导数综合应用练习题

1、导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否知足罗尔定理的所有条件？如知足，央求出定理中的数值。(1)f(x)2x2x31,1.5；(2)f(x)12,2；1x2(3)f(x)x3x0,3；(4)f(x)ex211,1解：(1)f(x)2x2x31,1.5该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)4x1，在开区间上可导，而且f(1)0，f(1.5)0，知足罗尔定理，最少有一点(1,1.5)，使f()410，解出1。4解：(2)f(x)12,21x2该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)2x，在开区间上可导，而且f(2)x2)2(1知足罗尔定理，最少有一点(2,2)，使f()20，解出0。

2、2)2(111，f(2)，55解：(3)f(x)x3x0,3该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)3x，在开区间上可导，而且f(0)0，x2x3f(3)0，知足罗尔定理，最少有一点(0,3)，使f()3230，解出2。解：(4)f(x)ex211,1该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)2xex2，在开区间上可导，而且f(1)e1，f(1)e1，使f()2e20。知足罗尔定理，最少有一点0，解出2.下列函数在给定地域上是否知足拉格朗日定理的所有条件？如知足，央求出定理中的数值。(1)f(x)x30,a(a0)；(2)f(x)lnx1,2；(3)f(x)x35x2x21,0解：(1)f(

3、x)x30,a(a0)该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)3x2，在开区间上可导，知足拉格朗日定理条件，最少有一点(0,a)，使f(a)f(0)f()(a0)，即a3032(a0)，解出a。3解：(2)f(x)lnx1,2该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)1，即在开区间上可导，知足拉格朗日定理条件，最少有x一点(1,2)，使f(2)f(1)f()(21)，即ln2ln11(21)，解出1。ln2解：(3)f(x)x35x2x21,0该函数在给定闭区间上连续，其导数为f(x)3x210 x1，即在开区间上可导，知足拉格朗日定理条件，最少有一点(1,0)，使f(0)f(1)f()(0

4、1)，即2(9)(32101)(01)，解出543。3不求导数，判断函数答案：有三个根，分别在f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数有几个实根及根所在的范围。(1,2),(2,3),(3,4)4证明：当x1时，恒等式2arctanxarcsin2x成立1x2证：设F(x)2arctanxarcsin2x1x2当x1时，F(x)连续，当x1时，F(x)可导且F(x)212(1x2)2x2x220(1x2)21x21x21x21(2x2)21x即当x1时，F(x)C，即F(x)F(1)224故当x1时，2arctanxarcsin2x1x25设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且

5、f(0)0，证明在(0,1)内存在一点c，使cf(c)2f(c)f(c)证明：令F(x)(x1)2f(x)，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且因f(0)0，则F(0)0F(1)即F(x)在0,1上知足罗尔定理的条件，则最少存在c(0,1)使F(c)0又F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)，即2(c1)f(c)(c1)2f(c)0而c(0,1)，得cf(c)2f(c)f(c)6.已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)1,f(1)0，证明在(0,1)内最少存在一点，使得f()f()证明：令F(x)xf(x)，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导

6、，且F(0)0F(1)即F(x)在0,1上知足罗尔定理的条件，则最少存在(0,1)使F()0又F(x)f(x)xf(x)，即f()f()0，故f()f()7.证明不等式：sinxsinxxx2121证明：设函数f(x)sinx，x1,x2R，不妨设x1x2，该函数在区间x1,x2上连续，在(x1,x2)上可导，由拉格朗日中值定理有f(x2)f(x1)f()(x2x1)，(x1x2)即sinx2sinx1cos(x2x1)，故sinx2sinx1cos(x2x1)，由于cos1，所以有sinx2sinx1x2x18.证明不等式：nbn1(ab)anbnnan1(ab)(n1,ab0)证明：设函数

7、f(x)xn，在b,a上连续，在(b,a)内可导，知足拉格朗日定理条件，故anbnnn1(ab)，其中0ba，因此bn1n1an1有nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)利用洛必达法规求下列极限：(1)limexex；x0 x解：limexexlimex+ex2x0 xx01(2)limlnx；x1x1lnx1解：limlimx1x1x1x11(3)limx33x22；x1x3x2x1x33x223x26x解：lim3x2x1lim22x1x1xx13xln(x)(4)lim2；tanx21ln(x)x22cosx(sinx)解：lim2li

