大连中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，点P在OO的直径AB的延长线上，PC为OO的切线，点C为切点，连接AC,过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交OO于点E.如图1,求证：ZDAC=ZPAC；如图2,点F（与点C位于直径AB两侧）在OO上,BF二FA，连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证：FG=DE+DG；2在的条件下，如图3若AE=3DG,P0=5，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3l2.【解析】【分析】（1）连接OC，求出OCIIAD,求出OC丄PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形H

2、GDE是矩形，求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案；（3）设OC交HE于M,连接OE、OF,求出ZFHO=ZEHO=45，根据矩形的性质得出12EHIIDG,求出OM=-AE，设OM=a，则HM=a,AE=2a,AE=3DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tanZMBO=MOBMCO1tanP=PO二-，设OC=k，则PC=2k,根据OP=J5k=5求出k5，根据勾股定理求出a,即可求出答案.详解】（1）证明：连接OC,PC为OO的切线,0C丄PC,AD丄PC,.OCIIAD,ZOCA=ZDAC,TOC=OA,.ZPAC=ZOCA,.ZDAC=ZPAC；(2

3、)证明：连接BE父GF于H,连接OH,TFGIAD,.ZFGD+ZD=180,TZD=90,.ZFGD=90,TAB为OO的直径，.ZBEA=90,.ZBED=90,.ZD=ZHGD=ZBED=90,.四边形HGDE是矩形,.DE=GH,DG=HE,ZGHE=90,TBF二AF,ZHEF=ZFEA=-ZBEA=-x90o=45。22ZHFE=90。-ZHEF=45,.ZHEF=ZHFE，.FH=EH，.FG=FH+GH=DE+DG；(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF,TEH=HF，OE=OF，HO=HO，.FHO竺EHO,.ZFHO=ZEHO=45。，四边形GHED是矩形，EHIIDG

4、,ZOMH=ZOCP=90,ZHOM=90-ZOHM=90-45=45,.ZHOM=ZOHM，.HM=MO,TOM丄BE,.BM=ME,1.om=ae,22设OM=a，贝9HM=a,AE=2a,AE=3DG,DG=3a,TZHGC=ZGCM=ZGHE=90，.四边形GHMC是矩形，.GC=HM=a，DC=DG-GC=2a，TDG=HE，GC=HM，.ME=CD=2a，BM=2a，MOa1在RtABOM中，tanZMBO=,BM2a2TEHIDP，.ZP=ZMBO，CO1tanP=PO设OC=k,则PC=2k,在RtAPOC中，OP=J5k=5,解得：k=,OE=OC=/5,在RtAOME中，O

5、M2+ME2=OE2,5a2=5,a=1，.HE=3a=3，在RtAHFE中，ZHEF=45,.EF=HE=32.【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2.B（-3空3,O）,C（爲,O）.（1）求OM的半径；（2）若CE丄AB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.3）在（2）的条件下求AF的长【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4【解析】【分析】（1）过M作MT丄BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角

6、定理可得出/AEC=ZABC，再由AAS定理得出厶AEHAFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中厶BMT的边长确定出ZBMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】（1）如图（一），过M作MT丄BC于T连BM，TBC是OO的一条弦，MT是垂直于BC的直径，二盯=TC=2bc=2：亍，BM=、：12+4=4；（2）如图（二），连接AE，则/AEC=ZABC，TCE丄AB，ZHBC+ZBCH=90在厶COF中，TZOFC+ZOCF=90，ZHBC=ZOFC=ZAFH，在厶AEH和厶AFH中，/AFH=ZAEHtZ

7、AHF=ZAHE，AH=AHAEH竺AFH（AAS），EH=FH；（3）由（1）易知，ZBMT=ZBAC=60，作直径BG,连CG,则/BGC=ZBAC=60,TOO的半径为4，CG=4,连AG，TZBCG=90,.CG丄x轴，.CGIIAF,TZBAG=90,.AG丄AB,TCE丄AB,.AGICE,.四边形AFCG为平行四边形.AF=CG=4TAEAGTO【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键3.如图，AB是半圆的直径，过圆心0作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D,点E在0D上ZDCE=ZB.(1)求证：CE

8、是半圆的切线；2若CD=10,tanB=3，求半圆的半径.【答案】见解析；(2)4、，13【解析】分析：(1)连接CO,由ZDCE=ZB且OC=OB,得乙DCE=ZOCB，利用同角的余角相等判断出ZBCO+ZBCE=90，即可得出结论；设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明AOD-ACB,列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO.TAB是半圆的直径，ZACB=90.ZDCB=180-ZACB=90.ZDCE+ZBCE=90.TOC=OB,.ZOCB=ZB.tZDCE=ZB,.ZOCB=ZDCE.ZOCE=ZDCB=90.OC丄CE.TOC是半径，.CE是半圆

