学案 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

1、3.2第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系新课标新学法课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系学习重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系学习难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.核心概念掌握【情境导学】在二次函数yx22x3中令y0得x22x30，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？【知识导学】知识点一函数零点的概念(1)一般地，如果 ，即 ，则称为函数yf(x)的零点(2)是函数f(x)零点的充分必要条件是 知识

2、点二 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(1)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中有 个元素 ，且 是f(x)的 个零点，f(x)的图像与x轴有 个公共点 (2)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中 元素 ，且 是f(x) 的零点，f(x)的图像与x轴有 个公共点(3)当b24ac0时，方程ax2bxc0 实数根，此时f(x) 零点，f(x)的图像与x轴 公共点【新知拓展】1函数的零点不是一个点，而是f(x)0的根，是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标2方程的根与函数零点的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点【评价自测】1判

3、一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2bxc0的解集一定与函数f(x)ax2bxc的零点有关()2做一做(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是()(2)函数f(x)x25x的零点是_核心素养形成题型一 求函数的零点例1求下列函数的零点(1)f(x)x27x6；(2)f(x)eq f(x24x12,x2).【金版点睛】求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：(1)令f(x)0，方程f(x)0的根就是函数

4、的零点；(2)画出函数f(x)的图像，图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点eq avs4al(跟踪训练1)(1)若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点；(2)求下列函数的零点：yx2x20；y(x22)(x23x2)；yx37x6；f(x)x41.题型二 函数零点的个数问题例2函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0)的零点个数是()A0 B1 C2 D3【金版点睛】判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断(2)结合函数图像进行判断eq avs4al(跟踪训练2)设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x

5、2bxc，x0，,2，x0，)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1 B2 C3 D4题型三 利用函数的零点求不等式的解集例3利用函数求下列不等式的解集：(1)2x2x60.【金版点睛】利用函数的零点求不等式解集的一般步骤(1)根据所求不等式设出函数；(2)求出函数的零点；(3)根据函数的图像写出不等式的解集eq avs4al(跟踪训练3)求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)x23x10；(3)4x24x10.题型四 函数f(x)g(x)h(x)的零点问题例4已知函数f(x)|x22x|a，求满足下列条件的a的取值范围(1)函数f(x)没有零点；

6、(2)函数f(x)有两个零点；(3)函数f(x)有三个零点；(4)函数f(x)有四个零点【金版点睛】转化思想在求解函数零点问题中的应用求解函数f(x)g(x)h(x)的零点，求方程g(x)h(x)的实数根和求函数f(x)g(x)h(x)的图像与x轴的交点坐标均可转化为探究函数g(x)和h(x)图像的交点情况观察图像，数形结合，易于解决问题eq avs4al(跟踪训练4)对实数a和b，定义运算“”：abeq blcrc (avs4alco1(a，ab1，,b，ab1.)设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1,1(2，)

7、 B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1随堂水平检测1函数y4x2的零点是()A2 B(2,0)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0) Deq f(1,2)2下列图像表示的函数中没有零点的是()3不等式6x2x20的解集为()A.eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(1,2)B.eq blc(rc(avs4alco1(，f(2,3)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)D.eq blc(rc(avs4alco1(，f(2,3)4已知函数f(x)x2axb的两个零点是2

8、和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_5利用函数求下列不等式的解集：(1)x27x6；(2)(5x)(x1)0.参考答案核心概念掌握【知识导学】知识点一函数零点的概念(1)函数yf(x)在实数处的函数值等于零 f()0(2)(，0)是函数图像与x轴的公共点知识点二 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(1)两 x1，x2 x1，x2 两 两 (x1,0)，(x2,0)(2)只有一个 x0 x0 唯一 一(3)没有 无 没有【评价自测】1【答案】(1)(2)(3)2【答案】(1)D(2)0和5核心素养形成题型一 求函数的零点例1解：(1)解方程x27x60，得x1或x6，所以函数的零点

