FA考试：投资分析的数量方法 (投资工具)

1、学时 投资分析的数量方法（Quantitative Methods for Investment Analysis） 投资工具PAGE PAGE 30第一章：货货币的时间间价值Chaptter The Timee Vallue oof Mooney 解释释利息率是是对投资者者的不同风风险予以回回报的实际际无风险利利率和风险险溢价的总总和利息率和折折现率（IInterrest Ratees andd Disscounnt Raates）货币时间价价值概念的的基础：收收益率（rratess of retuurn）、利息率（iinterrest ratee）、要求求的收益率率（reqquireed

2、raates of rreturrn）、折折现率（ddiscoount ratees）、机机会成本（oopporrtuniity ccostss）、通货货膨胀（iinflaationn）和风险险（rissk）。货币的时间间价值，反反映了时间间、现金流流量和利息息率三者之之间的关系系。投资者偏好好现在消费费。利息率率是投资者者推迟现在在消费的回回报。在确定世界界，利息率率被认为是是无风险（rrisk-freee）利率。一般是国国家的短期期债券，如如美国的国国库券（TTreassury-billls, TT-billls）。在不确定的的世界，有有两个因素素影响利息息率： 通货膨膨胀。贷款款者承担通

3、通货溢价（iinflaationn preemiumm）和推迟迟消费的机机会成本。因此，货货币的名义义成本（nnominnal ccost of mmoneyy），由实实际利率（rreal ratee）和通货货溢价组成成。 风险。贷款者还还承担了不不履行风险险（deffaultt rissk）。因因此，利息息率包括：名义的无无风险利率率和不履行行风险溢价价。利息率的意意义： 收益要要求率。即即促使投资资者放弃现现在消费所所要求的收收益。 折现率率（利息率率和折现率率可以交互互使用）。 机会成成本。即投投资者按某某一选择行行为而放弃弃其他选择择所失去的的价值。影响利息率率最重要的的因素是：资金的

4、供供求关系。 计算算整笔现金金的终值（FFV）和现现值（PVV）单一现金流流量的终值值（Thee Futture Valuue off a SSinglle Caash FFlow）整笔现金流流（或luump-ssum iinvesstmennt）的终终值计算公公式（N的的初值为00）： FVN PV（1 r）N 基本概念： 简单利利息（siimplee intteresst），即即利息率乘乘原始本金金。 复利（ccompooundiing），即即利息所挣挣的利息； 复合期期间数（或或投资年数数）N。 终值因因素（1r）N。单一现金流流量的现值值（Thee Preesentt Vallue o

5、of a Singgle CCash Floww） 单单一现金流流量的现值值计算公式式：PVFVN（1+ r）N（1+r）N是现值因素，它是终值因素得倒数（reciprocal）。 区别别设定的年年利息率（tthe sstateed annnuall ratte）和实实际的年利利息率（tthe eeffecctivee annnual ratee）复合的频率率m（thhe frrequeency of ccompooundiing）设定的年利利息率（sstateed annnuall intteresst raateqquoteed inntereest rrate）。即：在复复利情形下下，年

6、度中中利息支付付次数为一一次以上（利利息支付期期间少于11年）的，金金融机构提提供的利息息率报价不不是利息支支付期间的的期间利息息率，而是是年度利息息率。这个个利息率报报价即为设设定的年利利息率，用用rs表示。实际利息率率（EARR），即：在给定设设定的年利利息率（rrs）和m的的情况下，单单位货币投投资1年（NN1后）所所得的终值值。在m1时，EEAR rs ；在m 1时，EEAR rs 。 给定定设定的年年利息率和和复合频率率（thee freequenncy oof coompouundinng），计计算实际年年利息率。设定的和实实际的年利利息率（sstateed annd efffec

7、ttive ratees）期间利息率率（thee perriodiic raate）与与设定的年年利息率的的关系：期期间利息率率rsm（m为年度度内支付利利息的次数数）。实际际利息率（EEAR）的的计算公式式：EAR （1期间利息率）m 1 （1rsm）m 1永续复合时时，实际利利息率与设设定的年度度利息率的的关系：EEAR e rrs 1。 在复复合期间不不是1年的的情形下，解解决货币的的时间价值值问题 复复合的频率率m（thhe frrequeency of ccompooundiing） 年度的的复合期间间超过1次次时，终值值的计算公公式为：FVN PV（1rsm）mN 年度的的复合期间

8、间超过1次次时，现值值的计算公公式为：PV FVN（1rsm） ( mN ) 永永续复合（ccontiinuouus coompouundinng）永续复合（年年度复合期期间次数为为无限大）即即上述等式式中，m。e( rs N ) 是trransccendeentall nummber，ee 22.7122818。则终值为为：FVN PV e( rs N ) 计算算普通年金金（thee orddinarry annnuitty）和预预付年金（aannuiity ddue）的的终值（FFV）和现现值（PVV）现金流量系系列的终值值（Thee Futture Valuue off a SSerie

