弹性力学简明教程第七章-课件

1、第七章 空间问题的基本理论例题第五节 轴对称问题的基本方程第四节 几何方程及物理方程第三节 主应力 最大与最小的应力 第二节 物体内任一点的应力状态第一节 平衡微分方程第七章 空间问题的基本理论 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。取出微小的平行六面体， 考虑其平衡条件:(a) (b)平衡条件7-1 平衡微分方程 由x 轴向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程得 因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以

2、x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。 在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 ，来求出斜面(法线为 ）上的应力。斜面应力7-2 物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量: p沿法向和切向分量:斜面应力 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的平衡条件 ，得出坐标向的应力分量,1. 求2. 求将向法向 投影，即得得由 从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就

3、完全确定了。 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间问题的应力边界条件:3. 在 上的应力边界条件应力边界条件 式(d)只用于 边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。 式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系； 注意: 1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为： 斜面应力7-3 主应力 最大与最小的应力代入 , 得到：考虑方向余弦关系式，有 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦

4、的方程。(b)2. 求主应力 将式(a)改写为：求主应力 上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力( c )3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向由上两式解出 。然后由式(b)得出应力主向再求出 及 。4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。5.应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为， 因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：应力不变量(g)应力不变量 所以分别称 为第一

5、、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。 式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。 6.关于一点应力状态的结论：6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。一点应力状态(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量(5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。设思考题1.试考虑：对于平面问题若 则此点

6、所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。2. 试考虑：对于空间问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。 空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)几何方程7-4 几何方程及物理方程 从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系： 若位移确定，则形变完全确定。几何方程 从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。-沿x , y , z 向的刚体平移； 若形变确定，则位移不完全确定。 由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量，为： (b)几何方程-绕x , y , z轴的刚体转动。 若在 边界上给定了

7、约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：( c )位移边界条件(d) 其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变体积应变定义为：空间问题的物理方程 应变用应力表示，用于按应力求解方法：( x ,y ,z ). (e)物理方程可表示为两种形式： 应力用应变表示，用于按位移求解方法： (x ,y , z). ( f )由物理方程可以导出（g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。-称为体积模量。 空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结

8、论：结论思考题 若形变分量为零， 试导出对应的位移分量。 空间轴对称问题 采用柱坐标 表示。轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。7-5 轴对称问题的基本方程 对于空间轴对称问题：应力中只有(a)形变中只有位移中只有轴对称问题所有物理量仅为(,z)的函数。而由得出为 。平衡微分方程： 几何方程：其中几何方程为物理方程：应变用应力表示：(d) 应力用应变表示：其中边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。思考

9、题 试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。第七章例题例题1例题2例题3例题例题 1设物体的边界面方程为 试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？（x, y, z)，其中解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦 为当面力为法向分布拉力q时，(x, y, z).因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x, y, z).例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。 (a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。qqooxxzz解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件； 对于(b)，有对称条件。则可解出：而两者的，因此，由物理方程：例题 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面 z=0 上有一集中力 F 作用于角点，试写出z=0 表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P解：本题是空间问题，z=0 的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。 由于面力的主矢