北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

1、北京邮电大学概率论期末考试 试卷及答案第1章 概率论的基本概念 1 .1随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T 出现的情形.样本空间是：S= ;(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数 样本空间是：S=；2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则A=; B:数点大于2,则B= (2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正 面，则A= ;B:两次出现同一面，则=; C: 至少有一次出现正面，则C= . 1 .2随机事件的运算.设A、B、C为三事件，用A B、C的运算关 系表示下列各事件： TOC o 1-5 h z (1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都

2、发生，而C不发生表示为：.A与B都不发生，而C发生表示为：.A、B、C中最多二个发生表示为:.A、 B、C中至少二个发生表示 为：3、B、C中不多于一个发生表示为：. S = x:0 x5,J = x:lx3,5 = x:24：贝!)(1 ) qb=, ( 2 ) AB = 9(3)AB = ,(4 ) AB = , ( 5 ) 荔二 o1.3概率的定义和性质.已知 P(AuB) = 0.8, P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 9 贝P(AB)= ,(2)( P(A B) )=,(3)P(AuB)=.已 知产(力)=0.7,尸(48) = 03,贝!P( AB) 古典概型.某班有3

3、0个同学,其中8个女同学，随机地 选10个，求：(1)正好有2个女同学的概率，最多有2个女同学的概率，(3)至少有2个女同学的概率.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.条件概率与乘法公式.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。.已知P(4)=1 / 4, P 4) = 1 / 3, P(m 4) = 1 / 2,则P（A B） 。 1 .6全概率公式.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽 一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签， 说明两人抽“中的概率相同。.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有 5个红球5个白球，随机地取一盒，从中

4、随 机地取一个球，求取到红球的概率。 1 .7贝叶斯公式.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收 站收到时，A被误收作B的概率为0.02 ,B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息 B传递的频繁程度为3 : 2 ,若接收站收到 的信息是A,问原发信息是A的概率是多 少？.8随机事件的独立性.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关 闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均 为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。A BLRC D.甲，

5、乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中 率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中，相互独 立，求下列概率：(1)恰好命中一次,(2)至 少命中一次。第1章作业答案 1 .1 1： (1) S HHH , HHT ,HTH ,THH , HTT,THT ,TTH ,TTT；(2) s 0, 1, 2, 32： (1) A 1, 3, 5 B 3, 4, 5, 6；(2) A 正正)正反, B 正正)反反, C 正 正)正反)反正。 1 .2 1 :(1) ABC ; (2) ABC ; (3) ABC ;(4) A B C ； (5) AB AC BC ；(6)A B AC B CABC ABC

6、ABCABC ；2：( 1)A B x:1 x 4 ； (2) AB x: 2 x 3；AB x:3 x 4；A B x:0 x1 或 2x5； (5)AB x :1 x 4 oP(A.3 1 : (1)B) = 0.7. 21p(ab)=0.3, (2) :p(aB) )=0.4.4p(AB)= 0.2, (3)10 C22C；C82/C；0,(2)(c2 c8c22c：c82)/c30,(3)1-(c8 c92)/c；0.2:P3/43.1 .5 1: . 2/6;: 1/4。则 P(A) = 2/10,则 P(B)= 1 .61:设A表示第一人“中”设B表示第二人“中”P(A)P(B|A

7、) + P( A)P(B| A)_2 j 2 _210 910 910两人抽“中的概率相同，与先后次序 无关。2: 随机地取一盒，则每一盒取到的概 率都是0.5 ,所求概率为：p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45 1 .7 1:(1)94% (2)70/94;2:0.993; 1 .8. 1 : 用A,B,C,D表示开关闭合，于是T =ABUCD,从而，由概率的性质及 A,B,C,D的相 互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D)- P(A)P(B)P(C)P(D) 224 c 24P P P 2

8、Pp2:(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0. 4)(1-0.5)0.6=0.38;1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球，从 中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4, 一次 接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为 止，用X表示射击的次数，试写出X的分布 律。2.20 1分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求

9、(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟 只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X 23 ,Y兀(X),试求：p 0.40.6(1) P(X=2,Y 02); (2)P(Y02); (3)已知 Y2,求X=2的概率。贝努里分布一办公室内有5台计算机，调查表明在任一 时刻每台计算机被使用的概率为 0.6,计算机 是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多 少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多 少？2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进

