有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法分析

1、有限元讲义2.6四结点四边形单元(Thefour-nodequadrilateralelement)前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:UV12x3y4xy56x7y8xy为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参元，它不只拥有较高的精度，而且其网格区分也不受边界的影响。对随意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。能够考证，利用坐标变换就能解决这个问题，即能

2、够经过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。正方形四个结点i,j,m,p按反时钟次序对应四边形的四个结点ijmp。正方形的1和1二条边界，分别对应四边形的i，j边界和p,m边界；=-1和=+1分别对应四边形的i，p边界和j，m边界。如果用二组直线平分四边形的四个边界限段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a,b）。自然,局部坐标上的A点与整体坐标的A点对应。1有限元讲义一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换由于能够将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，关于这种正方形单元

3、，自然仍取形函数为：UV12325678引入边界条件，即可得位移函数：UNiUiijmpVNiViijmp写成矩阵形式：feUNi0Np0eNdeV0Ni0dNp式中形函数:Ni,11i1ii,j,m,p4按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为:xNixiNixiNjxjNmxmNpxpijmpyNiyiNiyiNjyjNmymNpyp261ijmp式中形函数N与位移函数中的完全一致。能够考证，利用坐标变换式(2-6-1)，能够把整体坐标系中的随意四边形单元（图a）变换成在局部坐标系中与四边形对应的边长为的正方形。因此能够将上述位移函数和形函数用于随意四边形单元，并将形函数中的,理解为随意四

4、边形单元的局部坐标。这样由位移函数能够获得单元各点的位移。在四条边界上分别有和，故边界上的位移呈线性变化，位移的连续性可获得保证。于是，我们能够理解为：随意四边形单元是从基本的正方形单元变换过来的实际单元。因此又称正方形单元为母体单元，或基本单元。例题：为了加深理解，现考察实际单元为矩形单元的坐标变换，在2.4节中，我们定义局部坐标与整体坐标的关系是：2有限元讲义1xx01yy0ab式中(x0,y0)为局部坐标原点。由上第一式1x0得：xaxax1xx1xx02ji2ij将其从头组合：x11x11xj2i2111x111xj111xm111xp4i444比较2.4中的形函数表达式,便知:xNi

5、xiNjxjNmxmNpxp自然同理可得:yNiyiNjyjNmymNpyp由此知,矩形单元能够看作是四结点四边形单元的特例，自然，它也是等参元。有限元法概论（第二版）P172中，是这样解释等参元的基本观点和推导方法的：图形变换四结点正方形(母元)图形变换四结点四边形(等参元)(-平面内)(x,y平面内)进行图形变换的重点是进行图形结点坐标之间的变换：正方形结点坐标坐标变换四边形结点坐标(i,i)(x,y)i=i,j,m,pi=i,j,m,p为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(,)和(x,y)之间的坐标变换式。图形变换拥有如下性质:母元中的坐标线对应于等参元的直线；四结点

6、正方形母元对应于四个结点能够随意布置的直边四边形等参元；变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。3有限元讲义二、几何矩阵B已知单元的应变与结点位移之间的关系是:x00Np00Ni262yNi0dy0Npx形函数矩阵N只是局部坐标,的显函数,为求形函数对整体坐标x,y的偏导数，必须用复合函数求导公式:NiNixNiyxyNiNixNiy263xyNiNi或写成：Jx263aNiNiyxy式中:Jy263bxx称为雅可比矩阵，而把它的队列式称为雅可比队列式。把式(2-6-1)代入J得:JNixiNiNiNjNmNpxiyiyixjyjijmpijmpNixiNiNiNjNmNpxm

7、ymyixpypijmpijmp将形函数Ni141i1ii,j,m,p代入，分别对,求偏导，即可得到四结点四边形等参元的雅可比矩阵：J1143A2B65A24B式中常数记为:AiixiijmpixiijmpBiiyiijmpiyiijmp4有限元讲义3ixi4iyiijmpijmp该雅可比矩阵的逆:114B2BJ4JAA31雅可比队列式:J1A2A143161B1A2A4142316AB3能够证明，如果四结点四边形的四个内角都小于180的话，雅可比队列式|J|大于零，其逆阵J-1是存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的随意四边形单元必须是凸四边形，即随意内角都