9、是1，6.(2)解方程eq f(x24x12,x2)0，得x6，所以函数的零点为6.eq avs4al(跟踪训练1)解：(1)由题意，知f(3)0，即(3)23a0，a6，f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.函数f(x)其余的零点是2.(2)令y0，即x2x200，解得x15，x24，所以所求函数的零点为5,4.令y0，即(x22)(x23x2)0，(xeq r(2)(xeq r(2)(x1)(x2)0，解得x1eq r(2)，x2eq r(2)，x31，x42，所以所求函数的零点为eq r(2)，eq r(2)，1,2.因为x37x6(x3x)(6x6)x(x21)6(x1)x(

10、x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)，所以由x37x60，得x13，x21，x32，所以所求函数的零点为3,1,2.由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，所以方程x410的实数根是x11，x21.故函数的零点是1,1.题型二 函数零点的个数问题例2【答案】C【解析】解法一：方程x20(x0)的根为x1，所以函数f(x)有2个零点：2与1.解法二：画出函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0)的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点eq avs4al(跟踪训练2)【答案】C【解析】由f

11、(4)f(0)，f(2)2，得eq blcrc (avs4alco1(164bcc，,42bc2.)eq blcrc (avs4alco1(b4，,c2.)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x24x2，x0，,2，x0.)当x0时，f(x)x24x2x，解得x1或x2.当x0时，f(x)2x，解得x2.方程f(x)x的解有3个故选C.题型三 利用函数的零点求不等式的解集例3解：(1)设f(x)2x2x6，令f(x)0，得2x2x60，即2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,4)2eq f(47,8)0，该方程无解因此函数f(x)无零点，从而f(x)的图像与x轴没有

12、交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为R.(2)设f(x)x26x9，令f(x)0，得x26x90，即(x3)20，从而x3.因此函数f(x)的零点为3，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为3(3)设f(x)x22x3，令f(x)0，得x22x30，即(x3)(x1)0，从而x3或x1.因此3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)和(1,0)又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可得所求不等式的解集为(，1)(3，)eq avs4al(跟踪训练3)解：(1)因为824(1

13、)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根x14eq r(13)，x24eq r(13)，又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4eq r(13)x0，所以方程x23x10有两个不等实数根x1eq f(3r(5),2)，x2eq f(3r(5),2)，所以原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3r(5),2)xf(3r(5),2).(3)设f(x)4x24x1，令f(x)0，得4x24x10，即(2x1)20，从而xeq f(1,2).因此函数f(x)的零点为eq f(1,2)，从而f(x)的图像与x轴相

14、交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为.题型四 函数f(x)g(x)h(x)的零点问题例4 解：函数y|x22x|的图像如图所示(1)函数f(x)没有零点，即函数ya与y|x22x|的图像没有交点，观察图像可知，此时a1.(3)函数f(x)有三个零点，即函数ya与y|x22x|的图像有三个交点，由图像易知a1.(4)函数f(x)有四个零点，即函数ya与y|x22x|的图像有四个交点，由图像易知0a1.eq avs4al(跟踪训练4)【答案】B【解析】令(x22)(x1)1，得1x2，则f(x)eq blcr

15、c (avs4alco1(x22，1x2，,x1，x2.)函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，即函数f(x)的图像与直线yc恰有两个公共点画出函数f(x)的图像(如图)可得实数c的取值范围是(2，1(1,2随堂水平检测1【答案】D【解析】令y4x20，得xeq f(1,2).函数y4x2的零点为eq f(1,2).2【答案】A【解析】因为B，C，D函数的图像均与x轴有交点，所以函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点故选A.3【答案】A【解析】设f(x)6x2x2，令6x2x20.得(2x1)(3x2)0，从而xeq f(1,2)或xeq f(2,3).由函数f(x)的图像可知所求不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(1,2).故选A.4【答案】eq f(1,2)，eq f(1,3)【解析】由题意知，方程x2axb0的两根为2,3，eq blcrc (avs4alco1(23a，,23b，)即a5，b