9、的切线.解：设AC=2x，AC2t在RtACB中，tanB=BC3.BC=3x.AB=l(2x+(3x=13x./ODAB,.ZAOD=ZACB=90.TZA=ZA，.AOD-ACB.AC_AOAB_AD.OA_1AB_2v13x，AD=2x+10,x，13x2x+10解得x=8.OA二13x8_4J13.2则半圆的半径为4空13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.4定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形如图1,四边形ABCD内接于OO,ZDCB-ZADC=ZA,求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；在(1)的条件下，OO半径为5.若AD为直径，且

10、sinA=5，求BC的长；若四边形ABCD中有一个角为60,且BC=CD,则四边形ABCD的面积；在(1)的条件下，记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.备用图圉1备用图备用图75f375【答案】(1)见解析；(2)BC=6,或；(3)见解析44【解析】【分析】先判断出ZADC=180-2ZA.进而判断出ZABC=2ZA,即可得出结论；先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出ZADB=ZBDC,即可得出结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；先得出BE=BC=b,DE=DA=b，进而得出CE=d-c，再判断出EBC-EDA,即可得出结论.【详解

11、】设ZA=a，则ZDCB=180-a.ZDCB-ZADC=ZA,二ZADC=ZDCB-ZA=180-a-a=180-2a,二ZABC=180-ZADC=2a=2ZA,A四边形ABCD是OO内接倍角四边形；连接BD.4TAD是OO的直径，AZABD=90.在RtAABD中，AD=2x5=10,sinZA=_,BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设ZA=a,AZADB=90-a.由（1）知，ZADC=180-2a,AZBDC=90-a,AZADB=ZBDC,ABC=AB=6；若/ADC=60。时.T四边形ABCD是圆内接倍角四边形，二ZBCD=120或BAD=30.I、当/BCD=120时，如图3

12、,连接OA,OB,OC,OD.1TBC=CD,ZBOC=ZCOD,二ZOCD=ZOCB=ZBCD=60,AZCDO=60,AAD是OO2的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）AZADC+ZBCD=180,ABCIIAD,AAB=CD.TBC=CD,AAB=BC=CD,AOAB,BOC,COD是全等的等边三角形,AS四边形375朽abcd=3Saob=3x-x52=4.口、当ZBAD=30时，如图4,连接OA,OB,OC,OD.T四边形ABCD是圆内接四边形，AZBCD=180-ZBAD=150.1TBC=CD,AZBOC=ZCOD,AZBCO=ZDCO=-ZBCD=75,AZBOC

13、=ZDOC=30,2AZOBA=45,AZAOB=90连接AC,AZDAC=2ZBAD=15.TZADO=ZOAB-ZBAD=15，AZDAC=ZADO,AODIAC，AOAD呎OCD过点C作CH丄OB于H.15在RtAOCH中,CH=OC=，aS四边形abcd=SacodSboc+SaobSaao$S“boc+S、aob=5175x5+x5x5=-224故答案为：互3或罟;44延长DC,AB交于点E.1T四边形ABCD是OO的内接四边形，二ZBCE=ZA=-ZABC.2TZABC=ZBCE+ZA,ZE=ZBCE=ZA,BE=BC=b,DE=DA=b,CE=d-c.CEBCdcbTZBCE=Z

14、A,ZE=ZE,.EBCEDA,.,-,-d2-AEADa+bdb2=ab+cd.备用图【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.5.等腰RtAABC和OO如图放置，已知AB=BC=1,ZABC=90,OO的半径为1,圆心0与直线AB的距离为5.若厶ABC以每秒2个单位的速度向右移动，OO不动，则经过多少时间ABC的边与圆第一次相切？若两个图形同时向右移动，ABC的速度为每秒2个单位，OO的速度为每秒1个单位，则经过多少时间ABC的边与圆第一次相切？若两个图形同时向右移动，ABC的速度为每秒

15、2个单位，OO的速度为每秒1个单位，同时ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.ABC的边与圆器案】于;(2)5迈；20于【解析】分析：(1)分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，ABC移至AZBZC处，AC与OO切于点E,连OE并延长，交BC于F.由切线长定理易得CU的长，进而由三角形运动的速度可得答案；(2)设运动的时间为t秒，根据题意得：CC=2t,DD=t，则CD=CD+DD-CC=4+t-2t=4-t,由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离.详解：（1）假设第一次相切时，ABC移至ABC处，如图1，AC与OO切于点E