10、行多 少次独立射击，才能使至少击中一次的概率 不小于0.9 ?随机变量的分布函数0 x 11设随机变量X的分布函数是：F(x) = 0.5 1 x 11 x 1(1)求 P(X1), (2) 写出X的分布律。 Ax一2设随机变量X的分布函数是：F(x) = F x 0,0 x 0求(1)常数 A, (2) P1 x 2. 2.5 连续型随机变量1设连续型随机变量X的密度函数为：kx 0 x 1f(x)0其他(1)求常数k的值；(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形，(3)用二种方法计算P(- 0.5X0.5). 2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间(0, 5)上服从均匀分布

11、 求方程 4x2+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2假设打一次电话所用时间(单位：分)X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电 话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；10分钟 到20分钟的概率。正态分布随机变量 XN (3, 4), (1)求 P(2X 5), P(- 4X 2),P(X3);(2)确定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2某产品的质量指标X服从正态分布，以=160, 若要求P(120X1) -P(X2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X2) = 1 - 0

12、.908422 = 0.0915782： (1)由乘法公式：P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y2 |X=2)= 0.4 82 2e2 2e2)= 2e2(2)由全概率公式：P(Y2) = P(X=2)P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)=0.4 5 e2+0.6 e3= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458(3 )由贝叶斯公式：P(X=2|Y 3 )=C53 0.630.42C54 0.640.4 0.65P(X 3 ) = 1 - A 1 ) = 1 - 0.452:至少必须进行 2.4 1： (1) P(X1) = 0.5,C；0

13、.640.40.65(4)P(X11次独立射击.P 0 X 1 = 0.5; P(XX的分布律为:-10.50.5 2.52: (1) A = 1, P 1 X 2 =1/61 : (1)(2)F(x)P(-0.5X0y0第3章多维随机变量二维离散型随机变量.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球, 从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y)的联 合分布律及边缘分布律。 TOC o 1-5 h z .设二维随机变量(x,y)的联合分布律为：X Y012试根据下列条件分别求a和b的值；00.10.2 aP(X 1) 0.6 ；0.1 b0.2P(X 1

14、|Y 2) 0.5；数)F(1.5) 0.5。 3.2 二维连续型随机变量1. (X、Y)的联合密1设F(x)是Y的分布函度函数为：f(x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其他求(1 )常数kxy 0 x 1,0 y x0 其他f(x, y)222(1 x )(1 y )k; (2) P(X1/2,Y1/2) ; (3)P(X+Y1) ; (4) P(X1/2)O2. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)求(1)常数 k;(2) P(X+Y1) ;(3) P(X1/2)O边缘密度函数.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y 的边缘密度函数。.设(X, Y)的联合密度函

15、数如下，分别求x与y 的边缘密度函数。e 0 y x f (x,y)0 其他随机变量的独立性.(X, Y)的联合分布律如试根据下列条件分别求a和b的值;1/61/91/18P(Y1) 1/3 ；1/9P(X1 |Y 2) 0.5；(3)已知X与Y相互独立。2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数 c,并讨论X与Y是否相互独立？2cxy 0 x 1,0 y 1f(x,y) 0 其他 3.5多个随机变量的函数的分布 3.6几种特殊随机变量函数的分布 第3章作业答案12: a=0.1b=0.30.40.30.7 a=0.2b=0.220.3003 a=0.3b=0.10.70.31: (1) k =

16、 1; (2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8; P(X+Y1) = 1/32: (1) k P(X1/2) = 1/16;(4) P(X1/2) = 3/8 8; (2) P(X+Y1)=1/6; (3) 3.3 1:fx(x)1dv 2222 dy2(1 x )(1 y )(1 x )fY(y)2:fx (x)1222(1 x )(1 y )xe xx0.0 x0dx 二fY(y)y 0.y 0,b=1/9; (3)2:(2) a=4/91;(D) 2.1.2 ;1.5 ;(1) a=1/6 b=7/18;a = 1/3, b = 2/9。c = 6, X与Y相互独立第4章随机变量

17、的数字特征数学期望.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3 个，用X表示取到的红球的个数，则 EX是：.、3x2.设X有密度函数：f(x)方 ：)4,求 具 他0E(X), E(2X 1), E(1)，并求X大于数学期望E(X)的 TOC o 1-5 h z IXI概率。.设二维随机变量(X,Y)的联合E布律为：X Y012已知 E(XY) 0.65)00.10.2 a则 a 和 b 的值是：0.1 b 0.2(A) a=0.1, b=0.3;(B) a=0.3, b=0.1;(C)a=0.2, b=0.2;(D) a=0.15, b=0.25。4 .设随机变量(X, Y)的联合密度函数如下：