9、es off Cassh Fllow） 年金（aannuiity）：有限系列列的现金流流系列，且且所有现金金流系列的的价值相等等。 普通年年金（orrdinaary aannuiity）：普通年金金的首次现现金流量，发发生在一个个期间后（时时间指数tt1）。 预付年年金（annnuitty duue）：首首次现金流流量立即支支付的年金金（时间指指数t00）。 永续支支付年金（pperpeetuitty）：系系列无限的的现金流系系列，且首首次现金流流量发生在在一个期间间后（时间间指数t1）。 等等值的现金金流量（eequall cassh fllows） 普通年金 等值（即即每次现金金流量的数数

10、目相等）普普通年金的的图例。A即年金的的数目（tthe aannuiity aamounnt），它它表示每次次支付的现现金流量的的数目。NN即支付年年金的期间间个数（tthe nnumbeer off timme peeriodds）。rr即各年金金支付期间间的利息率率（thee intteresst raate pper pperioods）。t0t1；AAt2；AAtN；AAA（1r）A（1r）N1A（1r）2A（1r）N2A（1r）NA（1rr）PVA （1r）11 +（11r）2 +（1r）NN FV A （1+ r）N1 r 等值普普通年金的的终值计算算公式： FV A （1+ r）

11、N1 r 系列非等值值的现金流流量（a seriies oof unnequaal caash fflowss）非等值普通通年金的终终值计算公公式： FV A1（1+ r）N1 A2（1+ r）N2 AN（1+ r ） 现金流量系系列的现值值（Thee Preesentt Vallue oof a Seriies oof Caash FFlow） 系列等等值现金流流量（a Seriies oof Eqqual Cashh Floow）的现现值。系列等值现现金流动，是是首次支付付发生在tt1、末末次支付发发生在tN时的现现金流动。其现值（PPV）的计计算公式：PVA （1r）1 +（1r）2 +

12、（1r）N A1（1+ r）N r 预付年年金（annnuitty duue）的现现在价值的的计算方法法。预付年金的的现值可以以分为两部部分，即：现在支付付的年金金金额及支付付（N11）次的普普通年金（oordinnary annuuity）的的现值。其其计算公式式为：PV A + A1（1+ r）(N1) r A（1+r）1（1+ r）N r 计算算永续年金金（perrpetuuity）的的现值。系列无限的的等值现金金流量的现现在价值 永续续年金 永永续年金，是是首次支付付发生在tt1时的的普通年金金的无限延延伸。现值值（在t0时的现现值）的计计算公式为为： PV A （1r） t lim

13、A 1（1r） t r Ar t1 t 对货货币的时间间价值问题题，根据给给定的相关关变量计算算未知量t0的现现金流动的的现值（PPreseent VValuees Inndexeed att Timmes OOtherr Thaan t = 0）在将来某时时间t 00（t 0为首次支支付的期间间序数）开开始支付的的年金（或或永续年金金）的现值值，可以表表示为其首首次支付前前的一个期期间（t 0-1）的的现值PVV（to），然然后再将该该现在价值值折算成目目前的现值值PV（00）。A（t00） BB（ttt 0 11） CC（ttt 0） D（tt） 永久支付年金的现值：PV=A/r； 首次支

14、付（t 0）的系列等值现金流量（N tt o + 1）的现值： PV A 1（1r）N r单一现金流（Nt 01）的现值：PV= FVN（1+ r）N利息率和增增长率的求求解（Soolvinng foor Inntereest RRatess andd Groowth Ratees） 单一现现金流量的的利息率或或增长率（用用g表示）的的计算公式式：r （FVN PV）1 N 1 复合增增长率（ccompoound growwth rrate），是是一系列不不同的期间间利息率的的总体测评评。用g11；g2；g n 表示不同同期间内的的利息率，则则：g （11g1）（1gg2）（11g nn） 1

15、1。期间数（NN）的求解解（Sollvingg forr thee Nummber of PPerioods）单一现金流流动的期间间数的计算算公式：N （FVN PV） （1+ r）年金数额（AA）的求解解（Sollvingg forr thee Sizze off Annnuityy Payymentts） 普通年年金（t1时的年年金）的年年金数额（AA）的计算算公式：A PVr1（1 r）N A FVr（1 r）N 1 复利年年金数额（AA）的计算算公式：A PV（rsm）1（1 rsm） mN A FV（rsm）（1 rsm）mN 1 预付年年金（t = 0时时的年金）的的年金数额额（A

16、）的的计算公式式：A PVr1（1 r）N （1 r） 永续年年金的年金金数额（AA）的计算算公式：AA = rr PV 解释释现金流量量的累加原原则（addditiivityy priincippal）年金数额（AA）的求解解（Sollvingg forr thee Sizze off Annnuityy Payymentts）累加原则，即即对相同时时间点的货货币金额可可以进行累累加（或扣扣除）。累累加原则是是解决非恒恒定现进流流量（unnevenn cassh fllows）问问题的重要要方法。等价和累加加（Equuivallencee and AAddittivitty）在近近似恒定的的

