初二数学压轴几何证明题

1、1.四边形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形，ZBEF=90,BE=EF，连接DF,G为DF的中点，连接EG，CG，EC.如图1,若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图1将图1中的BEF绕点B顺时针旋转a(0VaV90),若BE=1，AB=，当E,F，D三点共线时，求DF的长及tanZABF的值.备用图解：(1)EG丄CG，=，理由是：过G作GH丄EC于H,VZFEB=ZDCB=90,.EFGHDC,G为DF中点，H为EC中点

2、，.EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),即GH=EH=HC,ZEGC=90,即AEGC是等腰直角三角形，(2)图二解：结论还成立，理由是：如图2,延长EG到H,使EG=GH，连接CH、EC,过E作BC的垂线EM,延长CD,在EFG和厶HDG中.EFGAHDG(SAS),.DH=EF=BE,ZFEG=ZDHG,.EFDH,AZ1=Z2=90-Z3=Z4,.ZEBC=180-Z4=180-Z1=ZHDC,在AEBC和厶HDC中EBCAHDC.CE=CH,ZBCE=ZDCH,.ZECH=ZDCH+ZECD=ZBCE+ZECD=ZBCD=90,ECH是等腰直角三角形，G为EH的中点，EG

3、丄GC,=,即(1)中的结论仍然成立;(3)解：连接BD,VAB2，正方形ABCD,.BD=2,.cosZDBE二=,.ZDBE=60,.ZABE=ZDBE-ZABD=15,.ZABF=45-15=30,.tanZABF二,.DE=BE=,.DF=DE-EF=-1.解析：过G作GH丄EC于H,推出EFGHDC,求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC)，推出GH=EH=BC,根据直角三角形的判定推出EGC是等腰直角三角形即可；延长EG到H,使EG=GH，连接CH、EC,过E作BC的垂线EM，延长CD，证EFGAHDG，推出DH=EF=BE,ZFEG=

4、ZDHG，求出ZEBC=ZHDC,证出EBCHDC，推出CE=CH,ZBCE=ZDCH，求出ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；连接BD,求出cosZDBE=,推出ZDBE=60,求出ZABF=30,解直角三角形求出即可.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,BE=EF,ZBEF=90,按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G,连接EG,CG.延长EG交DC于H,试说明：DH=BE.将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转45,连接DF,取DF中点G(如图2),莎莎同学发现:EG=CG且EG丄CG.在设法证明时他发现：若连接BD,则D,E,B三点共线.你能写出结论“EG=CG且EG丄CG”的完

5、整理由吗？请写出来.将图1中厶BEF绕B点转动任意角度a(0VaV90),再连接DF,取DF的中点G(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由.证明:VZBEF=90,.EFDH,.ZEFG=ZGDH,而ZEGF=ZDGH,GF=GD,.GEF9AGHD,.EF=DH,而BE=EF,.DH=BE；(2)连接DB，如图,BEF为等腰直角三角形,.ZEBF=45,而四边形ABCD为正方形，.ZDBC=45,D,E,B三点共线.而ZBEF=90,/.FED为直角三角形，而G为DF的中点，.EG=GD=GC,AZEGC=2ZEDC=90,.EG=CG且EG丄CG

6、；(3)第2问中的结论成立.理由如下：连接AC、BD相交于点0,取BF的中点M,连接0G、EM、MG,如图,G为DF的中点，0为BD的中点，M为BF的中点，.0GBF,GM0B,/四边形0GMB为平行四边形，.0G=BM,GM=0B,而EM=BM,0C=0B,.EM=0G,MG=0C,VZD0G=ZGMF,而ZD0C=ZEMF=90,.ZEMG=ZG0C,.MEG9A0GC,.EG=CG,ZEGM=Z0CG,又*/ZMGF=ZBDF,ZFGC=ZGDC+ZGCD,?.ZEGC=ZEGM+ZMGF+ZFGC=ZBDF+ZGDC+ZGCD+Z0CG=45+45=90,.EG=CG且EG丄CG.解析

7、：由ZBEF=90。，得到EFDH，而GF=GD，易证得GEFAGHD,得EF=DH,而BE=EF,即可得到结论.连接DB，如图2,由ABEF为等腰直角三角形，得ZEBF=45,而四边形ABCD为正方形，得ZDBC=45，得到D,E,B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是ZEGC=2ZEDC=90。，即得到结论.连接AC、BD相交于点0,取BF的中点M,连接0G、EM、MG,由G为DF的中点，0为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得0GBF,GM0B,得到0G=BM,GM=0B,而EM=BM,0C=0B，得到EM=0G,