16、,连接OE并延长，交BZC于F,设与直线丨切于点D,连接0D,则0E丄AC，0D丄直线1，由切线长定理可知CE=CD,设CD=x,则CE=x，TABC是等腰直角三角形，ZA=ZACB=45,ZACB=ZACB=45,.EFC是等腰直角三角形，.作迈x,ZOFD=45,.OFD也是等腰直角三角形，.OD=DF，.P2x+x=1,则x=J2-1,.CC=BD-BC-CD=5-1-（巨-1）=5-迈,.点c运动的时间为5r2；2，5-J2则经过秒，ABC的边与圆第一次相切；2oADDCBBF（2）如图2,设经过t秒厶ABC的边与圆第一次相切，ABC移至ABC处，OO与BC所在直线的切点D移至D处，A

17、C与OO切于点E,连OE并延长，交BC于F,CC=2t,DD=t,.CD=CD+DD-CC=4+t-2t=4-t，由切线长定理得CE=CD=4-t,由(1)得：4-t=2-1,解得：t=5-J2,答：经过5_、込秒厶ABC的边与圆第一次相切;(3)由(2)得CC=(2+0.5)t=2.5t,DD=t,则CD=CD+DD-CC=4+t-2.5t=4-1.5t,由切线长定理得CE=CD=4-1.5t,由（1）得：4-1.5t“2-1,解得：t=点B运动的距离为210-2迈=20-4迈.点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的

18、分析能力6.如图，O0的直径AB=8,C为圆周上一点，AC=4,过点C作O0的切线/,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与O0交于点E.求/AEC的度数；求证：四边形OBEC是菱形.答案】(1)30；(2)详见解析.解析】分析】易得AOC是等边三角形，则/AOC=60,根据圆周角定理得到ZAEC=30；根据切线的性质得到OC丄/,则有OCIIBD,再根据直径所对的圆周角为直角得到ZAEB=90o,则/EAB=30o,可证得ABIICE,得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=0C,即可判断四边形OBEC是菱形.【详解】解：在AOC中，AC=4,A0=0C=4,AOC是等边三角形，ZAOC=

19、60,ZAEC=30；证明：0C丄/,BD丄L.OCIBD.ZABD=ZAOC=60.AB为OO的直径，ZAEB=90,AEB为直角三角形，ZEAB=30.ZEAB=ZAEC.CEIIOB,又COIIEB四边形OBEC为平行四边形.又OB=OC=4.四边形OBEC是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.7.如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，AC为直径，BD二AD，DE丄BC,垂足为E.(1)判断直线ED与O0的位置关系，并说明理由；(2)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.【答案】(1)ED与O相切理由见解析；(

20、2)S阴影=3兀-【解析】O【分析】(1)连结0D,如图，根据圆周角定理，由BD二AD得到ZBAD=ZACD,再根据圆内接四边形的性质得/DCE=ZBAD,所以/ACD=ADCE；利用内错角相等证明ODIIBC,而DE丄BC,则OD丄DE,于是根据切线的判定定理可得DE为OO的切线；(2)作OH丄BC于H,易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2,则CH=HE-CE=1,于是有/HOC=30,得到/COD=60，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=$扇形ocd-S、ocd进行计算即可【详解】(1)直线ED与OO相切.理由如下：连结OD,如图，TBD二AD,AZBAD

21、=AACD.ZDCE=ZBAD,AZACD=ZDCE.IOC=OD,AZOCD=ZODC，而ZOCD=ZDCE,AZDCE=ZODC,AODIBC.TDE丄BC,AOD丄DE,ADE为OO的切线；(2)作OH丄BC于H,则四边形ODEH为矩形，AOD=EH.TCE=1,AC=4,AOC=OD=2,ACH=HE-CE=2-1=1.在RtAOHC中，TOC=2,CH=1,ZOHC=90,ZHOC=30,AZCOD=60,A阴影部分的面积=$一S扇形OCDOCD60兀-223=22360二|n3.4【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，

22、已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了扇形面积的计算.8如图所示，AABC内接于圆O,CD丄AB于D；如图1,当AB为直径，求证：ZOBC=ZACD；如图2,当AB为非直径的弦，连接OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明,不成立说明由；如图3,在(2)的条件下，作AE丄BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD=BD+2ED，若DE=3,OB=5，求CF的长度.EF0BAODOBADE2HiS3【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）y解析】分析】（1）根据圆周角定理求出ZACB=90，求出ZADC=90,再根据三角形内角和定理求出即(2)根据圆周角定理求出Z

