状态空间分析方法

1、关于状态空间分析方法第一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月第9章 状态空间分 析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录第二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理

2、论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。第三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月基本要求 掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。 返回子目录第四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月熟练掌握可逆线性

3、变换矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。第五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解系统齐次方程渐近稳定和

4、系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。第六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月9-1 状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录第七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知 时状态， 时的输入，可确定 时任一变量的运

5、动状况。状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量 。第八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月状态空间：由 张成的n维向量空间。状态向量： 如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么状态向量定义为X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。第九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-2设一RLC网络如图所示。回路方程为图9-2 RLC网络第十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月选择状态变量则有写成输出第十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月写成若选另一组状态变量则有第十二张，

6、PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。单输入-单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式第十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月（9-17）第十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月或写成（9-19）第十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月系统结构图如图所示图9-3第十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-3输入为 u ，输出为y 。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统第十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：状态方程为写

7、成取状态变量第十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月输出图9-4 例9-3系统的结构图第十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月多输入-多输出系统图9-6 多变量系统第二十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 为状态变量；为输入量；为输出变量。第二十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月矩阵形式：式中第二十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月.输出变量方程第二十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式中第二十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-7 系统结构图第二十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月三

8、、线性定常系统状态方程的解式中 均为列向量。（9-28）齐次向量微分方程（9-29）方程的解为1、齐次状态方程的解第二十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月可得代入方程 将方程两边系数必相等, 即第二十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月我们定义（9-31）（9-32）因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（9-29）中得第二十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月（9-33）（9-34）（9-35）为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解第二十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月拉氏反变换后得到（9-37）（9-38）第三

9、十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月最终得到与前一种解法所得结果一致。式中（9-41）第三十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月状态转移矩阵具有以下性质：第三十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-8 状态转移特性性质3第三十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-5设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。第三十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为第三十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-6设系统状态方程为试求状态方程的解。第三十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6

10、月解：用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 第三十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月状态方程之解为 将上式进行拉氏反变换第三十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-9 系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）第三十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月改写为 用 左乘等式两边 2 非齐次状态方程的解非齐次方程（9-53）（9-54）第四十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月用 左乘上式两边（9-54）则式（9-54）可以写成（9-55）积分上式得第四十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法拉氏反变换得由于由卷积定理有

11、第四十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月因此由于最后得到第四十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-7求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。第四十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：由状态转移矩阵第四十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月若初始状态为零状态，则第四十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月四、传递函数矩阵（9-58）系统状态方程（9-59）输出方程拉氏变换为第四十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解出定义传递函数矩阵为（9-63）第四十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月所以特

12、征方程为第四十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-8设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。第五十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：已知故第五十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月第五十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-9设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。第五十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。第五十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月五、动态方程的可逆线性变换其中 P 是nn 矩阵第五

13、十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月特征多项式特征多项式没有改变。第五十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月传递函数阵传递函数阵没有改变第五十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-10对例9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。第五十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 根据题意求变换矩阵代入第五十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得第六十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月9-2 线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，

14、对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化和“状态的变化能否由输出反映出来这样两个问题。返回子目录第六十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月一、准备知识设A 是 nn 矩阵, x 是 n1 向量,齐次方程组若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1、齐次方程组的非零解第六十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月2、Cayley-Hamilton定理 Cay

15、ley-Hamilton定理指出， 矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足（9-71）（9-72）A的特征多项式第六十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月应用Cayley-Hamilton 定理（9-78）对于矩阵指数 可以用来表示。第六十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-11解：矩阵A的特征多项式要求计算矩阵 的第六十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月矩阵A满足自己的特征多项式，有本题中n=100，故有第六十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月3 引理的充分必要条件是：存在 使（9-80）非奇异。这里A :nn, b: n1.第六十七张

16、，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月若对任意状态 ，存在一个有限时刻 和控制量 ，能在 时刻将状态 转移到0，则称此系统的状态完全可控。二、线性系统的可控性1 定义对于任意时刻 和 ，若存在控制向量 ，能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。 等价的定义第六十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例如图9-10 二维系统状态转移过程如图所示系统可控。第六十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月2 可控性判据其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的充分必要条件是（9-84）（9-85）（9-86）

