人教版高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布(教师版)

1、第 页/共10页随机变量及其分布理解随机变量的概念.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.能熟练应用两点分布.能熟练运用超几何分布.随机变量:一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X,Y,Z(或小写希腊字母:，H，:)等表示，而用小写拉丁字母X,儿Z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.注意：(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试

2、验,为了方便起见,也简称试验.所谓随机变量,即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数沧)的自变量是实数,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果.一般情况下,我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果,但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来

3、说,它所可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能将它的可能取值,按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间内的一切值,我们无法将其中的值一一列举.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x,x,x,且P(X=x)=12niP，i=1,2,3,n，则称为随机变量X的概率分布列.i3随机变量概率分布的性质对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.随机事件A的概率满足OWP(A)W1,必然事件U的概率P(U)=1.若离散型随机变量X所有可能取的值为x,x,x.X取每一个值x(

4、zl,2,，n)的概率为P(X=x)=p,QTOC o 1-5 h z12niiiP0,i=1,2,3,n;Qp+p+p+p=1.不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即i123n分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布如果随机变量X的概率分布为：X10Ppq其中0中1,q=1-p，则称随机变量X服从参数为p的两点分布.(1两点分布又称0-1分布.(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件

5、产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.超几何分布：CkCnk在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=mjm,k=o,CnN1,2,，加，其中m=minM,n,且nN,MWN,n,M,NN*,称随机变量X服从超几何分布.X01mpCMCnMCNCMCnmCNCMCnmCN类型一.随机变量及其概率分布例1:下面给出四个随机变量：一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数g；一个沿直线尹=兀进行随机运动的质点，它在该直线上的位置耳：某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数g:】天内的温度耳-其中是离散型随机变量的是()A.B.CD.答案C解

6、析中的随机变量可能取的值为有限个，而能取到一区间内的一切值写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中,任取1球,被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球,5个白球,从中任取4个球,其中所含红球的个数为X；解析(1)X的可能取值为1,2,3,-,10,X=k(k=1,10)表示取出第k号球.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,X=k表示取出k个红球，4-k个白球，其中k=0,1,2,3,4.练习1：写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点

7、数之和为X.解析X的可能取值为2,3,4,-,12，若以(i,j表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则X=2表示(1,1)；X=3表示(1,2),(2,1);X=4表示(1,3),(2,2),(3,1);；X=12表示(6,6).练习2:一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5,从袋中同时取3个球，用g表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量g的概率分布.解析根据题意可知随机变量g的可能取值为3,4,5.当g=3时，即取出的3个球中最大号码是3，则其他两球的编号只能是1,2，故有C21P(g=3)=C3-10;当g=4时，即取出的3个球中最大号码是4,则其他两球只能在编

8、号为1,2,5C233的球中取，故有P(E4)=c3=jo,当g=5时，即取出的3个球中最大号码为5，则其他两球5只能在编号为1，2,3,4的四个球中取，故有P&=5)C23C3-综上可得g的概率分布如下表：5g345P13310105类型二.随机概率分布的性质例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.X-3-2-1012P0.10.20.30.20.10.2解析不是随机变量的概率分布，因为0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.2=1.1工1.练习1：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.g01234P-0.300.30.50.5解析不是随机变量的概率分布，因为P(g=0)=-0.35

9、)；17求P(10g5)二P(g=5)+m5)+m5)二15+15+15二32124或p(g5)=1-PX)=1-(15+15)=?17123因为1010,所以=5,5,517123123故P(10g1)=P(g=1)+P(g=2)+P(g=3)=10530+228228+2281372281抛掷2颗骰子，如果将所得点数之和记为g，那么g=4表示的随机试验结果是（）A.2颗都是4点B.1颗是1点，另1颗是3点C2颗都是2点D.1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点答案D2随机变量g是1个无线寻呼台lmin内接到的寻呼次数；随机变量g是某工厂加工的某种钢12管的外径与规定的外径间的尺寸误差；

10、随机变量g是测量1名学生身高所得的数值（精确到lc）；3随机变量g是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标，那么这4个随机变量中，离散型随机变量的4个数是（）A.1B.2C.3D.4答案B3命题p离散型随机变量只能取有限个值；命题g：只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量；命题尸:连续型随机变量可以取某一区间内的一切值；命题s：可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量，这四个命题中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B4已知随机变量g的分布列为P(g=k)=,k=1,2,3,n,贝P(24)=()D.16答案A5下列变量中，不是随机变量的是()A.某人投篮6次投中的次数C.标

11、准大气压下，水沸腾时的温度B.某日上证收盘指数D.某人早晨在车站等出租车的时间答案C6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是()C1C2A.164C320C2C2B.f4C320C2C1+C3C.f4斑D.以上均不对C320答案D7在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用g表示这10个村庄C4C6中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(C1015A.P(g=2)b.P(g2)c.P(g=4)d.P(g4)答案Ck158如果随机变量g的分布列P(g=k)=-0,k=1,2,3,4,那么P(-7”，“3.5

12、WXW6”的概率.答案(1)标号分别为0,1,2,，9的十根竹签，每一根被取出的可能性相同，其概率均为召,于是X的概率分布为:X0123456789P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.125P（-7)=P(X=8)+P(X=9)=0.2;P(3.5X-6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=0.3.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布

13、列.【答案】设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,v利润=产量x市场价格一成本，.X所有可能的取值为500 x10-1000=4000,500 x6-1000=2019,300 x10-1000=2019,300 x6-1000=800.所以X的分布列为X40002019800P0.30.50.2为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其

14、余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列答案(1)设顾客所获的奖励额为X依题意，得P(X=60)二晋二士即顾客所获的奖励额为60元的概率为2，(2)依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=2,P(X=20)=c2=|,即X的分布列为X2060P0.50.5某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列.答案(1)P=4960C0C31C1C21(2)依据超几何分布，P忆二0)二L二，PC1)二L二，C36C321010所以随机变量X的分布列是X0123P1131621030一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)求取