17、现金流量量中的应用用近似恒定的的现金流量量，是指在在大多数期期间内都能能保持现金金流量的恒恒定，但是是，因为在在极少数期期间现金流流量不能保保持恒定而而不能将它它视为恒定定的现金流流量。等价（eqquivaalencce），即即现值和终终值等式，是是指现值和和终值是被被时间分割割而价值相相等的两个个量。因此，单一一金额或单单一现金流流量（a lumpp summ）可以视视为与年金金等价，而而年金也可可以视为是是与其终值值相等价的的单一金额额。由此可可见，对于于现值、终终值和现金金流量系列列，只要三三者被定格格在同一时时间点，则则可以认为为它们是等等价的。这这样对于同同一时间点点的现金流流量就可

18、以以适用累加加原则。 计算算非恒定现现金流量系系列（unnevenn cassh fllow）的的终值和现现值等价和累加加（Equuivallencee and AAddittivitty）在近近似恒定的的现金流量量中的应用用根据Pagge 355-36的的例题可将将方法归纳纳为： 根据近近似恒定的的现金流量量假定一个个恒定的现现金流量。 根据近近似恒定的的现金流量量和恒定的的现金流量量的关系，在在假定一个个（或多个个）现金流流量系列。该假定的的系列现金金流量一般般仅在一个个期间有现现金流量，而而其他期间间的现金流流量为0，因因而可以用用单一现金金流量的现现值和终值值公式求解解。 应用累累加原

19、则求求近似恒定定现金流量量的现值和和终值。 能够够作出时间间直线，指指出时间指指数和解决决有关货币币的时间价价值问题的的实际应用用，如大学学学费或退退休金的储储蓄和抵押押借款（mmortggage）第二章：现现金流量折折现的应用用Chaptter Disscounnted Cashh Floow （DDCF）AAppliicatiions 计算算和解释投投资的净现现值（NPPV）和内内部报酬率率（IRRR）现金流量折折现的分析析（DCFF Anaalysiis）财务决策有有三个主要要领域： 资本预预算（caapitaal buudgett），即对对相对长期期的投资的的资金分配配； 资本结结构，

20、公司司为要进行行的投资提提供长期资资金的抉择择； 在投资资资本的管管理（woorkinng caapitaal maanageementt），即短短期资产和和短期债券券的管理。净现值规则则（thee nett preesentt vallue rrule）净现值，即即某项投资资现金流入入的现值（获获利）减去去其现金流流出的现值值（成本）。计算NPVV的步骤： 识别该该项投资所所发生的所所有现金流流量； 判断适适合于该投投资项目的的折现率rr（或机会会成本）； 用折现现率计算每每一个现金金流量的现现值（现金金流入的现现值为正、现金流出出的现值为为负）； 求出NNPV；净现值规则则的应用： NPV

21、V0，则则可进行该该项投资； NPVV0，则则不可进行行该项投资资； 两项可可选投资，应应选取NPPV较大者者进行投资资。NPV的计计算公式： NNPV CFt(1r ) t t0CFt ，即即时间t的的预期现进进流量；NN，即投资资的计划存存续时间（tthe iinvesstmennts prrojeccted lifee）；r，资资本的折现现率或机会会成本。上上述各变量量的数据要要保持相互互的匹配。如：在现现金流量为为年金时，则则r应为年年利息率。内部报酬率率规则（tthe iinterrnal ratee of retuurn rrule）内部报酬率率（IRRR），即使使净现值（NNPV

22、）等等于0的折折现率。它它仅取决于于投资的现现金流量，而而不需要外外部的数据据。内部报酬率率有两个其其它的名称称：债券得得到期收益益率（yiield to mmaturrity for bondds）和投投资组合的的货币权重重收益率（ddollaar-weeightted rrate of rreturrn foor poortfoolioss）。对IRR的的解释要注注意：即使使我们的现现金流量计计划是正确确的，但是是，只有在在所有暂时时的（innteriim）现金金流量正好好以内部报报酬率（IIRR rrate）进进行再投资资时，我们们才能得到到正好与IIRR相等等的复合收收益率（ccomp

23、oound ratee of retuurn）。IRR的求求解方程为为（各变量量的数据要要保持相互互的匹配）： NNPV CFt(1IRR ) t 0 或 t0 NCF0 CFt(1IRR ) t （CF0Investment）t1 IRR规规则：如果果计划或投投资的IRRR大于资资本的机会会成本，则则该计划或或投资可以以接受。如如果资本的的机会诚或或要求报酬酬率（huurdlee ratte）等于于IRR，则则NPV等等于0。 比较较净现值规规则和内部部报酬率规规则内部报酬率率方法的有有关问题NPV的计计算取决于于由市场决决定的外部部的折现率率（或资本本的机会成成本），而而IRR不不受任何外

