《近世代数（II）》课程教学大纲

1、近世代数（II）课程教学大纲一、课程概况所属专业：数学与应用数学开课单位：数学计算机科学学院课程类型：院系选修课程课程代码：07491370开课学期：7学分：3学时：51核心课程：否拟使用教材：J.M.Howie. Fields and Galois Theory. Springer Science & Business Media.2006.国内(外)现有教材：1 刘长安,王春森. 伽罗华理论基础. 电子工业出版社. 1989.2 章璞. 伽罗瓦理论-天才的激情. 高等教育出版社. 2013.3 N.Jacobson. Lectures in Abstract Algebra: III. T

2、heory of Fields and Galois Theory. Springer Science & Business Media, 2012. 学习参考资料1 N. Jacobson. Basic algebra I. Courier Corporation. 2012.2 HYPERLINK /s/ref=dp_byline_sr_ebooks_1?ie=UTF8&field-author=%E5%86%AF%E6%89%BF%E5%A4%A9&search-alias=digital-text&text=%E5%86%AF%E6%89%BF%E5%A4%A9&sort=releva

3、ncerank t _new 冯承天. 从一元一次方程到伽罗瓦理论. 华东师范大学出版社. 2012.二、课程描述近世代数(II)是近世代数课程的后续部分，主要是为了阐述创立近世代数所解决的具体问题-五次及以上代数方程可用根号解的充要条件。本课程主要在第I部分基础上，补充学习有限扩域和代数扩域的相关理论，以及伽罗瓦理论的基本定理，给出代数方程可用根号解的充要条件以及正多边形尺规作图的充要条件。学生通过近世代数(II)的学习，可以对中学数学的一些经典问题有清晰深刻的认识，可以为代数学及其相关领域的学习研究奠定良好基础。三、课程目标掌握群论的基础知识，包括可解群，可迁群等；掌握有限扩域和代数扩域的

4、概念和性质；掌握伽罗瓦理论的基本定理；理解伽罗瓦理论的应用，包括代数方程可用根号解的充要条件，尺规作图等。四、教学要求理解正规群列，合成群列，可解群和可迁群的概念和性质；有限域和代数扩域的概念和性质；理解正规扩域和伽罗瓦群；能够运用伽罗瓦大定理判断方程可解性条件和尺规作图问题。五、考核方式及要求为实现课程教学目标，本门课程考核方式及要求为：平时表现35%（包括平时课堂考勤，课堂回答问题，解决的思考题等）；小论文15%；期末闭卷考核60%。六、课程内容第一讲 预备知识（授课时间：第七学期第一周至第二周）教学目标：掌握正规群列和合成群列，掌握可解群和可迁群。教学重点：正规群列和合成群列，可解群和可

5、迁群。教学难点：可解群和可迁群。学 时：课堂教学6学时，课外自主学习时间不少于4学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）群的基本概念与置换群； （2）同态和同构定理；（3）正规群列和合成群列；（4）可解群；（5）可迁群。学习方法：小组讨论课后作业：完成课堂布置的思考练习题。第二讲 扩域（授课时间：第七学期第三周至第六周）教学目标：掌握有限扩域和代数扩域的概念以及基本性质，掌握多项式的分裂域，掌握有限域的基本性质。教学重点：有限扩域和代数扩域，有限域。教学难点：有限域。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于8学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）域的基本概念； （2）有限扩域和代数扩

6、域；（3）多项式的分裂域；（4）有限可分扩域的单纯性；（5）有限域。学习方法：小组讨论课后作业：完成课堂布置的思考练习题。第三讲 伽罗瓦理论初步（授课时间：第七学期第七周至第十二周）教学目标：掌握正规扩域和伽罗瓦群，掌握伽罗瓦理论的基本定理。教学重点：正规扩域，伽罗瓦群，伽罗瓦大定理。教学难点：伽罗瓦大定理。学 时：课堂教学18学时，课外自主学习时间不少于12学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）正规扩域； （2）伽罗瓦群；（3）方程的伽罗瓦群；（4）伽罗瓦理论的基本定理。学习方法：小组讨论课后作业：完成课堂布置的思考练习题。第四讲 伽罗瓦理论的应用（授课时间：第七学期第十三周至第十七周）教学目标：掌握方程可用根号解的充要条件，了解分圆多项式和正多边形可尺规作图的充要条件。教学重点：方程可用根号解的充要条件。教学难点：分圆多项式。学 时：课堂教学15学时，课外自主学习时间不少于10学时。教学方法：讲授法。主要内容：（1）单位根和循环扩域； （2）方程可用