试卷试题考研数学一历年真题汇编全集集19872013

1、考研数学一历年真题汇编(5)已知三维向量空间的基底为(B)依赖于s、t和x(D)依赖于s,不依赖于t(本题满分8分)| A * |等于求正的常数1 x ta与b使等式xim0b0蔦齐孑1成立.(A)a(B)-a三、(本题满分7分)(C)an -J(D) an设f、g为连续可微函数，u = f ( x, xy ), v = g (x亠xy ),求.，一. ex ex六、(本题满分10分)1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)当x=时屈数y =x 2x取得极小值.由曲线y = I n x与两直线y =e、1 - x

2、及y=0所围成的平面图形的面积是.广X =1(3)与两直线Sy=一1 +t 1的通解,其中常数a . 0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项 中,只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 lim f (x) - a) _ _1,则在 x =a处y (x_a)f (x)的导数存在，且(a) = 0(B) f (x)取得极大值(C) f (x)取得极小值(D) f (x)的导数不存在s设f (x)为已知连续函数，I = t t f(tx)dx,其中t 0, s 0,则i的值(A)依赖于s和t(C)依赖于t、x,不依赖于s oO,.设常数k

3、 0,则级数V (_匚叨 nmn(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关设a为n阶方阵，且a的行列式| A匸a = 0,而A*是a的伴随矩阵，则求幕级数7 _nxnl的收敛域，并求其和函数乙门|_2“七、(本题满分10分)求曲面积分二 x(8y 1)dydz 2(1 - y2)dzdx - 4yzdxdy ,其中 是由曲线心)=严一一1仁八3绕y轴旋转一周而成的曲面，其x = 0法向量与y轴正向的夹角恒大于 2!2取出1个球,此球是白球的概率为 已知上述从第2个箱子中取出的 TOC o 1-5 h z 球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 1 2已知连续随机

4、变量 x的概率密度函数为 f (x)二e一1,则x的数学期望为 , x的方差为 .十一、(本题满分6分) 设随机变量X，丫相互独立，其概率密度函数分别为 fx(X)= ( 10 兰 X兰j fjy)扌 k yA,求 Z=2X+Y 的概率L 0其它0 山0八、(本题满分10分)设函数f (x)在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每一个x,函数f(x)的值 都在开区间(0,1)内，且f (x) =1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)二x.九、(本题满分8分) 问a,b为何值时，现线性方程组r x| +X2 +X3 十& =0 x2 +2x3 +2& =1_x2 +(a _3)x3 _

5、2x4 =b 0时,f (x)在沟处的微分dy是2与Ax等价的无穷小(B)与.lx同阶的无穷小(C)比Cx低阶的无穷小(D)比.lx高阶的无穷小设 y=f(x)是方程y-2y亠4y=0的一个解且f(x。)0, f (x)=0,则函数 f(x)在点 x处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少设空间区域J : x2y2z2 _ R2,z _ 0,门2 ： x2y2 z2 _ R2,x _ 0, y _ 0, z_ 0,则xdv=4!)!dv111 ydv = 4111 ydv-.1u111 zdv = 4 111 zdv111 xyzdv = 4111 xyz

6、dvqQ设幕级数an(x-在x = -1处收敛，则此级数在x = 2处n=1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组a, a2l , as (3乞S乞n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数ki,k2,|,ks,使kia 2a 川，人as- 0a, a?,川，a中任意两个向量均线性无关a, a,川，as中存在一个向量不能用其余向量线性表示a , 0C2JH, a中存在一个向量都不能用其余向量线性表示1已知AP =BP,其中B= 00八、(本题满分8分)2已知矩阵A= 0 HYPERLINK l bookmark217 o Current Docume

7、nt 001 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 00,P=2 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 0_1一20-11010 ,求 A, A5.1四、(本题满分6分)设口 = yf (仝)+xg(y)其中函数f、g具有二阶连续导数，求 y x 2-2u ux 7 y .X；x：y00 20001与B= 0y0相似.1 x一 .0 0 -1一(1)求x与y.(2)求一个满足P - AP二B的可逆阵P.五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程 y ：3y：2y =2ex,其图形在点(0,1)九