18、求EX,EY,E(XY 1)。xy 0 x 1,0 y 2f(x,y) 0 其他 4.2 数学期望的性质1,设X有分布律：X 0123_ 则 E(X2 2X 3)是：0.10.20.3(A)1;2;3;(D)4.52,2.设(X,Y)有 f(x,y) 4yxy试验证0 其 他E(XY) E(X)E(Y), 但 X 与 Y不相互独立。方差.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX, DX. x有密度函数：f(x) (x 1)/4 2,求口(不.0分 世常见的几种随机变量的期望与方差. 设X(2) , YB(3, 0.6)，相互独立)则E(X 2Y), D(X 2Y)的值分别是：(A) -1.6 和

19、 4.88 ;(B) -1 和 4;(C)1.6 和 4.88 ;(D) 1.6 和-4.88.设XU(a, b), YN(4, 3)X与Y有相同的期望和方差，求a, b的值。(A) 0 和 8;(B) 1 和 7;(C) 2和 6;(D) 3 和 5.方差与相关系数.随机变量(X,Y)的联合分布律如下：试求协方差C0V(X,Y)和相关系数XY ,0.20.10.10.30.32 ,设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试求协方差Cov(X,Y)和相关系数f (x, y)4.6独立性与不相关性XY,1,0 y 1他1.下列结论不正确的是(.若(A)(C). ( X,YX与丫相互独立，则)X

20、与Y不相关;X与Y相关)则X与Y不相互独立;E(XY) E(X)E(Y),f (x,y)fx(x)fY(y)则X与Y相互独立;则X与Y不相关；COV(X,Y) 0,则不正确的是(E(XY) E(X)E(Y) ； (B) E(X Y) E(X) E(Y)；D(XY) D(X)D(Y) ； (D) D(X Y) D(X) D(Y)；)有联合分布律如下)试分析X与Y的相关性和独立性。、X1/81/81/81/81/81/8E(XY) E(X)E(Y)是X与Y不相关的(C)充(A)必要条件；(B)充分条件: 要条件；(D)既不必要，也不充分。E(XY) E(X)E(Y)是X与Y相互独立的(A)必要条件

21、；(B)充分条件：(C)充要条 件；(D)既不必要，也不充分。设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立f (x, y)2.21x y/4 x第4章作业答案D;4:B;2/3 ):D;:7/2,2 : 3/2, 2,4/3 ) 17/9;3/4, 37/64 ; 3 :111A; 0.2 C；35/12; 2 :0.355;2: C;2: 11/36;B ；1/144, 1/11;x与y不相关)但X与Y不相互独立；4: C; 5: A;第5章极限定理* 5.1 大数定理中心极限定理. 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004的指数分布，现有元件30只，一只在

22、 用，其余29只备用，当使用的一只损坏时， 立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近 似概率。.某一随机试验，“成功”的概率为0.04,独 立重复100次，由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功” 6次的概率的近似值。第5章作业答案5.2 2: 0.1788;3: 0.889, 0.841;第6章数理统计基础数理统计中的几个概念.有 n=10 的样本；1.2, 14 19 2.0, 1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,样本均方差1.4,则样本均值 ,样本方差s22.设总体方差为b2有样本Xi,x,Xn,样本均值为2.i(5) =2.设 Xi,X2,

23、1 .设总体XN(, 样本方差S2 )则2),样本Xi,X2, ,Xn,样本均值X,贝(!cov(Xi,X)数理统计中常用的三个分布.查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9)t0.9(10) =,Xn是总体2(m)的样本,求E(X), D(X)。一个正态总体的三个统计量的分布XS / 、n TOC o 1-5 h z 1 n 2-(Xi X) i 11 nc1 (Xi)2i 1* 6.4 二个正态总体的三个统计量的分布第6章作业答案 6.11x 1.57, s 0.254, s2 0.0646 ；2 E（X）=也 D（X） = 2ml n ； 6. 3 1. n（o, i）,z2（w-i）,

24、72（）；第7章参数估计7.1矩估计法和顺序统计量法L设总体x的密度函数为：“加卜砥E尸片，有 0 其他 样本心心，求未知参数。的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数xw),为估计入 的值，在实地随机地调查了 20次，每次1分 钟，结果如下：次数：23456试求 的一阶矩估计和二阶矩估计。极大似然估计.设总体X的密度函数为：f(x) (11户：X 1 0其 他有样本Xi,X2, ,Xn,求未知参数 的极大似然估 计。估计量的评价标准.设总体X服从区间(a, 1)上的均匀分布，有样本 Xi,X2, ,Xn,证明? 2X 1是a的无偏估计。.设总体X()，有样本X1,X2, ,Xn ,证明aX (1 a)S2 是参数的无偏估计(0 a 1)。参数的区间估计.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度XN( , 2)，抽取9根纤维，测量其纤度为： 1.