24、外部利息率率的影响。 讨论论内部报酬酬率方法的的有关问题题内部报酬率率方法的有有关问题如果投资计计划互不依依赖（即对对某项目投投资的决策策不会影响响到另一投投资项目），则则按IRRR和NPVV规则做出出的投资决决策是相同同的。如果果公司不能能为所有的的投资计划划提供资金金，则这两两个规则可可能会给出出相互矛盾盾的投资决决策。NPV规则则吸收了由由市场决定定的资本的的机会成本本作为折现现率，所以以NPV就就是投资预预期的财富富增加额。在IRRR和NPVV规则相互互冲突时，一一般使用NNPV规则则。 计算算投资组合合收益率的的资金权重重和时间权权重 投资组合收收益的计量量（porrtfollio

25、rreturrn meeasurremennt） 资金权权重的收益益率（doollarr-weiighteed raate oof reeturnn）。投资组合的的资金权重重收益率，即即为投资组组合的内部部报酬率（IIRR）。其计算可可方程（求求解得到IIRR）为为：PV（ooutfllows）PV（iinfloows）。PV（ouutfloows）为为所有现金金流入的现现值；PVV（infflowss）为所有有现金流出出现值。 时间权权重的收益益率（tiime-wweighhted ratee of retuurn）。其计算步步骤： 在投资资组合有任任何较大现现金流入或或流出前，即即对投资组

26、组合估价，并并且根据现现金流入或或流出的日日期将整个个的评估期期间作为亚亚期间（ssubpeeriodds）。 计算投投资组合每每个亚期间间的期间持持券收益率率（holldingg perriod retuurn）。 复合持持有期间收收益率HPPR，以得得到该年的的年度收益益率（即该该年的时间间权重收益益率）；组组合中的投投资超过一一年的，则则对年度收收益率取几几何平均值值以得到时时间权重的的收益率。每一次现金金的流入或或流出即对对投资组合合评估，代代价太高。实践中常常采用近似似的方法，即即按确定间间隔期间对对投资组合合评估。假假定以每月月为间隔期期间，则：r t（NNVE ttMVBB t）

27、MVVB t 。（NVVB t和NVEE t表示t月月初或月末末的市值值值）用N表示测测评期间的的不同年度度，t表示示各年度内内的亚期间间，r tt 表示年年度内不同同亚期间的的持有期间间收益率，rr N表示测评评期间各年年度的时间间权重收益益率，r TW表示所所有测评年年度时间权权重收益率率的几何平平均值。则则：对年度内的的亚期间：r N （1r1）（1r 2）（1rr t）1。对各年度：r TWW （11r1）（1rr2）（11r NN）1NN 1。 区别别收益率的的资金权重重和时间权权重投资组合收收益的计量量（porrtfollio rreturrn meeasurremennt）资金权

28、重和和时间权重重的收益率率的比较： 投资组组合的资金金权重收益益率，取决决于投资组组合中现金金流入或流流出的时间间和数量。 在投资资行业，时时间权重的的收益率是是优先选择择，原因有有二：它不不受投资组组合中现金金的流入或或流出的影影响；它计计量的是投投资组合中中1美元的的最初投资资在整个计计量期间增增长的复利利息率。因此，如果果客户在不不利的时间间向投资组组合注入资资金，则会会使资金权权重收益率率有下降的的趋势，反反之，则会会使资金权权重收益率率升高。而而时间权重重收率则可可消除其影影响。 计算算美国国库库券的银行行贴现收益益率、持有有期间收益益率、实际际年收益率率和货币市市场收益率率。货币市

29、场收收益率（MMoneyy Marrket Yiellds）货币市场，即即风险低、折现性高高的短期债债务工具（ddebt insttrumeents）。有些债务务工具是纯纯折现工具具，即利息息表现为借借贷金额和和偿还金额额之间的差差额。如投投资者购买买国库券的的支付低于于票面金额额（facce ammountt），在到到期时得到到票面金额额的折现。 银行贴贴现收益率率或贴现收收益率（bbank disccountt yieeld）的的计算。rBD为年年度的贴现现收益率；D为货币币折扣（tthe DDollaar diiscouunt），即即国库券的的面值F与与购买价格格P的差；t为国库库券离到

30、期期的天数；F为面值值。则：rBD （DF）（360t）贴现收益率率对投资者者收益的测测评没有意意义，原因因： 该收益益率取决于于面值而不不是购买价价格，投资资的收益必必须参照投投资的金额额来评估； 该收益益率以3665天为一一年的天数数； 贴现收收益的年度度化仅考虑虑了单利（ssimplle raate），而而忽略了复复利。为此，由下下述三种替替代的收益益测评方法法。 持有期期回报率HHPY（hholdiing pperiood yiield）的的计算。p0即债务务工具的最最初购入价价格；p11即债务工工具到期时时能得到的的价格；DD1是债务工工具到期时时能分配到到的现金（即即所生的利利息）