8、不能大于180。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：NiNix1JiJ11Ni4iNiyi11i266i(i,j,m,p)求出全部偏导，即代回（2-6-2）右侧，即可获得几何矩阵B,B是,的函数,即:Ni0Nj0Np00 xxxxNiNjNpB0yN0y00yyyxNiNiNjNjNpNpyxyxyx将(2-6-6)代入即可获得B,B是,的函数。三、单元刚度矩阵获得B后,便可由单刚的一般表达式:TKtBDBdxdy求出四结点四边形的单元刚度矩阵。在按上述公式作积分运算时,必须把面积元dxdy变换成dd,图a上的面积元abdc的面积等于矢

9、量ab与矢量ac的矢量积的模，5有限元讲义即微元dAabacxy沿轴对应于d的矢量增量是:abdidj沿轴对应于的矢量增量是:acxdiydj式中i,j是坐标x,y的单位矢,注意到:iijj0ij1则有:dAxdiydjxdiydjxyyxddijJdd因此刚度矩阵的积分式:11DJtddKBT26711在计算单元刚度矩阵K中元素时，由于被积函数中出现了雅可比队列式，使得它用解析法很难求其积分，故常采用高斯数值积分法.6有限元讲义四、数值积分bd1一维数值积分Fa基本思想:结构一个多项目式，使在i(i=1,2n)上有iFi，bd来近似原被积函数Fb然后用近似函数的积分a的积分Fd。i称为积a分

10、点或取样点，积分点i的数值和地点决定了近似F的程度，亦即决定数值积分的精度。关于n个积分点,按照积分点地点的不同选择，平时采用两种不同的数值积分方法，Newton-Cotes积分和高斯积分方案。二者方法基真相同，只是前者的积分点i是等间距散布,今后者不是等间距散布。高斯积分的积分点地点由下述方法确定：定义n次多项式P12n由下列条件确定n个积分点地点bia由上二式可见，Pd0i0,1n1有以下性质：在积分点上Pi0；多项式P与0,1,2,.n1在（a,b）域内正交。由此可见n个积分点的地点0,1,2,.n1正交的n次多项式P组成方程i是在求积域（a,b）内与biPd0的解。a于是,被积函数F可

11、由2n-1次多项式来近似。nn1lin1FiiPi1i0llii1i2ni是n-1阶Lagrange插值函数1nbb用ad近似aFd,并考虑上面确定n个积分点地点的约定条件得:7有限元讲义bndHiFiRFai1bn1式中HilidaHi称为积分的权系数(加权系数,权)，可见加权系数H与被积函数F无关，只与积分i点个数和地点相关。为便于计算积分点地点i和加权系数Hi,常将上式中的积分限规格化，即令:a1b1由此计算出的i,Hi对应于原积分域(a,b)的关系为:ababibaHi222关于多重积分，按重积分规则，计算内层时，保持外层为常数，逐层计算即可。相关数值积分更详细的资料可参阅其教科书。等

12、参元计算中数值积分阶次的选择数值积分中，怎样选择积分阶次将直接影响计算精度、工作量，选择不当则有可能使计算失败。选择积分阶次的原则首先是要保证积分的精度能知足所求问题的要求。如一维问题：设：插值函数中的多项式阶数为p，微分算子中导数的最高阶为m，则有限元获得的近似能量是2(p-m)次多项式。若被积函数是2(p-m)次多项式，应选高斯积分的阶次为n=p-m+1。三结点三角形单元（线性单元）刚度矩阵中被积函数是常数，故只要一个积分点。双线性单元22p-m+1=1,但插值函数将包含有二次项（,）中的项，所以要达到精准积分应采用22阶的高斯积分。有的有限元书中列出了不同插值函数的高斯积分点数n及相应积