8、MG=0C，又ZD0G=ZGMF,而ZD0C=ZEMF=90，得ZEMG=ZGOC,则厶MEGAOGC,得到EG=CG,ZEGM=ZOCG,而ZMGF=ZBDF,ZFGC=ZGDC+ZGCD,所以有ZEGC=ZEGM+ZMGF+ZFGC=ZBDF+ZGDC+ZGCD+Z0CG=45+45=90.已知正方形ABCD和等腰RtABEF,BE=EF,ZBEF=90，按图放置，使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG.探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；将图中BEF绕B点顺时针旋转45，再连接DF,取DF中点G(如图)，问中的结论是否仍然成立.证明你的结论；将图中ABEF绕B点转动任意角度

9、(旋转角在0至到90之间)，再连接DF,取DF的中点G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论.解:(1)EG=CG且EG丄CG.证明如下：如图，连接BD.正方形ABCD和等腰RtABEF,.ZEBF=ZDBC=45.B、E、D三点共线.VZDEF=90,G为DF的中点,ZDCB=90EG=DG=GF=CG.ZEGF=2ZEDG,ZCGF=2ZCDG.ZEGF+ZCGF=2ZEDC=90,即ZEGC=90,.EG丄CG.仍然成立,证明如下：如图，延长EG交CD于点H.TBE丄EF,EFCD,Z1=Z2.又VZ3=Z4,FG=DG,.FEGADHG,.EF=DH,EG=GH.BEF为

10、等腰直角三角形，.BE=EF,BE=DH.CD=BC,CE=CH.ECH为等腰直角三角形.又VEG=GH,.EG=CG且EG丄CG.仍然成立.证明如下：如图，延长CG至H,使GH=CG，连接HF交BC于M,连接EH、GF=GD,ZHGF=ZCGD,HG=CG,HFGCDG,HF=CD,ZGHF=ZGCD,HFCD.正方形ABCD,HF=BC,HF丄BC.BEF是等腰直角三角形，BE=EF,ZEBC=ZHFE,BECFEH,HE=EC,ZBEC=ZFEH,ZBEF=ZHEC=90,ECH为等腰直角三角形.又VCG=GH,图F解析：-半，即可证EG=CG且EG首先证明B、E、D三点共线，根据直角三

11、角形斜边上的中线等于斜边的明EG=DG=GF=CG，得到ZEGF=2ZEDG,ZCGF=2ZCDG,从而证得ZEGC=90；首先证明厶FEG9ADHG，然后证明ECH为等腰直角三角形.可以证得:丄CG.首先证明：BEC9AFEH，即可证得：AECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG丄CG.已知，正方形ABCD中，BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G,连接EG、CG.E1團23如图1,若厶BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为；如图2,若厶BEF的直角边BE在BC上,则(1)中的结论是否还成立？请说明理由；如图3,若厶BEF的直角边BE在/DBC内，则(1)

12、中的结论是否还成立？说明理由.IZBEF=ZFEC=ZBCD=90,.EFIICD,ZEFG=ZMDG,又ZEGF=ZDGM,DG=FG,GEF妥GMD,EG=MG,即G为EM的中点.CG为直角ECM的斜边上的中线,CG=GE=EM；12解:(1)GC=EG,(1分)理由如下：TBEF为等腰直角三角形，1ZDEF=90,又G为斜边DF的中点，EG=DF,2IABCD为正方形，ZBCD=90,又G为斜边DF的中点，.CG=1DF,GC=EG;2(2)成立.如图，延长EG交CD于M,成立.取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点0,连接0G,0C.ICB=CD,ZDCB=90,C0=BDGHI

13、IBD,且IDG=GF,GH=BD,OGIIBF,且OG=BF,J.CO=GH.BEF为等腰直角三角形.EH=1BFEH=OG.T四边形OBHG为平行四边形，ZBOG=ZBHG.TZBOC=ZBHE=90.ZGOC=ZEHG.GOC竺EHG.EG=GC.此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键.解析.EG=CG,理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到ZDEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；成立理由为：延长EG交CD于M,如图所示，根据ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；成立理由为：取BF的中点H,连接EH,GH,取BD的中点0,连接OG,OC,如图所示，因为直角三角形DCB中，0为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BDIIIII的