31、。则则：HPYY（p11p0D1）p0 。使用这个公公式进行计计算，要注注意： 买进或或卖出的价价格必须是是任何应计计利息（aaccruued iinterrest）与与交易价格格的和； HPYY是以1550天为期期间的收益益。 实际年年收益率EEAY（eeffecctivee annnual yielld）的计计算。实际年收益益率EAYY（1HPY）365t 1。实际年收益率考虑到了HPY的复利并扩展到1年。贴现收益率小于实际年收益率。 货币市市场收益率率（monney mmarkeet yiieldthe CD eequivvalennt yiield）的的计算。若一年以3360天计计算，

32、则该该转换使国国库券的报报价收益率率与生息的的货币市场场工具（iinterrest-bearring）的的收益率报报价可相互互比较。 持有有期间收益益率、实际际年收益率率和货币市市场收益率率的相互转转换 货货币市场收收益率（MMoneyy Marrket Yiellds） 货币市市场收益率率与持有期期间收益率率的转换。一般地，假假定3600天一年，则则货币市场场收益率与与年度化的的持有期间间收益率相相等。货币市场收收益率rMMM HPY（3600rBDD） 货币市市场收益率率与贴现收收益率的转转换。货币市场收益率rMM 360rBD（360trBD）rMM rBD(Fp0 ) （ rMM rB

33、D） 计算算债券等值值收益率（bbond equiivaleent yyieldd）基本的债券券评估（BBasicc bonnd vaaluattion）两类债券： 附息债债券（coouponn bonnds），即即定期支付付券息（ccoupoon inntereest）的的债券； 零券息息债券（ZZero- couupon bondds）或纯纯贴水债券券或不附息息债券（sstripps）。债券的内部部报酬率，即即为债券的的到期收益益率。债券券的净现值值，是债券券的现值（以以要求的收收益率对债债券承诺的的偿付进行行折算）与与其市场价价格的差。债券的价价格准确，则则NPV为为0；债券券被低估，则

34、则NPV为为正。债券的三个个关键属性性： 到期期期间（teerm tto maaturiity），到到期即发行行人支付债债券面值（ppar vvaluee）以回赎赎（reddeem）债债券； 券息； 本金，即即面值。券息率（ccoupoon raate）与与本金相乘乘，可得债债券的利息息收益。零券息债券券和无套利利评估方法法（thee arbbitraage-ffree valuuatioon appproaach）不附息债券券的利息，等等于购价和和本金（面面值）的差差，因此，可可以用整笔笔金额的计计算公式，即即：PVFVN（1rr）N；或：r （FFVN PVV）1 N 1。债券的面值值为F

35、VNN ，r是是债券的内内部报酬率率，要与NN匹配。债券的等值值收益率即即为债券的的到期收益益率YTMM（yieeld tto maaturiity）。如果M为为到期值（MMaturrity）或或面值；PP为购价；m为每年年的复利期期间数。则则其计算公公式为：YTM m（MP）mmN 1 。将公式变形形可得债券券的购价PP的计算公公式：P M（11YTMMm）mN 。到期收益率率YTM与与实际年收收益率EAAY的换算算：EAYY（1YTM）N 1。债券的实现现收益取决决于：债券券至购进日日或偿付日日的价格升升值（appprecciatiion）；收到的券券息；券息息再投资能能获得的利利息。不附

36、息债券券的收益仅仅取决于价价格升值，投投资者不会会得到券息息和券息再再投资的收收益。投资资人持有不不附息债券券获得的收收益，等于于债券的实实际年收益益（EAYY）。在固定收益益分析中，不不附息债券券的到期收收益率YTTM有重要要作用。NN年不附息息债券的YYTM称为为N年的点点利息率（sspot inteerestt ratte），由由点利息率率和到期收收益率组成成图像称为为点收益率率曲线（sspot yielld cuurve）。我们可以点点利息率来来给复杂的的债务工具具（包括附附息债券）定定价，这种种方法称为为无套利的的评估方法法（arbbitraage-ffree valuuatioon

37、 appproaach）。其方法（以以附息债券券为例）：将附息债债券的每个个现进流（到到期前每一一期间支付付券息、到到期时的券券息和本金金）看作为为相应支付付期间的不不附息债券券，将这些些不附息债债券的现金金流以适当当的点利息息率予以折折算为对应应的现值（即即价格），折折算公式为为：P M（11YTMMm）mN ，然后后求出所有有现金流现现值的和，即即为附息债债券的价格格。比较该债券券当前的价价格和上述述计算得出出的价格，如如存在差额额，则可实实现套利。第三章：统统计概念和和市场收益益Chaptter Staatistticall Connceptts annd Maarkett Rettur

