高中《正弦和余弦定理》数学教案

1、第 PAGE17 页 共 NUMPAGES17 页高中正弦和余弦定理数学教案高中正弦和余弦定理数学教案1教学目的进一步熟悉正、余弦定理内容，能纯熟运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：纯熟运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进展边角关系的互相转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：出例如1：在ABC中，以下条件，解三角形.分两组练习讨论：解的个数情况为何会发生变化?用如以下图示分析p 解的情况.(A为锐角时)练习：在ABC中，以下

2、条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：出例如2：在ABC中，sinAsinBsinC=654，求角的余弦.分析p ：条件可以如何转化?引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.出例如3：在ABC中，a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析p ：由三角形的什么知识可以判别?求角余弦，由符号进展判断出例如4：ABC中，试判断ABC的形状.分析p ：如何将边角关系中的边化为角?再考虑：又如何将角化为边?3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、稳固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中正弦和余弦定理数学教案2一)教材分析p (1)地位和重

3、要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。(2)重点、难点。重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目的(1)知识目的：要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;可以运用正余弦定理解三角形;理解向量知识的应用。(2)才能目的：进步学生分析p 问题、解决问题的才能。(3)情感目的：使学生领悟到数学来于理论而又作用于理论，培养学生的学习数学的兴趣。(三)教学过程老师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发现，自主探究。使学生的综合才能得到进步。教学过程分如下几个环节：

4、教学过程课堂引入1、定理推导2、证明定理3、总结定理4、归纳小结5、反应练习6、课堂总结、布置作业详细教学过程如下：(1)课堂引入：正余弦定理广泛应用于消费生活的各个领域，如航海，测量天体运行，那正余弦定理解决实际问题的一般步骤是什么呢?(2)定理的推导。首先提出问题：RtABC中可建立哪些边角关系?目的：首先从学生熟悉的直角三角形中引导学生自己发现定理内容，猜测，再完成一般性的证明，详细环节如下：引导学生从SinA、SinB的表达式中发现联络。继续引导学生观察特点，有A边A角，B边B角;接着引导：能用C边C角表示吗?而后鼓励猜测：在直角三角形中成立了，对任意三角形成立吗?发现问题比解决问题更

5、重要，我便是让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后产生猜测，进而完成一般性证明。这个过程采用了不断创设问题，启发诱导的教学方法，引导学生自主发现和探究。第二步证明定理：用向量方法证明定理：学生不易想到，设计如下：问题：如何出现三角函数做数量积欲转化到正弦利用诱导公式做直角难点打破理论：师生共同完成锐角三角形中定理证明独立：学生独立完成在钝角三角形中的证明总结定理：师生共同对定理进展总结，再认识。在定理的推导过程中，我注重“重过程、重体验”培养了学生的创新意识和理论才能，教育学生独立严谨科学的求学态度，使情感目的、才能目的得以实现。在定理总结之后，老师布置考虑题：定理还

6、有没有其他证法?通过这样的考虑题，发散了学生思维，使学生的思维不仅仅禁锢在老师的启发诱导之下，符合素质教育的要求。(3)例题设置。例1ABC中，c=10，A=45，C=30，求b.(学生口答、老师板书)设计意图：加深对定理的认识;进步解决实际问题的才能例2ABC中，a=20，b=28，A=40，求B和C.例3ABC中，a=60，b=50，A=38，求B和C.其中两组解，一组解例3同时给出两道题，首先留给学生一定的考虑时间，同时让两学生板演，以便两题形成对照、比拟。可能出现的情况：两个学生都做对，那么继续为学生提供展示的空间，让学生来分析p 看似一样的条件，为何二解一解情况，假如第二同学也做出两

7、组解，那么让其他学生积极参与评判，发现问题，找出对策。设计意图：增强学生对定理灵敏运用的才能进步分析p 问题解决问题的才能激发学生的参与意识，培养学生合作交流、竞争的意识，使学生在互相影响中共同进步。(4)归纳小结。借助多媒体动态演示：图表使学生对于两边和其中一边对角，三角形解的情况有一个明晰直观的认识。之后让学生对题型进展归纳小结。这样的归纳总结是通过学生理论，在新旧知识比照之后形成的，防止了学生的被动学习，抽象记忆，让学生形成对自我的认同和对社会的责任感。实现本节课的情感目的。(5)反应练习：练习ABC中，a=60，b=48，A=36ABC中，a=19，b=29，A=4ABC中，a=60，