17、单变量线性定常系统第七十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月证明：将u(t) 代入式(9-54)，可得（9-87）若式(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在t10，使得(1-30)式定义的W(0, t1)矩阵非奇异，取t1为可控性定义中的tf ，且在0, tf 上定义第七十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。 第七十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月再证明若系统可控，则式(9-86)成立 根据凯莱哈密尔顿定理 （9-88）（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式

18、，则有第七十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月把(9-89) 式代入(9-88) 式，得记这时（9-90）第七十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月由于x(0)是任意的n维向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于(9-84) 式中的A阵和b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为S，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n 或 detS0。第七十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-11 不可控系统第七十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例子系统可控系统第七十七张，PPT共二百一十

19、六页，创作于2022年6月3 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。第七十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。第七十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-12系统状态方程为试确定系统可控时， 应满足的条件。第八十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果 .因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)

20、应有 ，由判据的(2)，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为第八十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月4、可控标准形（9-92）则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式第八十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月(9-92)式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。对于一般的单输入n维动态方程 (9-93)其中A，b分别为nn,n1的矩阵。成立以下定理： 若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。第八十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵S；计算 ，并记

21、 的最后一行为h。构造矩阵 P令 即可求出变换后的系统状态方程。第八十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-13设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。第八十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。 第八十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为第八十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月可求出第八十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月5 系统按可控性

22、进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 第八十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月若单变量系统(9-84，85)式的可控性矩阵满足(9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式 式中 是n1维向量, 是n2维向量，并且（9-106）（9-107）第九十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月(9-106)式表明下面的动态方程是可控的： （9-107)式表明的动态方程式(9-108，109)和原来的n维动态方程式(9-84，85)具有相同的传递函数。或者说传

23、递函数中未能反映系统中不可控的部分。（9-108）（9-109）第九十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月证明：（9-110）考察(9-103)式，并将它重新写出如下进而可以证明补充选取线性无关的向量并使得向量组 线性无关。第九十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月令若将(9-104，105)式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，(9-104，105)式的系统方块图如图9-12所示。即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。第九十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-12 系统按可控性分解第九十四张，PPT共二百一十六页

24、，创作于2022年6月从图9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变 ，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。 第九十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-14设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解 。第九十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：系统的可控性矩阵由于S的第3列是第1列与第2列的线性组合，系统不可控 。选取第九十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月计算出 构成第九十八张，PPT共二百一十六页

25、，创作于2022年6月故有因而得第九十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为(9-113,114) 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1、 可观测性的定义第一百张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 若系统中至少有一个状态变量是不可观测(不能被确定)的，则称系统不可观。图9-13 不可观测系统第一百零一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 分析(9-117)式，

26、当知道某一时刻的输出时， (9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0) ，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出第一百零二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月2 可观测性判据 可观测的充分必要条件是(9-118)(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵。并记为V。第一百零三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式（9-118）又可以写成取x(0)= ，这一非零的

27、初始状态引起的输出为（9-120）根据准备知识中的引理，存在第一百零四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月将 代入上式，得 显然不可能由y(t)=0来确定。即系统不可观测。第一百零五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15第一百零六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：系统的可观性矩阵 是奇异的，故系统不可观测。系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 第一百零七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月事实上 因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。第一百零

28、八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月3 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统、是互为 对偶 的系统。 系统系统 第一百零九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月对偶原理 系统的可控性(可观性)等价于系统的可观性(可控性)。只要写出系统的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统 的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。 第一百一十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月应用： 若式(9113)和式(9114)的动态方程中A阵

29、具有约当标准形，则系统可观测的充分必要条件为 同一特征值对应的约当块只有一块。 每一约当块的第1列所对应的c中的元素 非零。上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。第一百一十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-16 设动态方程为 试确定系统可观测时 应满足的条件。第一百一十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：第一百一十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月4 可观测标准形 一个单输出系统如果其A,c 阵有如下的标准形

30、式，它一定是可观测的。（9-122）式称为单输出系统的可观测标准形。 （9-122）第一百一十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月通过对偶原理证明：给定系统方程如下（9-123）若有等价变换将其化为可观测标准形式中 具有(9-122)的形式。第一百一十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.第一百一十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月因此有（9-134）比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。第一百一十七张，PP

