等腰三角形分类讨论综合

1、 PAGE 13 等腰三角形分类讨论综合理解等腰三角形的性质和判定定理；能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。【备注】：此局部知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回忆学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的根本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。一等腰三角形的性质：二等腰三角形常见题型分类：函数背景下的等腰三角形的考点

2、分析：求解相应函数的解析式；根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长和“不指定腰长两大类；根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。【备注】：以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件相等的量、不变的量、隐藏的量等等，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；可以根据各题的“参考教法引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；例题讲解，可以根据“教法指导中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生

3、书写，每个问题后面有答案提示；引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；局部例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。例1.如图，在RtABC中，BAC= 90，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且EDF= 901求DEDF的值；AAAA设直线DF与直线AB相交于点G，EFG能否成为等腰三角形？假设能，请直接写出线段BE的长；假设不能，请说明理由。例1题图BCDEFA备用图2BCD备用图1BCDA【参考教法】：你来找一下题目中由哪些不变的量或者是

4、比拟特殊的条件，试试看：中的三角比是否能求解？你求求看。提示：；题目中有很多垂直，会得到很多角度角相等的，你找找。 提示：、。题目中是否有相似三角形？找找看。 提示：、等。求，选择那些条件可以求解？你求一下吧！提示：用，在结合的三角比可求得。当EFG为等腰三角形时：1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应该需要；3.如需要分哪几种？提示：根据点的不同位置分两大类讨论：当点在射线上时，如图1。因为所以为钝角，那么EFG为等腰三角形时，；当点在射线上时，如图2。因为所以为钝角，那么EFG为等腰三角形时，；怎么计算，你能自己先求解

5、一下看看吗？通过此题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？【总分值解答】：1BAC= 90 B +C 90，AD是BC边上的高 DAC+C=90B =DAC 又EDF= 90BDE+EDA=ADF +EDA = 90BDE =ADFBEDAFD DEDF =假设EFG为等腰三角形，根据点的不同位置分两大类讨论： 图1 图2 当点在射线上时，如图1。因为所以为钝角，那么EFG为等腰三角形时，为中点那么，在直角中，又，那么可求得 。 所以：另解：由EFG为等腰三角形可得，所以，再过点作垂线，利用三角比可求得。当点在射线上时，如图2。因为所以为钝角，那么EFG为等腰三角形时，为中点又所

6、以：。综上可得，当EFG为等腰三角形时，或。练习1.如图1，在中，是边的中点，于。 1试求的值； 2求证：； 3假设是边上的点，且使为等腰三角形，请求的长。【解法点拨】：寻找题目中的特殊条件和不变的量：是边的中点； ；题目中的线段都可求解让学生自己计算；证明角度相等，回忆证明角度相等的方法后，知此题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比例证明AMHBMA即可得；当为等腰三角形时，分三个情况讨论：当时：因为边长不能直接求出，那么利用三角比求解，过点作，因为，那么，所以；当时：可直接得的长；当时：因为边长不能直接求出，那么利用三角比求解，过点作，因为，那么，所以。4.注意利

7、用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比求解；5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。【总分值解答】：1在MBC中，MCB=，BC=2，又M是边AC的中点，AM=MC=BC=1， MB=， 又CHBM于H，那么MHC=， MCH=MBC， sinMCH=. 2在MHC中，.AM2=MC2=，即，又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.由前两问可得：,。当为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：当时：如图1，过点作，因为，那么，所以；所以：，即，所以；当时：如图2，可直接得；当时：如图3，过点作，因为，那么，所以所以：，即，所以；综上可得，当为等

8、腰三角形时，的长为、。图2图1 图3例2.如图，在中，、分别是边、上的两个动点不与、重合，且保持，以为边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，请直接写出的长。GFEDCBA 【参考教法】：以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的条件或特殊条件： 1.题目中有哪些量？ 提示：从边、角归类寻找。 边：，； 角:；题中有什么特殊的图形没？提示：等腰、正方形。你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设，让学生求解底边上的高，并用含的代数式表示的长。当是等腰三角形时：需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；怎么讨论？提示：当是等腰三角形时，根据点的位置分：点在内部和外面两大类讨论：当点在内部时：因为

9、，所以该情况下只可能。但该情况下不能直接求解出，那么画底边上的高点作。如图1那么：，所以；当点在外面时：分以下情况讨论当时：直接利用相等计算，即；当时：如图2设与交点为，那么可得：且点为中点；所以：；当，不成立。3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。4.通过此题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？6.提示学生利用好三角比。【总分值解答】：过点作，垂足为点。，那么，；设，那么，。当是等腰三角形时，根据点的位置，分以下情况讨论：当点在内部时：因为，所以该情况下只可能。但该情况下不能直接求解出，那么画底边上的高点作。如图1那么：，所以，即，解得：；当点在外面时

10、：分以下情况讨论当时：那么，解得：；当时：如图2设与交点为，那么可得：且点为中点，所以：，即：，解得：；当，不成立。综合上可得：当是等腰三角形时。 图1 图2【备注】：本局部对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。图形背景下等腰三角形分类讨论的解题方法和策略：先寻找题目中的条件：相等的角、相等的边、相似的三角形等；根据题目中的条件求解相关线段的长度；等腰三角形讨论中，分三步走：分类、画图、计算；等腰讨论中，当不能直接利用边长相等求解时，一般情况下通过“画底边上的高辅助线，结合三角比计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好

11、数形结合思想；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。该局部需要学生在15分钟内独立完成，之后再评分并讲评1.在梯形中，如图1。此题总分值14分1求证：；2假设点在线段上运动，与点不重合，联结并延长交的延长线于点， 如图2，设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；3假设点在线段上运动，与点不重合，联结交于点，当是等腰三角形时，求的值APDCB图2QOAPDCB图1【解法点拨】：寻找题目中的量或者是比拟特殊的条件：边的关系：，。可得到边成比例：,可用来求解某些线段的长度。角的关系：。相似三角形：。可由角度相等证明；求解函数关系式，寻找相似根本图形。 方法一：由,可得：,进而； 方法二：由可得：，进而。当是等腰三角形时，分三个情况讨论：当时：得，所以，所以；2.当时，易证：，即：四边形是平行四边形；3.当时不存在。【总分值解答】：1证明：1分1分，1分1分1分 2解： ，四边形是平行四边形 1分1分，1分1分定义域是：1分 3解：当时， 由2知：， 2分当时，易得：易证：即：四边形是平行