13、分点坐标i和权系数Hi的值，可供编写有限元程序时参照。五、四边形等参元的荷载等效变换四边形等参元等效结点荷载的计算，仍旧利用局部坐标体系。1集中力PPx设在单元上随意一点C作用有一集中力,根据荷载等效变换的一般公式，其等Py效结点荷载计算公式是：RNCTP式中，NTC是形函数N在集中力作用点C上的值。2体积力Wx设在单元上作用有单位体积力WWy，其等效结点荷载的计算公式是：8有限元讲义11RNTWtJdd113散布力qx设单元的某一边界上承受的散布表面力是qqy，其等效结点荷载的计算公式是，当散布力作用在单元ij,mp边界上时：RNTqt(x)2(y)2d11当散布力作用在单元ij,mp边界上

14、时：RNTqt(x)2(y)2d119有限元讲义2.7八结点曲线四边形等参元在常例有限元程序的单元库内，当前工程上对平面问题最合用的是八结点等参元。下面作一简要介绍。单元及结点编号如图a所示，位移和力列向量仍采用与前面近似的排列方式。为了结构其位移函数，按照前面等参元的观点，可先结构八结点正方形母体单元的位移函数（图b），并取为双二次插值位移函数：U222212345678V2222910111213141516代入边界条件，获得用结点位移d表示的位移场:8Ui1NiUi2718NiVi1式中的形函数:Ni11i1iii1i1,2,3,4427212222Nj11ij5,6,7,82jji按照

15、等参元的定义，实际单元映射成正方的母体单元的坐标变换式与式2-7-2等同,得:8xNixii12738yNiyii110有限元讲义前面我们在推导单元刚度矩阵时，都是假设单元结点编号从左下角开始，逆时针编号。从有限元理论上说，其编号应当是能够随意的。下面给出一种不同结点编号的例子。实际单元基本单元11有限元讲义12有限元讲义13有限元讲义14有限元讲义15有限元讲义16有限元讲义17有限元讲义18有限元讲义19有限元讲义20有限元讲义2.8几个问题的补充一、变厚问题各单元取不同t。二、不同材料问题各单元取不同E,三、平面应力与平面应变问题在前面三角形单元的推导中，我们假设其为平面应力问题。工程中

16、，还有另一类情形平面应变状态。比方，在对坝体或遂洞等长柱体进行解析时，如果取xoy坐标平面与其横截平面行,而Z轴与其长度方向一致（如图）那么，由于所考察物体在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿长度方向变化的荷载作用，便可认为各个横截面应处于同样的状况，即近似认为Z方向的位移分量W=0,(位移与Z无关)于是，由弹性力学知，在六个应力分量中也仅有三个独立分量x,y和xy,而zxy不独立。并可获得平面应变问题的物理方程。1221xxy，yyxE1E1xy2xy1E112比较平面应力问题：11xy2xy(1)y，yyx，ExExEE得悉只要把应力问题中的E换成1，换成1即得应变问题。所

17、以在这类问题的程序设计中，平时能够同时求解应力和应变问题，只要设置一开关变量便能够实现。四、各向异性材料在弹性矩阵D中反响。如正交各向异性时的弹性矩阵D为：21ExxEy有限元讲义01xy1xyDxEyEy01xy01xyGxy（见凯维奇有限元法，中P102104，英P98109）五、设置不同种类的单元在工程中，同一构件经常要用到一种以上材料。如利用角、槽钢等在开洞板内作加强筋用。另一种情况是钢筋混凝土构件的全过程解析中，纵向受拉筋的单元区分，如图。混凝土被划成若干平面三角形单元，而将纵向受力钢筋（或箍筋）看作线单元（图中红线所示），也可把钢筋等效成与混凝土叠合的三角形单元，但此时均为两种不同材料。有限元解析时，可认为结构是由若干（面）单元（三角形或矩形）和线（杆）单元（二力杆）共同组成，区分网格时，若遇到线单元，便将结点取在