不确定系统的椭圆区域极点配置

1、不确定系统的椭圆区域极点配置Pole Assignment for Uncertain Linear Systems in a specified EllipseLin Yufeng(Mathematics and Computer Science College of Fuzhou University, Fujian Fuzhou 350108)Linear matrix inequalities (LMIs) form of the ellipse domain is addressed based on the linear matrix inequalities (LMIs) app

2、roach. The sufficient condition of the pole assignment of the uncertain systems and disperse systems is derived based on LMIs method. Finally an example is provided to demonstrate the applicability of this proposed approach.引言控制理论的一个基本问题是设计反馈控制律, 将闭环系统的极点配置在期望的位置, 即极点配置问题。 事实上 , 精确的极点配置是不需要的 , 只要满足将

3、闭环系统的极点配置在左半复平面的一个指定位置就可以了。近些年, 不同区域的极点配置问题理论的研究已经十分活跃1-6, 例如 : 垂直或水平带区域; 扇形区域 4; 圆形区域 6 和双曲线等区域的极点配置都取得了一些进展。事实上 , 我们可以将圆盘区域的极点配置问题推广到椭圆区域。然而 , 对于椭圆区域的鲁棒稳定性研究却鲜见报道。本文主要研究椭圆区域的LMIs表示形式,并应用LMIs方法,来设计状态反馈控制器, 使闭环系统的极点配置在给定的椭圆区域内 , 推广了基于圆盘区域内的极点配置。最后 , 通过仿真算例 ,证明了该定理的可行性。问题描述和引理考虑以下状态方程描述的一类不确定连续或离散系统

4、:其中分别是系统的状态和控制向量; 是一个算子; 对于连续系统 , 是微分算子, 即 , 对离散系统, 表示延迟算子, 即 ;A,B 是具有适当维数的实常数矩阵 , 表示系统的扰动, 且假定具有以下的形式:其中是具有适当维数的实常数矩阵 , 是满足的未知矩阵, 是表示适当维数的单位矩阵。定义11对复平面中的区域D,如果存在一个对称矩阵和矩阵 , 使得 : (3)则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记LMI区域)。定义 21 对于系统 (1) 假设系统的系数矩阵在复平面上给定的椭圆区域D即(3)是稳定的，对所有允许的不确定性，如果存在控制器 , 使其所对应的闭环系统的所有极点均配置到给定的椭圆区域

5、D内，则称该控制器为给定区域极点配置的鲁棒D稳定控 制。引理11给定由 式描述的LMI区域D,则矩阵是D-稳定的充分必要条件是存在一个正定矩阵, 使得 (4)其中 : 。引理29设Y为对称矩阵,为适维常值阵，E为时变适维阵, 满足 , 标量 , 则的充分必要条件为本文的目的是, 针对其不确定性, 设计状态反馈控制器:, 使得对所有允许的扰动 , 闭环系统的极点均位于给定的椭圆区域内其中本文给出了该控制律存在条件和设计方法。主要结论定理 1 矩阵的所有特征根均在给定的椭圆区域内的充分必要条件是存在一个对称矩阵使得下列 LMI 成立 :证明 : 假设给定的椭圆区域为 :, 其中任意一点 , 满足

6、:(8)将 , 代入上式整理, 再根据 Schur 补定理可知 , 其等价于 :(9)故椭圆区域为 LMI 区域 , 可表示为 (9) 式。若为对应的特征值, 则根据引理1, 可知 , 只要满足 :则 A 的特征值在给定的椭圆区域D 内 , 反之亦然 , 故命题得证。定理 2 对于所给闭环系统 , 如果存在正定对称矩阵, 以及标量 , 使得对所有的不确定性 , 下列 LMI 成立 :则闭环系统在给定的椭圆区域(7) 内存在极点配置的鲁棒控制。系统的鲁棒D控制律为：。证明 : 令, 对系统 (7) 根据定理 1 有 :根据引理 2, 可得 :进而 , 根据 Schur 补定理有 :故命题得证。对

7、于离散系统也有同样的结论成立。仿真算例考虑不确定连续系统:, ,其中。并且给定的椭圆区域为 :, 则根据定理2设计鲁棒控制器为 : 可得 : 。下面分三种不确定性界讨论闭环系统的极点 :(1)f=-1时, 得到闭环系统的极点为 :-1.9370;-2.0000(2)f=0 时, 得到闭环系统的极点为：-1.4424+0.3716i;-1.4424-0.3716i(3)f=1 时, 得到闭环系统的极点为:-1.8494+0.3891i;-1.8494-0.3891i其对应的图象为 :如图 2 可知 , 该闭环的极点均被配置在了所给定的椭圆区域内，闭环系统具有鲁棒 D稳定性，可见定理2可行。结语本文给出