a(a0)3.a0(a0)，a绝对值的性质：a(a或aa(a0)a(a0)0)绝对值其他的重要性质：任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa且aa若ab，则ab或ababab，aa0）（bbb2a2a2a初中数学.有理数教师版Page7of18绝对值化简【例9】如果有理数a、b、c在数轴上的地点如下列图，求abb1ac1c的值.ab0c1【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：如下列图，得ab0，0c1ab0，b10，ac0，1c0原式=(ab)(b1)(ac)

17、(1c)=abb1ac1c=2【牢固】已知x0z，xy0，yzx，那么xzyzxy【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：x0z，xy0y0yzxyzxxz0，yz0，xy0原式=(xz)(yz)(xy)xzyzxy0【牢固】数a,b在数轴上对应的点如右图所示，化简abbabaaa0b【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得a0，b0，ab0，ba0原式=(ab)(ba)baaabbab2ab【例10】设a,b,c为非零实数，且aa0，abab，cc0化简babcbac【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：aa0、cc0aa，cca、b、c为非零实数，a0，c0ababab0b

18、0ab0，cb0，ac0初中数学.有理数教师版Page8of18原式=(b)(ab)(cb)(ac)=babcbacb【牢固】已知aa，b0，化简2a4b422a2b4b32a3(a2b)【难度】3星【解析】绝对值化简【答案】解：aaa0b0a2b0，2a302(a2b)42=242=4原式=2b)2a2b4b32aa2ba2ba2ba2b(a3模块六绝对值的非负性非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02.绝对值的非负性；若abc0，则必有a0，b0，c0【例11】若m3710，则p2n3m_n22p2【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：m30，n70，2p102m3

19、0，n70，2p10则m3，n7，p1222p2n3m32【例12】设a、b同时知足(a2b)2|b1|b1；|ab3|0那么ab【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：(a2b)20，b10，且(a2b)2|b1|b1b10(a2b)2b1则(a2b)2b10a2bab302bb30则b1，a2ab2【牢固】已知(ab)2b5b5，且2ab10，那么ab_【难度】3星初中数学.有理数教师版Page9of18【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：(ab)20，b50，且(ab)2b5b5b50(ab)2b5b5则(ab)20ab2ab102bb10b1，a1则ab1339模块七零点分

20、段法零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例13】阅读下列材料并解决有关问题：xx0我们知道x0 x0，现在我们能够用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式xx0 x1x2时，可令x10和x20，分别求得x1，x2（称1，2分别为x1与x2的零点值），在有理数范围内，零点值x1和x2可将全体有理数分红不重复且不易遗漏的如下3中情况：当x1时，原式x1x22x1当1x2时，原式x1x23当x2时，原式x1x22x12x1x1综上议论，原式31x22x1x2经过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：分别求出x2和x4的零点值化简代数式x2x4【难度】3星【解析】零点分段法【答

21、案】解：令x20，x40，则x2，x4零点为x2，x4，则可分三段进行议论：x2，2x4，x4当x2时，则x20，x40 x2(x2)x2，x4(x4)x4原式=x2x4=2x2当2x4时，则x20，x40 x2x2，x4(x4)x4原式=x2x4=6当x4时，则x20，x40初中数学.有理数教师版Page10of18x2x2，x4x4原式=x2x4=2x2综上所述，当x2时，x2x4=2x2当2x4时，x2x4=6当x4时，x2x4=2x2【牢固】化简mm1m2的值【难度】3星【解析】零点分段法【答案】解：令m0，m10，m20，则零点为m0，m1，m2则可分四段进行议论：m0，0m1，1m

22、2，m2当m0时，m10，m20mm，m1m1，m2m2原式=mm1m2=3m3当0m1时，m10，m20mm，m1m1，m2m2原式=mm1m2=m3当1m2时，m10，m20mm，m1m1，m2m2原式=mm1m2=m1当m2时，m10，m20mm，m1m1，m2m2原式=mm1m2=3m3综上所述：当m0时，mm1m2=3m3当0m1时，mm1m2=m3当1m2时，mm1m2=m1当m2时，mm1m2=3m3【牢固】化简：x12x1.【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令x10，x120，x10，x120，则x3或x1初中数学.有理数教师版Page11of18零点有x1，x1，x3

