数学建模实验报告插值

1、 数学模型实验报告插值 专业： 姓名： 李 学号： 姓名： 刘 学号： 姓名： 汪 学号： 数学模型实验报告（插值）实验目的：1、了解插值的基本内容。2、掌握用数学软件包求解插值问题。二、实验内容：（一）一维插值 一、插值的定义 已知 n+1个节点其中 互不相同，不妨设求任一插值点 处的插值构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即二、插值的方法拉格朗日(Lagrange)插值 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如

2、下其中Li(x) 为n次多项式：称为拉格朗日插值基函数。特别地:两点一次(线性)插值多项式:三点二次(抛物)插值多项式:例 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象解：编写M文件程序如下：m=101;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;plot(x,z,r,x,y,LineWidth,1.5),gtext(y=1/(1+x2),pause n=3;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=la

3、gr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,b),gtext(n=2),pause,hold off n=5;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y2,b:),gtext(n=4),pause,hold offn=7;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,r),gtext(n=6),pause,hold off n=9;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y4

4、=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,r:),gtext(n=8),pause,hold off n=11;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y5,m),gtext(n=10)分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小. 例用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.在-6,6中平均选取5个点作插值在-6,6中平均选取11个点作插值在-6,6中平均选取21个点作插值在-6,6中平均选取41个点作插值解：编写M文件程序如下：x=linspace(-6,6,100);y=1.

5、/(x.2+1);x1=linspace(-6,6,5);%第三个参数表示插值点的个数，可分别改为11，21，41y1=1./(x1.2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,o,LineWidth,1.5),gtext(n=4),运行结果如下图： 结果分析：插值点越多越接近原函数 三次样条插值比分段线性插值更光滑。 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。g(x)为被插值函数。例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(y

6、ch)解：编写M文件程序如下：x0=linspace(-5,5,11);y0=1./(1+x0.2);x=linspace(-5,5,100);y=interp1(x0,y0,x,spline);x1=linspace(-5,5,100);y1=1./(1+x1.2);plot(x1,y1,k,x0,y0,+,x,y,r);运行结果如右图：用MATLAB作插值计算nearest ：最邻近插值linear ： 线性插值； spline ： 三次样条插值；cubic ： 立方插值。缺省时： 分段线性插值。用Matlab解插值问题 一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method) y

7、i xi：处的插值结果x，y：插值节点 xi：被插值点method：插值方法注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。解：编写M文件程序如下：hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)

8、 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)运行结果如右图：例: 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变时的y值。 X035791112131415Y0解：编写M文件程序如下：x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline);subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)gridtitle(lagra