8、、(本题满分9分)设函数f (x)在区间a, b上连续，且在(a,b)内有f (x) . 0,证明：在 (a,b)内存在唯一的：使曲线y = f (x)与两直线y=f( ), x = a所围平面图形面积S是曲线y = f (x)与两直线y = f ( ), x = b所围平面图形面积 S2的3倍.处的切线与曲线 y =x2 -X -1在该点处的切线重合，求函数y二y(x).六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为 E(k 0为常数,r为rA质点与M之间的距离),质点M沿直线y = J2x -X2自B (2, 0)运动到O (0, 0),求在此运动过程中质点A对质点M的

9、引力所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线 上)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19则事件A在一次试验中出现的概率是 .27，若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于 的概率为5设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知七、(本题满分6分)u2x 1(x)云e2du, (2.5) = 0.9938,则X落在区间(9.95,10.05) 内的概率为 .十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率密度函数为f x (x) =1,求随机变量兀(1 X )Y = 1 - 3 X的概率密度函数fY(y

10、).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横 线上)已知f=2,则啊f(3 - f=.1设 f(x)是连 续函数，且 f(x) =x+2j0 f (t)dt,则f (x) =.设平面曲线L为下半圆周y =；订臣，则曲线积分2 2已知曲面z = 4- x-y 上点p处的切平面平行于平面2x 2y z _1 = 0,则点的坐标是(A) (1,-1,2)(B) (-1,1,2)(C) (1,1,2)(D) (-1,-1,2)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方程的通解是G%C22 y3q%C22

11、 -(g GWG%C22 -(1 - C1 -C2)y3L(x2 y2)ds=(4)向量场div u在点P (1,1,_3001-110 11401 =,1 01贝0矩阵00一3001设矩阵 A =处的散度div u =(D) Ci y1 C2 y2 (1 - e - C2) y3oaS(x)二、bn sin n二 x, - 二：x ；,其中n=111bn = 2 0 f (x)sin n二 xdx, n 二 1,2,3川,(A _ 2 广=二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个 选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1(A)2(C)-41

12、(B)4(D)-21(1)当x 0时,曲线y =xsinx设A是n阶矩阵，且 A的行列式 A = 0,则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素(B)有且仅有铅直(D)既无水平渐近(D)任一列向量是(A)有且仅有水平渐近线渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线 线，又无铅直渐近线对应成比例必有一列向量是其余列向量的线性组合 其余列向量的线性组合连续二阶偏导数，求三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)设z = f (2 x y)亠g (x, xy),其中函数f (t)二阶可导，g (u , v)具有:x :y设曲线积分xy2dx+y(x)dy与路径无关，其中(x)具有连续的 导数

13、，且-:(0) = 0,计算(：；xy2dx - y (x)dy 的值(3)计算三重积分+z)dv,其中0是由曲面z = Jx2 + y2与 z = .1 -X2 -y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f (x) = arctan -x展为x的幕级数.1 -x五、(本题满分7分)x设 f (x)二 sin x : (x -t) f (t)dt,其中 f 为连续函数，求 f (x).六、(本题满分7分)证明方程ln x = x -】1 cos 2xdx在区间(0+c)内有且仅有两个 e 0不同实根.七、(本题满分6分) 问，为何值时，线性方程组rX1 x3 4x1 x, 2x3 = 26

14、x1 x2 4x3 = 2,；., 3有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分)假设为n阶可逆矩阵a的一个特征值，证明-为A的特征值.&为A的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分)设半径为R的球面的球心在定球面 x2 y2 z2二a2(a 0)上 问当 TOC o 1-5 h z R为何值时，球面v在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)已知随机事件 A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率 P(B|A)=0.8，则和事件 AU B 的概率 P(AU B) =.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次

15、，其命中率分别为 0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程x x 0有实 根的概率是.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立,且 X服从均值为1、标准差(均方差)为、2的正 态分布,而丫服从标准正态分布.试求随机变量Z = 2 X - Y - 3的概率密度1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横 线上) x = -t +2(1)过点M (1,2 _1)且与直线y =3t _4垂直的平面方程是k z = t 1设a为非零常数，则lim( )x =.x a1