38、nss 区别别描述性（DDescrriptiive）统统计推理性性（Infferenntiall）统计。 什什么是统计计？（Whhat iis Sttatissticss？）统计方法包包括： 描述性性统计（DDescrriptiive sstatiisticcs），即即如何有效效地归纳数数据，以描描述一个大大的数据集集合的重要要方面。 推理性性统计（IInferrentiial sstatiisticcs），即即如何从实实际观察到到的较小群群体，对大大群体进行行预测、评评估和判断断的。推理理统计的基基础是概率率理论（PProbaabiliity TTheorry）。本章的内容容是描述性性统计。

39、主主要关心： 向心趋趋势（ceentraal teendenncy），即即数据的中中心在何处处； 分散性性（dissperssion），即即数据从中中心扩散的的距离； 偏度（sskewnness），即即分布是否否对称； 峰度（kkurtoosis），即即极端结果果出现的几几率。 群体体（poppulattion）和和样本（ssamplle）的区区别。 解释释参数（pparammeterr）和样本本统计的概概念。参数是群体体特征的描描述尺度；统计是样样本特征的的描述尺度度。通过样样本统计（ssamplle sttatissticss），可以以估算未知知的群体参参数。 测评评刻度（mmeasuur

40、emeent sscalees）类型型的不同。测评刻度MMeasuuremeent SScalees（leevelss of Meassuremment）为了选择适适当的统计计方法来归归纳和分析析数据，应应对不同的的测评刻度度进行区分分。 名义刻刻度（noominaal sccale），即即仅对观测测对象归类类但不排序序。 普通刻刻度（orrdinaal sccale），即即对观测对对象分类归归类，并按按某些特征征对这些类类别进行排排序。 间隔刻刻度（inntervval sscalee），即对对观测对象象进行归类类并对类别别排序，而而且还保证证刻度值之之间的差别别相等，但但是，间隔隔精度的零

41、零点不能反反映被测参参数值的完完全缺乏。因此，刻刻度值之间间能够均衡衡地相加或或相减，但但不能地形形成比例。 比例刻刻度（raatio scalle）。 定义义和解释频频率分布（ffrequuencyy disstribbutioon）。频率（Frrequeency Disttribuutionns）频率分布（FFrequuencyy Disstribbutioons），是是归纳数据据的最简单单方法之一一。它将数数据归纳到到数字相对对较小的一一系列间距距中，用表表格表示这这些数据。间距（inntervvals），是是观察对象象落于其中中的一系列列值。频率率分布，就就是间距与与相应的频频率值组成

42、成的图表。建立频率率分布表的的重要考虑虑因素，是是间距的数数量。 定义义和解释持持有期间收收益（hooldinng peeriodd retturntotaal reeturnn）频率分布（FFrequuencyy Disstribbutioons）持有期间收收益率R t的计算公公式：R t （PP t PP t11 D t）P tt1 。P t为在在期间t的的期末的市市值，P t1为为在期间tt1的期期末的市值值，D tt为在期间间t所得的的现金分配配。该公式式的特点：与时间和和货币单位位无关。 计算算相对频率率和累积相相对频率（ccumullativve reelatiive ffrequ

43、uencyy）。频率分布（FFrequuencyy Disstribbutioons） 给定间间隔对应的的观察对象象的实际数数据，就是是绝对频率率（abssolutte frrequeency）。 相对频频率（reelatiive ffrequuencyy），就是是用绝对频频率与观察察对象总数数的比。 累积绝绝对频率和和累积相对对频率，就就是将绝对对频率或相相对频率依依次累加。 柱状状图表（hhistoogramm）或频率率多边形（ppolyggon）表表示数据的的特征。图表表示GGraphhic PPreseentattion 柱状图图表（Thhe HiistoggramBar Charrt

44、）柱状图表（HHistoogramm），是频频率分布（FFrequuencyy Disstribbutioons）的的图表等价价形式。每每一柱状的的宽度，就就是频率分分布的间距距（inttervaal）。柱柱状的高度度表示落于于相应间隔隔的观察对对象的频率率。 频率多多边形和累累计频率分分布（Thhe Frrequeency Polyygon and The Cumuulatiive FFrequuencyy Disstribbutioon）频率多边形形，即多边边形每一顶顶点的横坐坐标为每一一间距的中中点，纵坐坐标为对应应间距的绝绝对频率，然然后将相邻邻的点用直直线连接起起来。另一个线条条形式

45、的图图表是累计计频率分布布。这种图图表不仅能能描述累计计绝对频率率分布，而而且能描述述累计相对对频率分布布。 计算算和解释向向心趋势参参数（meeasurres oof ceentraal teendenncy）。向心趋势参参数（Meeasurres oof Ceentraal Teendenncy）向心趋势标标度，就是是通过找到到一个单一一的点来描描述一组观观察对象。通常的向向心趋势尺尺度包括：平均值（mmean）、中值（mmediaan）、加加权平均值值（weiighteed meean）、众数（mmode）、几何平均均值（geeomettric meann）。定位参数（llocattio