31、T共二百一十六页，创作于2022年6月例9-17系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。第一百一十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为根据A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P阵：第一百一十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月计算可控性矩阵S由(9-128)式求出P阵由(1-60)式求出M阵第一百二十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式中第一百二十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 5 系统按可观性进行分解 系统可观测，则通过等价变换可以化为可

32、观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。 若(9-113，114)的系统不可观测，且第一百二十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）第一百二十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月(9-135,136)的式子也可用图9-14表示。 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。 (9-137)式表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。系统按可观性分

33、解的结果(9-138)第一百二十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图914 系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。第一百二十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月四、可控性、可观测性与传递函数的关系 （9-141）对应的传递函数为（9-140）考虑单变量系统，其动态方程为1、可控性、可观测性与零、极点对消问题第一百二十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式中： N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。定理 动态方程

34、式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。第一百二十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)第一百二十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月将s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得(9-145)将上式前乘c、后乘b后即有（9-146）将(9-145)式前乘cA、后乘b后即有（9-147）第一百二十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年

35、6月依次类推可得这组式子又可写成第一百三十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 出现矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）第一百三十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-18设系统动态方程为不难验证系统是可控、可观测的。第一百三十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月显然N(s)和D(s)无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上分别计算 第一百三十三张，

36、PPT共二百一十六页，创作于2022年6月2 传递函数的最小阶动态方程实现 已知动态方程，可以用(9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现问题。 如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函数的最小实现问题。第一百三十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月设给定有理函数(9-149)(9-149)式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分(9-150)所以只需讨论(9-149)式中的严格真有理分式部分。第一百三十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月给定严格真有理函数(9-151)要求寻找 A,b,c，使得(9-

37、152)并且在所有满足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论第一百三十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月可控标准形的最小阶实现式(9-153) 对(9-151)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况第一百三十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月(9-154)可观标准形的最小阶实现 (9-153)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(9-153)式对应的动态方

38、程也一定可观。同样可以说明(9-154)式是(9-151)的可观标准形的最小实现。第一百三十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式(9-155)约当标准形的最小阶实现 因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1c4均不为零。第一百三十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月令分别对应于第一百四十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月而综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可

39、观测的，因而它是g(s)一个最小阶实现。第一百四十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现，(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。 g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况第一百四十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-19设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子与分母有公因子(s+1) 。仿照(9-153)式，可写出g(s)的一个三维的可控标准形实现无须验证这个实现是可控的第一百

40、四十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月因此这一实现是不可观的。同理，如果按(9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。计算可观测性矩阵第一百四十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。第一百四十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 9-3 状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下(9-157)

41、令(9-158)一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。返回子目录第一百四十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-15(9-159)图9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。将(9-157)式和(9-158)式用方框图表示，见图9-15，它是一个闭环系统。第一百四十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月计算(9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为1 状态反馈不影响可控性第一百四十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有(9-160

42、)因此有第一百四十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式(9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为状态反馈不改变系统的可控性。 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。第一百五十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-20系统的动态方程如下下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测

43、性的关系。第一百五十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 可观 任意 可观01 可观 1 111 不可观 1 2 可观11 不可观 0 110 可观 1 1 不可观10闭环系统 k 原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。第一百五十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月2 状态反馈对闭环特征值的影响 闭环方程(9-159)中的系统矩阵A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题。第

44、一百五十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月证明：定理： 闭环方程(9-159) 的系统矩阵A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是(9-157)式的系统可控。先证充分性 因为(9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵P，将(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。第一百五十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月式中(9-161)现引入（9-162）第一百五十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月这时(9-158)式的状态反馈式可写为：考虑矩阵第一百五十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月它的特征式

45、为由于故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。第一百五十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月设任意给定的闭环极点为 , 且(9-166)式中 完全由 所决定。比较 (9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根为 ，需有(9-167)这说明任意给定闭环n个极点，均可通过(9-167) 、(9-163)式确定，使A-bk具有给定的n个特征值，充分性证毕。第一百五十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月必要性 若系统(9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统(9-157)可控。用反证法，若系统(9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等

46、价变换后，可将(9-157)式转换为(9-104，105)的可控分解形式。考虑矩阵A4的特征值不受 的影响，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影响，这与可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统(9-157)可控。第一百五十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下计算A的特征式由所给的n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式第一百六十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控标准形这一步。