16、1X1设函数 f (x)= 1222积分 dx ( dy的值等于.已知向量组a =(1,2,3, 4), a2 =(2,3, 4,5), a3 = (3,4,5,6), a4 = (4,5,6,7),则该向量组的秩是.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)e丄(1)设f (x)是连续函数，且F (x)f (t)dt,则F (x)等于-e f (e)_ f (x)f (e) f (x)xx(D)e_ f(e_) f (x)已知函数f (x)具有任意阶导数，且(x)=f(X)2,则当n为大于2的正整数时，f

17、 (x)的n阶导数f(n)(x)是(A) n !f(x)n1(B) nf(x)n 1(C) e f(e) - f(x)(C)f(x)2n(D)n!f (x)2n设a为常数 则级数Sin( na)心 n(A)绝对收敛(C)发散(4)已知 f(x)在 x=01 Zn(B)条件收敛(D)收敛性与 的某个邻域内a的取值有关连续，且f (0) = 0,lim= 2,则在点 x =o 处7 1 - COS x(A)不可导f(0) = 0(C)取得极大值(5)已知0、0是非齐次线性方程组AX对应其次线性方程组ax = o的基础解析AX = b的通解(一般解)必是1 - 02(B) k1 a k2( a -

18、a2)2(A) k1 a1 k2( a a)(C) k1 a - k2( 0 - 02)第f (x)(B)可导，且(D)取得极小值=b的两个不同的解，a、a是,K、k2为任意常数，则方程组(D) ki aik2( & -侵)*三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)i(1) 求 .oIn (1 x) (2 -x)2dx.-，1-1001f2134101-100213B =001-1,c =0021-0001 _1 10002 一设z = f (2 x - y, y sin x),其中f (u, v)具有连续的二阶偏导数-2z，求-x:y(3)求微分方程y 4y 4y =e的通解(一般解).

19、四、(本题满分6分)求幕级数 (2 n的收敛域，并求其和函数五、(本题满分8分)求曲面积分|二 yzdzdx - 2dxdyS其中S是球面x2 y2 z2 = 4外侧在z亠o的部分.且矩阵A满足关系式A(E C JB) C= E其中E为四阶单位矩阵，C 表示c的逆矩阵，C表示C的转置矩阵将上述 关系式化简并求矩阵 A.八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型f = x； 4xf 4x| -4x1x2 - 4x1x -8x2x3成标准型.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数f (x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导，且 f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点使得f

20、( J . 0.九、(本题满分8分)质点P沿着以ab为直径的半圆周，从 点A(1,2)运动到点B(3, 4)的过程中受变力 F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之 间的距离,其方向垂直于线段 OP且与y轴 正向的夹角小于-求变力:对质点P所作的2功.七、(本题满分6分) 设四阶矩阵十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线 上)已知随机变量x的概率密度函数f (x) rfe；-： x ： ：则X的概率分布函数 F (x) =.设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件Ah的概率P(AB)=.已知离散型随机变量X服从

21、参数为 2的泊松(Poisson )分布,即2甘PX二k二，k = 0,1,2，川，则随机变量z =3X -2的数学期望k!E(Z)=.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(X ,Y)在区域D : 0 :： X :： 1, y -1 2 2线 的 方 程 是 =2.则过h且平行于12的平面11已知当X )0时,(1 ax2)3cos X -1是等价无穷小，则常数a =._52(5)设4阶方阵A =0_0200 1100，则A的逆阵A丄01-2011 一,D1是D在第一象限的部分，则11 (xy cos x sin y) dxdy 等于D(A) 2 1 icosxsin ydxdyD1(C) 4

22、 1 (xy cos xsin y)dxdyD1(5)设n阶方阵a、b、C满足关系式 则必有(A) ACB = E(C) BAC = E(B)2 1 xydxdyD1(D)0ABC二E ,其中E是n阶单位阵(B) CBA = E(D) BCA = E二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个 选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)(1)求 lim (cos、x)2.设n是曲面2x2 3y2 z2 =6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u =亠匕一也 在点p处沿方向幕的方向导数y 绕z轴旋