46、n paraameteers）包包括：向心心趋势标度度（Meaasurees off Cenntrall Tenndenccy）；四四分值（qquarttiless）；五分分值（quuintiiles）；十分值（ddecilles）；百分值（pperceentilles）；其他。 群体平平均值（PPopullatioon MeeanAAveraage）的的计算方法法： N （ X i）N i1 样本平平均值（TThe SSamplle MeeanAAveraage）的的计算方法法： nX （ X i）n i1算术平均值值（thee Ariithmeetic Meann）的特征征： 算术平平均值

47、相当当于一个物物体的重心心。在一条条直线上标标出观察对对象的值，再再将每个观观察对象的的频率用柱柱状图表示示（柱体高高度代表频频率），则则由此组成成的杠杆，只只有当支点点在算术平平均值的位位置时，才才会保持平平衡。 观察对对象与平均均值的差（X iX），即为观察对象的分布偏差（deviation）。所有观察对象偏差的和为0。相对算术平均值的偏差表明了风险。 它容易易受到极端端值的不适适当影响。 对特定定群体，算算术平均值值只有一个个。 中值（TThe MMediaan）将观察对象象按升序（获获降序）排排列。 如果观观察对象的的数量为奇奇数，则中中值为序数数在（n1）22 位置的的观察对象象的值

48、； 如果观观察对象的的数量为偶偶数，则中中值应在序序数为n2 和 （n22）2 的位置，求求这两项的的平均值，可可得中值。中值不受到到极端大（或或小）值的的影响。 众数（TThe MMode）众数即分布布中出现频频率最多的的的值。某某个分布可可能有多个个众数或没没有众数。股票收益数数据和其他他呈连续分分布的数据据，可能没没有众数。然而，把把这些数据据按一系列列的间距分分组，就会会发现最高高频率间距距，这就是是“众数间距距（moddal iinterrval）”。Mode是是向心趋势势标度中唯唯一能够与与名义数据据（nomminall datte）连用用的标度。 四分分值 、五五分值、十十分值、

49、百百分值（QQuarttiless、Quiintilles、DDecilles、PPerceentilles）四分值 、五分值、十分值、百分值四分值 、五分值、十分值和和百分值，是是与中值（mmediaan）相对对应的。在一个有nn个按升序序排列的元元素的系列列中，P y为第y个个百分值，LL y为第y个个百分值PP y在升序序排列系列列中的位置置，则：L y y（n1）100计算百分值值的步骤： 如果LL y是一个个整数i，则则P y X i ，X i是在第ii个位置的的值； 如果LL y不是一一个整数，则则取与L y 两边相相邻的值XXi 、X j ，i、j 在在L y 的两边。则：P y

50、 XXi （LL y ii）（X jXi）。 计算算和解释：加权平均均值、范围围、平均绝绝对差、方方差和标准准差。加权平均值值（Thee Weiighteed Meean）加权平均值值能够对不不同的观察察对象给予予不同的权权重，算术术平均值则则是对所有有观察对象象都同等对对待。一系列的观观察对象XX1，X2，X n ，它们对对应的权重重分别是ww1，w2，wn ，则加加权平均值值的计算公公式是： nX w w i X i i1几何平均值值（Thee Geoometrric MMean）一系列观察察对象X11，X2，X n的几何平平均值G的的计算公式式（X nn0）： nG X1 X2 X n

51、将将等式变形形得：nG （ X i）n i1当某个观察察对象为负负数时，收收益率的几几何平均值值RG为：TRG （1+R1）（1+R2）（1+RT） 1 （1+R t） 1/T 1 几几何平均数数与算术平平均数的区区别： 几何平平均数永远远小于或等等于算术平平均数。 一般地地，当我们们需要计算算收益率或或增长率的的复合利息息率（coompouund rrate）时时，使用几几何平均数数。分散性参数数及其应用用（Meaasurees off Dissperssion and Theiir Apppliccatioon）分散性的意意义：它表表示收益是是围绕平均均值的分散散性，分散散性说明的的是风险

52、。分散性参数数有：范围围（rannge）、平均绝对对差（meean aabsollute deviiatioon）、方方差（vaariannce）、标准差（sstanddard deviiatioon）。这这些参数都都是绝对分分散（abbsoluute ddispeersioon）参数数。 范围（TThe RRangee） 范范围可用间间距或比例例数据计算算。范围即即数据集合合中的最高高值与最低低值的差额额。Range Maximum Value Minimum Value 范范围能反映映极端大值值和极端小小值的结果果，而不能能描述分布布的情况。 平均绝绝对差（MMean Absoolutee

53、 Devviatiion）的的计算公式式（X为算术平平均数）：nMAD （X i X）n i1 群体方方差 2（Poppulattion Variiancee）的计算算公式：N 2 （X i ）2 N i1 或或：N 2 （ X i 2 N） 2 i1 群体标标准差（PPopullatioon Sttandaard DDeviaationn），即对对其方差（ 2）开平方。 样本方方差s 22（Sammple Variiancee）的计算算公式： ns 2 （X i X）2 （n1） i1 或： n ns 2 X i2 （X i）2n （n1） i1 i1 样本标标准差（SSamplle Stt