23、分四段进行议论x1，1x1，1x3，x3当x1时，则x10，x10，x10 x1x1，x1x1，x1x1原式=x12x1=x1x1=x1x1=2x2当1x1时，则x10，x10，x10 x1x1，x1x1，x1x1原式=x12x1=x1x1=x1x1=2x2当1x3时，x10，x10，x30 x1x1，x1x1，x3x3原式=x12x1=x3x1=x3x1=4当x3时，x10，x10，x30 x1x1，x1x1，x3x3原式=x12x1=x3x1=x3x1=2x2综上所述，当x1时，x12x1=2x2当1x1时，x12x1=2x2当1x3时，x12x1=4当x3时，x12x1=2x2模块八绝对

24、值的几何意义的拓展a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点走开原点的距离2.ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离【例14】mn的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离x的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；xx0（，）；21的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21；x3的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x31，则xx2的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x22，则x当x1时，则x2x2【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：x、原点、；1；x、3、4或2；x、2、4或0；初中数学.有理数教师版Page12

25、of18设2、2、x在数轴代表的点为A、B、P，如图APB21012则x2PA，x2PB,x2x2PAPBAB4【例15】已知m是实数，求mm1m2的最小值【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令m0，m10，m20，则零点有m0，m1，m2设0、1、2、m在数轴上分别用A、B、C、P表示,如图PABC012当点P在点A左侧时，mm1m2=PAPBPC=3PA2ABBC=3PA3当PA0时，即点P与点A重合时，原式取得最小值为3点P在点A左侧原式3APBC012当点P在线段AB上时（不包含点B），mm1m2=PAPBPC=PBACPB2当PB0时，原式取得最小值此时不包含点B，原式2

26、ABPC012当点P在线段BC上时（不包含点C），mm1m2=PAPBPC=PBACPB2当PB0时，即当点P与点B重合时，原式取得最小值，最小值为2ABCP012当点P在点C及点C右侧时，mm1m2=PAPBPC=3PC2BCAB=3PC3当PC0时，即点P与点C重合时，原式取得最小值，最小值为3初中数学.有理数教师版Page13of18综上所述，当点P与点B重合时，即m1时，原式取得最小值为2讲堂检测12的相反数的绝对值的倒数是3【难度】1星【解析】相反数、绝对值、倒数有关观点【答案】322“神舟”五号载人飞船的成功发射，标志着我国发射围绕月球的探测卫星的条件已渐趋成熟，月球距地球3800

27、00km，用科学计数法表示为m【难度】2星【解析】科学计数法【答案】3.8108m3把60983四舍五入成2个有效数字的是【难度】2星【解析】有效数字与科学记数法【答案】6.11044比较大小若a、b、c、d四个数知足1111，则a、b、c、d四2000b2001c2002d2003a个数的大小关系为【难度】3星【解析】有理数大小比较【答案】解：令111112000b2001c2002d2003ta则at2000，bt2001，ct2002，dt2003dbac5计算：7)(51(41(1541(12(4)3)24)824842943(3)4(1)0.2521(4)(248278)415153

28、.513(11(22(229(0.5)7)3)()62381(3124(7)(52233)1)463223初中数学.有理数教师版Page14of18【难度】2星【解析】有理数的混淆运算【答案】解：原式=(711(1)4)5(4)38248=(4)5(4)(3)(711)(1)()(4)828=(6)(363)=44原式=549(2)2=54922=6499499原式=6481(1)19(4)(3)44=6481(4)(9)(1)338=3原式=(7)(11)3(2)=(7)(1)3(2)=12627237原式=14(4(949(4(913)=19()=12=09388382原式=100(7)2

29、(1725)1403243=1004949140=49(100140)=49240=9803443433436彬彬用32元钱买了8条毛巾，准备以一定的价钱为标准销售，如果每条毛巾以5元的价钱为标准。超出记作正数，不足记作负数，记录如下：0.5、1、1.5、1、2、1、2、0，彬彬卖完毛巾后是盈利仍是损失，请说明原因【难度】2星【解析】有理数的加减运算【答案】解：0.5(1)(1.5)1(2)(1)(2)06，所以彬彬的销售额为58(6)34所以彬彬一共盈利34322元7x4的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x42，则x【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或6初中数学.有理数教师版Page15of188化简：2x1x2x【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令x10，x20，x0，零点为x1、x2、x0可分