8、m2limcosxlim0tanx1x1xxxx22cos2x222(5)limxn0,n为正整数）eax(ax解：limxnlimnxn1limn!0axaeaxanaxxexxe(6)limxmlnx(m0)；x0lnx1xm解：limxmlnxlimxlim0limmxm1mx0 x0 xmx0 x0(7)lim(11)；x0 xex1解：lim(1ex1)limex1xlimex1limexxexlim11x0 x1x0 x(ex1)x0ex1xexx0exexx02x21(8)lim(1sinx)x；x011sinx解：lim(1sinx)xlim(1sinx)sinxxex0 x0

9、limxsinx；0lnx1sin2xsinxsinxsinxlimsinxlnxlimlimxlimlim01x2xcosx解：limxx0ex0sinx0sinex0 xcosxx0 xcosxeeee1x0ln(1kx)x0，若f(x)在点x0处可导，求k与f(0)的值。10.设函数f(x)x1x0解：由于函数在x0处可导，因此函数在该点连续，由连续的观点有limln(1kx)limkxkf(0)1，即k1x0 xx0 x按导数定义有f(x)f(0)ln(1x)1ln(1x)x11111f(0)limlimxlimlimxlimx0 xx22xx)2x0 x0 x0 x0 x02(11c

10、osxx0 x211.设函数f(x)kx0，当k为何值时，f(x)在点x0处连续。11x0 xex1解：函数连续定义，limf(x)limf(x)f(0)，x0 x0limf(x)lim(111)limex1xlimexex1limexexxexlim11x0 x0 xexx0 x(ex1)x01xexx0exx02x2limf(x)1cosx1f(0)klimf(x)1limx2，而；x0 x02x021时，函数f(x)在x0点连续。即当k2求下列函数的单调增减区间：(1)y3x26x5；解：y6x60，有驻点x1，由于当由于当1时，y0，此时函数单调减少；1时，y0，此时函数单调增加；(3

11、)yx42x22；解：y4x34x4x(x21)，令y0，有x0,x1,x1，当x1时，y0，此时函数单调较少；当1x0时，y0，此时函数单调增加；当0 x1时，y0，此时函数单调较少；当x1时，y0，此时函数单调增加(3)yx21；x解：y2x(1x)x22xx2，令y0，有x0,x2，其他有原函数知x1，(1x)2(1x)2当x2时，y0，此时函数单调增加；当2x1时，y0，此时函数单调减少；当1x0时，y0，此时函数单调减少；当x0时，y0，此时函数单调增加；13.证明函数yxln(1x2)单调增加。证明：y12x(1x)20，x21x21等号仅在x1成立，所以函数yxln(1x2)在定

12、义区间上为单调增加。14.证明函数ysinxx单调减少。解：ycosx10，等号仅在孤立点x2n(n0,1,2LL)成立，所以函数ysinxx在定义域内为单调减少。15.证明不等式：2x31(x0,x1)x证明：设f(x)2x311时，f(1)0，且f(x)11xx1，在xxx2x2x当x1时，f(x)0，函数单调增加，因此f(x)f(1)0；当0 x1时，f(x)0，函数单调减少，因此f(x)f(1)0；1所以对一切x0，且x1，都有f(x)0，即2x3(x0,x1)x16.证明：当x0时，ex1x解：设f(x)ex1xf(x)ex1，当x0,f(x)0f(x),所以x0,f(x)f(0)0

13、所以x0,ex1x当x0,f(x)0f(x),所以x0,f(x)f(0)0所以x0,ex1xx0,ex1x.17.证明：当x0时，ln(1x)x1x解：设()ln(1)xfxx1xf(x)11x，当x0,f(x)0f(x),1x(1x)2(1x)2所以x0,f(x)f(0)0，即x0,ln(1x)xx118.证明方程x33x10在(0,1)内只有一个实根。证明：令f(x)x33x1，f(x)在0,1上连续，且f(0)1,f(1)1,由零点定理存在(0,1)，使f()0，所以是方程x33x10在(0,1)内的一个根。又因为f(x)3x233(x21)，当x(0,1)时f(x)0，函数单调递减，当