47、如果不经过这步，也可直接求k。求第一百六十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈增益阵k。例9-21第一百六十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月方法一、通过化可控标准形求解计算A的特征式由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式解：第一百六十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月求出反馈增益阵=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求第一百六十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月方法二：令 ，计算A-bk的特征式比

48、较两个特征式的系数可得所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 第一百六十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月最后强调： 在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。 第一百六十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-22设系统状态方程为这一系统是不可控的。若指定闭环特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-1第一百六十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月令第一百六十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月有所

49、以令第一百六十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月对-2,-2,-2,-1第一百七十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月所以有但若指定闭环特征值为 -2 ,-2,-2,-2 ，就找不出k来达到这一配置要求。第一百七十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-23有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为-2,-1+j,-1-j。第一百七十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实现，为了计算方便，取可控标准形实现反馈增益向量k可写成闭环系统的特征方程为第一百七十三张，PPT共二百

50、一十六页，创作于2022年6月状态反馈系统的方框图如图9-16所示。按给定极点，期望多项式为 比较上两特征多项式，令s同次的系数相等，可得或 k=4 4 1 第一百七十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-16 例9-23在引入状态反馈后的结构图第一百七十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月二、状态观测器 为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。第一百七十六张，PPT共二百一十六页，创

51、作于2022年6月图9-17 状态的开环估计 一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图。第一百七十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 由于图9-17中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图9-17得到的估计值是一个开环估值。 一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图9-18的闭环估计方案。 第一百七十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-18 状态的闭环估计方案第一百七十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6

52、月 根据图9-18所表示的关系可写出观测器部分的状态方程(9-169)由(9-169)式和系统方程式可求出观测误差 应满足的方程式(9-170)第一百八十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月(9-170) 式表明，只要A-Hc的特征值均在复平面的左半部， 随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由A-Hc 的特征值所决定。于是有下面极点可任意设置的状态观测器定理定理：若系统(A b c)可观测, 则(9-169)式给出了系统的一个n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。第一百八十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-24系统的动态方程为 试设计一个状态观测

53、器，观测器的特征值要求设置在-10 ,-10 。第一百八十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 将观测器增益矩阵 H 写成观测器的特征方程为第一百八十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的同次项系数得因此观测器的方程为第一百八十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统(对象)方程为(9-171)现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即(9-172)而观测器的方程为(9-173)第一百八十五张，PPT共二百一十六页

54、，创作于2022年6月 由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图9-19所示。图9-19 带观测器的状态反馈系统第一百八十六张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月将(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式，可分别得到(9-174)(9-175)取状态变量为(9-176)(9-177)第一百八十七张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月将(9-176) 、(9-177)式的动态方程进行如下的坐标变换(9-178)所得到的动态方程为：(9-179)(9-180)第一百八十八张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月闭环系统的传递函数可以通过(9-179

55、)式、(9-180)式来计算。从(9-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下(9-181)第一百八十九张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月 上式表明 , 图9-19所示闭环系统的特征式等于矩阵 A-bk 与矩阵A-Hc 的特征式的乘积，而A-bk 是状态反馈系统的系统矩阵，A-Hc是观测器的系统矩阵，(9-181)式表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。 这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵k，然后按观测器的动态要求选择H，H的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这

56、个原理通常称为分离定理。第一百九十张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器图9-20 控制器第一百九十一张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月例9-25设系统传递函数为希望用状态反馈使闭环的极点为-46j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在-10，-10。第一百九十二张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月解： 由系统的传递函数可知 ,其二阶动态方程实现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取可观标准形实现，即根据题意要求闭环特征方程为第一百九十三张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2, k2=40。 再求观测器，根据极点的要求，期望多项式为令 , 使求状态反馈 k，令k=k1 k2 。求出状态反馈后闭环系统的特征多项式第一百九十四张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月与期望多项式相比,得到 h1=100, h2=14。由式可计算出观测器方程为 由对象、状态反馈和观测器构成的整个闭环系统的方框图如图9-21所示。第一百九十五张，PPT共二百一十六页，创作于2022年6月图9-21 例9-25的反馈控制系统第一百九十六张，PPT共二百一十