初中数学绝对值专题(零点分段法、化简、最值)

1、 初中数学绝对值问题专题讲义（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即二x(x0)，有-x(x0)/|-cxc(c0)c(c0)cO，x0(c=0)xeR(c0) # #2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化c（c0）来解，如 # ax+bc可化为一ax+bc(c0)可为ax+bc或ax+bc；cax+bc，再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向

2、不等式应化为不等式组求解，也可利用结论WbOaWxWb或一bWxW-a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用IxI2=x2可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数X，X，X分别使含有12n的代数式中相应绝对值为零，

3、称X，1X，X将数轴分为2n得到代数式在各段上的简xxnxx2，x为相应绝对值的零点，零点X，n1P.，x2n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用

4、于|X-aI+1X-bI,m或X-aI+1x-bIm（m为正常数）类型不等式。对IaX+bI+1cx+dI,m（或0时，|a|二a当a=0时，la|二0当a0时；|a|二-a数）。2、对于形如la+bl的一类问题首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。当a+b0时，|a+bl=（a+b）=a+b（性质1：正数的绝对值是它本身）；当a+b=0时，|a+bl=（a+b）=0（性质2：0的绝对值是0）；当a+bb时，丨a-b|=(a-b)=a-b,|b-aI=(a-b)=a-b。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小

5、。4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。如|a-bI的一类问题，只要判断出a在b的右边(不论正负)，便可得到|a-b|=(a-b)二a-b，Ib-aI=(a-b)=a-b。5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习(A)(B)(C)(D)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，贝M弋数式的

6、值等于(C)。(A)(B)(C)(D)已知,化简的结果是x-8。已知,化简的结果是-x+8。已知,化简的结果是3x。已知a、b、c、d满足且，那么a+b+c+d二0（提示：可借助数轴完成）若，则有（A）。(A)(B)(C)(D)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为（C).(A)(B)(C)(D)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，(1)设x0)绝对值的代数意义：a=，0(a=0)-a(a0)绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a-b表示数a、数b的两点间的距离.绝对值基本性质非负性：a0:ab=a-b；=(b丰0)；a2

7、=a2=a2bb培优讲解一）、绝对值的非负性问题TOC o 1-5 h z【例1】右|x3|y1|z5=0，贝Ux一y，z=。总结：若干非负数之和为0,。（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知卜=5,b=4且|a，=b-a那么ab=变式1.若|m1|二m1,则m1;若|m1|m1,贝m1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列材料并解决有关问题：x（x0我们知道|x|=J0（x=0），现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对-x（x0值的代数式，如化简代数式|x1|x2时，可令x1=0和x2=0，分别求得x=-1,x=2（称-1,2分别为|x1与|x-2的零点值）。在有理数范围

8、内，零点值x=，1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)当x1时，原式二G1-(x2=-2x1；（2）当-12时,原式=x1x一2=2x一1。-2x1(x-1)综上讨论，原式=3(-12通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x2和|x-4的零点值；（2）化简代数式|x2|x-4 变式1.化简|2x1；|x-1+X-3；变式2.已知|x-3+|x+2的最小值是a，|x-3-|X+2的最大值为b，求a+b的值。（四）、|a-表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离.【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.并回

9、答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为结合数轴求得卜2+|x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为满足卜+1+|x+4，3的x的取值范围为若卜1|+|x2+|x-3+X2008的值为常数，试求X的取值范围、绝对值的最值问题【例5】(1)当X取何值时，|x-3有最小值？这个最小值是多少？(2)当X取何值时，5|x+2有最大值？这个最大值是多少？(3)求x4+|x5的最小值。(4)求卜7+|x8+|x9的最小值。【例6】已知|x1y1，设mX+y|+|y+1|+12yX4|，求M的最

10、大值与最小值.课后练习：1、若1a+b+11与(a-b+1)2互为相反数，求3a+2b-1的值。若lab1与(a-b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是().A.a,bB.a=bC.abD.ab已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a,1,一l,那么Ia+1表示().A.A、B两点的距离B.A、C两点的距离C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和利用数轴分析卜-2Ix3，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到-3的距离之和，它表示两条线段相加：(1)当x,时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；当x时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；当x时，发现

11、，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况下的值都小。因此，总结，卜2lx3有最小值，即等于到的距离利用数轴分析Ix7-lx-1，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相减：当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值;当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；当x时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子lx7-lx-1当x时，有最大值;当x时，有最小值;b+cc+aa+b+.设a+b+c0,abc,0,贝abc的值是（）.A.-3B.1C.3或TD.-3或1.若x-2，则11-11+x；若|a|=a,贝a1a2=12.设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且abc，则|ab|+|bc|+|cal可能取得的最大值是4、当b为时，5-l2b1有最