14、x时，f(x)f()0，当x时，f(x)f()0，所以在(0,1)内只有一个实根或用罗尔定理证明只有一个实根。求下列函数的极值：(1)yx33x27；解：y3x26x3x(x2)，令y3x26x3x(x2)0，解出驻点为x0;x2，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示：x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)单调增加极大7单调减小极小3单调增加2010f(x)210123410 x2x(2)y；1x2解：y2(1x)(1x)，驻点为x1,x1，函数的单调性与极值见表(1x2)2x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)极小极大f(x)单调减小1单调增加1单调减少f(x)42f(x)

15、42(3)yx2ex；解：yex(2)，驻点为x0,x2，xx二阶导数为yex(x24x2)，显然y(0)2,y(2)2x00，在x2处取极大值4。2，函数在点取极小值2ee2211024102412x2x21.51f(x)0.510123x(4)y33(x2)2；2，函数在x2处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。解：y13(x2)3x(,2)2(2,)f(x)不存在f(x)单调增加极大3单调减少3f(x)2.5g(x)211.5012345x(5)y(x1)3x2；y5x220，函数在各个区间的单调性见表格所解：函数导数为1，解出驻点为x，不可导点为x3x35示。x(,0)0

16、(0,2)2(2,)555f(x)不存在0f(x)单调增加极大0单调减少极小单调增加332025(6)yx3(x1)2解：yx2(x3)，驻点为x0,x3，不可导点为x1，划分区间并判断增减性与极值(x1)3x(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)f(x)00极小无极f(x)单调增加单调增加单调减少27单调增加值4100f(x)502101234x20.设yln(1x2)，求函数的极值，曲线的拐点。2x0，解出x0，x0,y0,y解：yx21x0,y0,y，极小值f(0)02(1x2)0，解出x1，yx2)2(1x(,1)1(1,1)1(1,)y0+0y凸ln2凹ln2凸拐点(1,ln2),

17、(1,ln2)利用二阶导数，判断下列函数的极值：(1)y(x3)2(x2)；解：y(3x7)(x3)，y2(3x8)，驻点：x73，x3yx7320，因此在x7点函数取极大值4；327yx320，因此在x3点函数取极小值0；(2)y2exex解：y2e2x1，y2exex，驻点为xln2，ex2由于y220，因此在xln222。x1ln2处函数取得极小值2222.曲线yax3bx2cxd过原点，在点(1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲线的拐点，求a,b,c,d解：因为曲线yax3bx2cxd过原点，有d0，在点(1,1)处有水平切线，f(1)3a2bc0，点(1,1)是该曲线的拐点，f

18、(x)6ax2b，f(1)6a2b0，又因为点(1,1)在曲线上，abcd1联立方程组解出a1,b3,c3,d0求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1)yx42x252,2；解：y4x34x4x(x1)(x1)，令y0，得驻点为x0,x1,x1，计算出驻点处和区间端点地方有的函数值为y(2)13,y(1)4,y(0)5,y(1)4,y(2)13，比较上述函数值，知最大值为y(2)y(2)13；最小值为y(1)y(1)4。(2)yln(x21)1,2；解：y2x，令y0，得驻点为x0，计算出驻点处和区间端点地方有的函数值为x21y(1)ln2,y(0)0,y(2)ln5，比较上述函数值，知

19、最大值为y(2)ln5；最小值为y(0)0(3)yx21,1；1x2解：y(x2)x，令y0，得驻点为x0,x2，计算出驻点处和区间端点地方有的函数值为(x1)2y(2)4,y(0)0,y(1)1,y(1)1，比较上述函数值，222知最大值为y(1y(1)1；最小值为y(0)0。)22(4)yxx0,42x1y(0)0,y(4)6，解：y0，函数单调增加，计算端点处函数值为2x知最大值为y(4)6；最小值为y(0)024.已知函数f(x)ax36ax2b(a0)，在区间1,2上的最大值为3，最小值为29，求a,b的值。解：f(x)3ax212ax，令f(x)3ax212ax3ax(x4)0，解

20、出驻点为x0,x（4舍），且f(1)b7a，f(0)b，f(2)b16a因为a0，所以f(0)f(1)f(2)故f(0)b3为最大值，f(2)b16a为最小值，即f(2)b16a29，解出a2。25.欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？解：设底面正方形的边长为x，高为h，则表面积为Sx24xh，又体积为Vx2h，有hVx2得Sx24Vx2432，dS2x4320，解出x6，h3xxdxx2即取底面边长为6，高为3时，做成的容器表面积最大。欲用围墙围成面积为216m2的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽采用多大的尺寸，才能使所用建