54、andaard DDeviaationn），即对对其方差（ss 2）取平方方根。比较群体方方差和样本本方差可知知，样本方方差计算公公式的分母母为n11而群体方方差计算公公式的分母母N。这样样，就提高高了样本方方差的统计计特征，样样本方差是是群体差的的公正评估估者。一般般将（n1）称为为自由度（tthe ddegreees oof frreedoom）。一一旦计算出出样本的平平均值，则则仅存在（nn1）个个独立的偏偏差（deeviattionss）。 平均均绝对差（MMAD）永永远小于或或等于标准准差（Sttandaard DDeviaationn），因为为，标准差差通过乘方方给予大的的偏差更多

55、多的权重。 比较较：方差、半方差和和目标半方方差（taargett semmivarriancce）。 切拜拜谢夫不等等式（Chhebysshevs innequaalityy）。切拜谢夫不不等式切拜谢夫不不等式：假假设k是任任何大于11的正常数数，那么对对于所有kk1，观观察对象落落在平均值值（算术平平均值）周周围k倍标标准差（SStanddard Deviiatioon）范围围内（即XX ks，ss为标准方方差）的比比例，不会会少于（11 1kk2）。这个不等式式适用于样样本数据或或群体数据据，也适用用于连续的的或不连续续的数据，不不论其分布布的形状如如何。 计算算和解释方方差指数（cco

56、effficieent oof vaariannce）。相对分散（RRelattive Disppersiion）相对分散（RRelattive disppersiion），是是与参照点点或基准点点相比较的的变量。相对分散的的常用参数数是方差指指数CV（ccoeffficieent oof vaariattion）。它表示相相对于分布布的平均值值存在多大大的分散性性，因而，它它可以使我我们比较不不同数据集集合的分散散性。CV sX 计算算和解释夏夏普比率（SSharpp rattio）。风险调整业业绩的夏普普参数Thhe Shharpee Meaasuree of Riskk-Adjjuste

57、ed Peerforrmancce方差指数（CCV）的意意义：方差差指数的倒倒数在一定定程度上说说明了每单单位风险的的收益，因因为收益的的标准差通通常作为投投资风险参参数。某一投资组组合p的夏夏普参数或或比率（SSharppe meeasurre orr rattio）的的定义为（是是更为精确确的收益风险参数数）：Sharpe measure （ p f） p f为无风险险资产的平平均收益；（ p f）即exxcesss retturn，为为投资者承承担额外风风险所得到到的额外收收益（投资资组合p的的额外收益益）； p为标准准差。夏普比例大大的投资组组合，要比比比例较小小的投资组组合更受欢欢迎

58、，因为为，假定投投资者偏好好收益而不不喜欢风险险。 非偏偏向（noonsymmmetrricall）分布的的平均值、中值和众众数的相对对位置。收益分布的的对称性和和偏向性（SSymmeetry and Skewwnesss）收益分布的的对称程度度，是在向向心趋势和和分散性之之外描述收收益分布的的重要参数数。如果收益分分布关于它它们的平均均值（meean）对对称，则一一边的分布布与另一边边的分布是是镜像对称称的。其中中最重要的的分布是正正态分布（nnormaal diistriibutiion），它它是一种对对称的、钟钟状分布。它具有以以下特点： 它的中中值（meediann）和平均均值（mee

59、an）相相等。 正态分分布可由平平均值和方方差两个参参数完整地地描述。 约有666%的观观察对象在在正负一倍倍标准差的的范围之内内；95%的观察对对象在正负负二倍标准准差的范围围之内；999%的观观察对象在在正负三倍倍标准差的的范围之内内。 偏度度（skeew）的定定义和解释释，及正偏偏向和负偏偏向收益分分布的意义义。收益分布的的对称性和和偏向性（SSymmeetry and Skewwnesss）偏向性（SSkewnness）的的分布有两两种： 正偏向向性分布（在在右边有一一条长长的的尾巴，损损失较小而而收益较大大）。对该该分布：众众数（moode）中值（mmediaan）平平均值（mmea

60、n）。 负偏向向性分布（在在左边有一一条长长的的尾巴，损损失较大而而收益较小小）。对该该分布：众众数（moode）中值（mmediaan）平平均值（mmean）。绝对偏度（aabsollute skewwnesss）的计算算，是对所所有观察对对象的偏差差（X ii X）的立方方求平均值值。 如果绝绝对偏度的的符号为正正，则分布布是正偏向向分布，并并且中值平均值。对该分布：有一半以以上观察对对象的偏离离是负数，而而不到一半半观察对象象的偏离为为正数。为为了让总和和达到正数数，则损失失必定较小小，收益可可能更极端端（偏大）。因此，观观察对象正正偏离的平平均数，要要比负偏离离的平均数数大。 如果绝绝