23、BOC=2ZA,求出ZOBC=90-ZA和ZACD=90-ZA即可;（3）分别延长AE、CD交OO于H、K,连接HK、CH、AK，在AD上取DG=BD，延长CG交AK于M,延长KO交OO于N,连接CN、AN，求出关于a的方程，再求出a即可.详解】(1)证明：TAB为直径,ZACB=90,tCD丄AB于D,ZADC=90,ZOBC+ZA=90,ZA+ZACD=90。,ZOBC=ZACD；2）成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：/BOC=2ZA,OC=OB,ZOBC二1(180。/BOC)=1(180。2ZA)=90。/A,22zADC=90。,ZACD=90。ZA,ZOBC=ZACD；(3)分

24、别延长AE、CD交OO于H、K,连接HK、CH、AK,AE丄BC,CD丄BA,ZAEC=ZADC=90。,ZBCD+ZCFE=90。,ZBAH+ZDFA=90。,ZCFE=ZDFA,ZBCD=ZBAH,根据圆周角定理得：ZBAH=ZBCH,ZBCD=ZBAH=ZBCH，.由三角形内角和定理得：ZCHE=ZCFE,.CH=CF，.EH=EF，同理DF=DK，DE=3，.HK=2DE=6在AD上取DG=BD，延长CG交AK于M,则AG=AD-BD=2DE=6,BC=GC，.ZMCK=ZBCK=ZBAK，.ZCMK=90。，延长KO交OO于N,连接CN、AN，则ZNAK=90=ZCMK，.CM/AN

25、，ZNCK=ZADK=90，.CN/AG，.四边形CGAN是平行四边形，.AG=CN=6，作OT丄CK于T，则T为CK的中点，TO为KN的中点，1.OT=CN=3，2zOTC=90。,OC=5,由勾股定理得：CT=4,CK=2CT=8,作直径HS,连接KS,HK=6,HS=10,.由勾股定理得：KS=8,3tanZHSK二一二tanZHAK,41tanZEAB=tanZBCD,3设BD=a,CD=3a,AD=BD+2ED=a+6,DK=IaD=-a+2,33CD+DK=CK,1-3a+a+2=8,39解得：a=5,113DK=a+2=-,35CF=CK-2DK=8-2614【点睛】本题考查了垂

26、径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点能综合运用知识点进行推理是解此题的关键综合性比较强难度偏大9.如图，在ABC中，AB=AC,以AC为直径作OO交BC于点D,过点D作FE丄AB于点E交AC的延长线于点F(1)求证：EF与OO相切；3(2)若AE=6,sinZCFD=5,求EB的长.答案】(1)见解析(2)解析】15【分析】(l)如图，欲证明EF与O相切，只需证得0D丄EF.EB二AB-AE二15-6二3.22【详解】(1)如图，连接0D,EOC=OD,/.ZOCD=ZODC.AB=AC,.ZACB=ZB,ZODC=ZB,OD/AB,ZODF=ZAEF,EF丄A

27、B,/ZODF=ZAEF=90,OD丄EF,oOD是O的半径，EF与O相切；OD/AB,OD丄EF.AE3AF5在RtAEF中，sinZCFD二二一，AE=6,则af=10,OD/AB,FODFAE,OF_ODAF_AE，设O的半径为r,10-rr解得，r二4:.AB二AC二2r二15EB二AB-AE二153622【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.10.对于平面内的OC和OC外一点Q,给出如下定义：若过点Q的直线与OC存在公共点，记为点A，B,设k=AQCQQ，则称点A（或点B）是OC的K相关依附点”，特别

28、k=2AQCQCQ地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，已知在平面直角坐标系xoy中，Q（-1,0）,C（1,0）,OC的半径为r.（1）如图1,当r二时，若Aj0,1）是0。的k相关依附点”求k的值.A2（1+迈,0）是否为OC的2相关依附点（2）若OC上存在k相关依附点点M,当r=1，直线QM与OC相切时，求k的值.当k=3时，求r的取值范围.（3）若存在r的值使得直线y=-吊+b与OC有公共点，且公共点时OC的春亍相关依附点”，直接写出b的取值范围.【答案】（1）弋2.是；（2）k=-J3；r的取值范围是lWr2；（3）-禹b3込.【解析】【分析】（1）如图1中，连接AC、QA首先证明QA1是切线，根据k=计算即可解决问题；根据定义求出k的值即可判断；（2）如图，当r=1