21、筑材料最省？解：所用的建筑材料为L3x2y，其中面积xy216，因此有L3x432，xdL4320，解出x12，即当取宽为x12米，长为y18米时所用建筑材料最省。3x2dx某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元，如果年销售率是平均的，且上批销售完成后，立刻重生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？解：设100万件分x批生产，生产准备费及库存费之和为y，则y1000 x10000000.051000 x25000，2xxy1000250000，解出x5，x2问5批生产，能使生产准备费及

22、库存费之和最小。确定下列曲线的凹向与拐点：(1)yx2x3；解：y2x3x2,y26x，令y0,x13x(111,)(,)333f(x)0f(x)2凹27凸小(2)yln(1x2)；2x22x2令y0,x1解：y2,y22，1x(1x)x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)凸ln2凹ln2凸拐点拐点1(3)yx3；22x解：y1x3,y39xy1x2；523令y不存在点,x0，3x5x(,0)0(0,)f(x)不存在f(x)凹0凸拐点解：y22x2,y4x(x23)，(1x2)2(1x2)3令y0,x0,x3x(,3)3(3,0)0(0,3)3(3,)f(x)000f(x)3凹0

23、凸3凹凸2拐点2拐点拐点(5)yxex；解：yex(1+),yex(2+x)，令y0,x=2xx(,2)2(2,)f(x)0f(x)2凸e2凹拐点(6)yex解：yex,yex0，所以yex在(,)内是凹的，无拐点。某化工厂日产能力最高为1000吨，每天的生产总成本C（单位：元）是日产量x（单位：吨）的函数：CC(x)10007x50 xx0,1000（1）求当日产量为100吨时的边际成本；（2）求当日产量为100吨时的平均单位成本。解：（1）边际成本C(x)725725，C(100)9.5x10（2）平均单位成本AC(x)C(x)1000750C(100)100050 xx，AC(100)1

24、00722x1001030.生产x单位某产品的总成本C为x的函数：CC(x)11001x2，求（1）生产900单位时的总1200成本和平均单位成本；（2）生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率；（3）生产900单位和1000单位时的边际成本。解：（1）C(900)1100190021775，1200C(900)17751.97900900（2）C(1000)C(900)1.581000900 x（3）边际成本为C(x)，6009001000C(900)1.5,C(1000)1.6760060031设生产x单位某产品，总收益R为x的函数：RR(x)200 x0.01x2，求：生产50

25、单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。解：总收益R(50)200500.0125009975，平均收益R(x)2000.01x，R(50)2000.0150199.5，x50边际收益R(x)2000.02x，R(50)2000.025019932.生产x单位某种商品的收益是x的函数：L(x)5000 x0.00001x2，问生产多少单位时获得的利润最大？解：L(x)10.00002x=0，解出x50000所以生产50000个单位时，获得的收益最大？33.某厂每批生产某种商品x单位的费用为C(x)5x200，获得的收益是R(x)10 x0.01x2，问每批生产多少单位时才能使收益最大？解：L(

26、x)R(x)C(x)5x0.01x2200，令L(x)50.02x=0，解出x250所以每批生产250个单位时才能使收益最大。34.某商品的价格P与需求量Q的关系为P10Q120及30时的总收益R、平均，求（）求需求量为5收益R及边际收益R；（2）Q为多少时总收益最大？解：总收益函数R(Q)PQ(10Q)Q=10QQ255平均收益函数R(Q)R(Q)10Q，Q5边际收益函数R(Q)=102Q5，（1）R(20)200400=120,R(30)300900=120，55R(20)R(20)1020=6,R(30)R(30)1030=4，20530540602,R(20)=10=2,R(30)=10=55(2)R(Q)=102Q=0,解出Q=25时总收益最大。535.某工厂生产某产品，日总成本为C元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元。该商品的需求函数为Q502P，求Q为多少时，工厂日总收益L最大？解：成本函数CC(Q)20010Q，L(Q)PQC(Q)50Q(20010Q)Q2200，2Q15Q2令L(Q)15Q=0，解得Q=15，所以Q=15，总收益L最大。高二数学（文）选修1-1导数及其应用回扣练习一、选择题1下列求导运算正确的选项是