8、b=48，A=92判断解的情况。通过学生形成性的练习，稳固了对定理的认识和应用，也便于老师掌握学情，以为教学的进展作出合理安排。(6)课堂总结，布置作业。高中正弦和余弦定理数学教案3教学目的：1.理解利用向量知识推导正弦定理;2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决解斜三角形中复杂的计算问题;3.会断定两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解;4.通过利用向量证明正弦定理，理解向量的工具性和知识间的互相联络，体会事物之间是互相联络的辩证思想;教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用;教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个

9、数的断定.教学方法：情景问题、启发引导教学设计过程(一)设置情境。考虑：现实生活中如何测得某湖对岸A、B两点之间间隔 。学生会很自然地构造直角三角形来解决。但是很多情况，受地理条件的限制，我们很难构造直角三角形，也就是在一般的三角形里我们如何求出AB的间隔 ?我们能不能发如今三角形中还蕴涵着什么样边与角关系呢? #FormatTableID_5# 组织学生分组讨论，老师参与学生的讨论。(2-3钟)让学生汇报：通过对直角三角形的研究发现了什么结论。直角三角形中存在等式：小结：利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角.这个式子在任意三角形中也

10、是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理.(二)推导定理过程1.学生考虑：1)在任意 中，3个向量 ， ， 间 满 足什么关系?2)在 + + = 两边同乘以向量 ,有( + + ) .,这里的量 可否任意?又如何选择向量3)由 + + = ,如何能形成数量积运算?2.证明过程：如图，在锐角中 ，过 作单位向量 垂直于 ，那么 与 的夹角为 与 的夹角为 。由向量的加法可得:对上面向量等式两边同取与向量 的数量积运算，得到同理，过点 作与 垂直的单位向量 ，可得3.深化考虑：1) 当 为钝角三角形时如何证得2)正弦定理还有没有其它的方法证明?3)观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问

11、题?4.小结：正弦定理可以解决两类三角形问题：1)两角和任意一边，可以求出其他两边和一角;2)两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(三)例题分析p 例1 在 中， ，求 (保存两个有效数字)解： 且例2 在 中， ，求 。解：由 得 中 为锐角 例3 在 中， ，求 的面积 。解：首先可证明：这组结论可作公式使用。其次求 ,由正弦定理(四).练习稳固，加深理解。(1)在 中，一定成立的等式是( ). . .(2)在 中，假设 ，那么 是( ).等腰三角形 .等腰直角三角形 .直角三角形 .等边三有形(3)在任一 中，求证 :证明：由于正弦定理：令 代入左边得：(五)总结提炼(1

12、)三角形常用公式： ;(2)正弦定理表示形式： ( 外接圆直径); 。(3)正弦定理应用范围：两角和任一边，求其他两边及一角。两边和其中一边对角，求另一边的对角。几何作图时，存在多种情况。如 、 及 ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。(六)稳固作业：1 中， ，那么 为( )A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等边三角形 D 等腰三角形2 在 中， 是 的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3在 中， 求 和 .(七)板书设计：高中正弦和余弦定理数学教案4三维目的1.通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用

13、正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题.2.通过正弦定理的探究学习，培养学生探究数学规律的思维才能，培养学生用数学的方法去解决实际问题的才能.通过学生的积极参与和亲身理论，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立考虑和勇于探究的创新精神.重点难点教学重点：正弦定理的证明及其根本运用.教学难点：正弦定理的探究和证明;两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)老师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如RtABC中的边角关系，假设C为直角，那么有a=csinA，b=csinB，这两个等式间存在关系吗

14、?学生可以得到asinA=bsinB，进一步提问，等式能否与边c和C建立联络?从而展开正弦定理的探究.思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生.在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处测到火情在北偏西60方向，B在A的正东方向10千米处.如今要确定火场C距A、B多远?将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，CAB=130，CBA=30，AB=10千米，求AC与BC的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此展开新课的探究学习.

15、推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三 角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系?3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立?4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言表达它吗?你能用哪些方法证明它?5什么叫做解三角形?6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢?活动：老师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如老师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的间隔 ?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测

16、量底部不可到达的建筑物的.高度?怎样在程度飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.关于任意三角形中大边对大角、小 边对小角的边角关系，老师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如以下图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，那么asinA=bsinB=csinC=c.从而在RtABC中，asinA=bsinB=csinC.那

17、么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢?老师引导学生画图讨论分析p .如以下图，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA，那么asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.从而asinA=bsinB=csinC.(当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立.老师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理正弦定理.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC上述的探究过程就是正弦定理的证

18、明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进展证明.老师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描绘了任意三角形中边与角的一种数量关系;描绘了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为假如AB，由三角形性质，得asin(-A)=sinA，所以仍有sinA正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，老师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法.讨论结果：(1)(4)略.(5)三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形.(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.三 角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和 角，即“两边一对角问题”.这类问题的