23、转一周而|x =0(311 (x2 y2 z)dv,其中是由曲线成的曲面与平面Z =4所围城的立体.四、(本题满分6分)过点0(0, 0)和A(二，0)的曲线族y =asin x(a . 0)中，求一条曲线L,使 沿该曲线O从到A的积分(1 + y3)dx+(2x+y)dy 的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x)=2 x(-1乞展开成以2为周期的傅里叶级数，并oO d由此求级数V丄的和芯n2八、(本题满分6分)设a是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明a+E的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线 ，其上任一点p (x, y)处的曲率等于此 曲线在该点的法线段 PQ长

24、度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点 (1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线 上)若随机变量X服从均值为2、方差为二2的正态分布，且P2 ： X : 4 = 0.3,贝V P X : 0 =随机地向半圆 0 ： y ： . 2ax - x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x轴的夹角小于匸的概率为 .4十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,Y)的密度函数为六、(本题满分7分)设函数f (x)在0,1上连续,(0,1)内可导，且3 2 f (x)dx二f (0),证明

25、3七、已(本题满分8分)知a =(a -a - aa -1a 2及B = (1,1,b3,5).(1)a、b为何值时,B不能表示成 a, a2, a, a4的线性组合?在(0,1)内存在一点 C,使f(C) =0.f (x, y)二2e2y)求随机变量Z = X - 2Y的分布函数x 0, y 0 其它a、b为何值时，有a,a2,a3,a4的唯一的线性表示式？写出该表示考研数学一历年真题汇编考研数学一历年真题汇编(B)条件收敛(D)收敛性与a有关1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)级数宀(_1)n(1 cos)

26、(常数a . 0)n 二n(A)发散(C)绝对收敛在曲线X = t, y二-t2, Z = t3的所有切线中，与平面x2yz = 4平行的(1)设函数y =y(x)由方程ex旳+cos(xy) =0确定，则dy =dx切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在设f (x) = 3x3 X2|x ,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为2 2 2(2)函数 u二丨n(X yZ2 )在点 M (1, 2厂2)处的梯度gradu m(A)0(B)1(C)2(D)3设f (x)=E-1x _0 x2 0 : x _ 二,则其以2二为周期的傅里叶级数在点(5)要使X =兀处收敛于(4)微

27、分方程y y tan xa2biIII_anbi矩阵a的秩r(A) =_0飞=1都是线性方程组AX二0的解,只要系数矩阵A设A =a1b2a2b1IIIanb2二 cosHIIIIHIIIIx的通解为y =甜1a2bnIIIanbn 一(A)-2121,其中 ai =0,bi =0,(i 二 1,2|ll n )则(B)2_0-10 1 -1(D) 4 -2 -20 1 1 一二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项 中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)21 丄(1)当x. 1时，函数 匚二1的极限x -1(A)等于2(B)等于0(C)为：

28、(D)不存在但不为：(本题共3小题,每小题5分，满分15分)(1)求讪沖写 T 1JXx22设z = f (e sin y, X y ),其中f具有二阶连续偏导数f 2 亠Q z ，求 -设f(X)二X 0 x 03，求十 f (x2)dx.四、(本题满分6分)求微分方程 y 2y3y = ex的通解.(2 ) a能否由a, a, a线性表出？证明你的结论九、(本题满分7分)设3阶矩阵a的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3,对应的特征向量依次为1其中叮(X)二.-t2X -,2-aOdt)五、(本题满分8分)计算曲面积分(x3 - az2)dydz (yaf) dzdx ( z

29、ay) dxd,其 中y匕为上半球面Z二. a2 -X2 -y2的上侧六、(本题满分7分)设 f (x) ：0, f(0) =0, 证 明 对 任 何x1 0,x2 0,有f(xi X2) ： f (xjf (X2).七、(本题满分8分)，、呻 彳 T 彳、一一在变力= yzi zxj xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面222斗二 芯 二=1 上第一卦限的点M ( ： , J,问当：、取何值时，力F所做 a b c的功W最大？并求出W的最大值八、(本题满分7分)设向量组a , a2, a3线性相关，向量组a, a3, a4线性无关，问： a能否由a, a线性表出？证明你的结论T石=1

30、,“2,& =3,又向量2I480,求x(t).四、(本题共2小题,第小题6分，第小题7分，满分13分)设直线I: x y b =0 在平面二上,而平面二与曲面Z 仝 寸相彳 x +ay -z -3 =0切于点(1, -2,5),求a,b之值.设函数f (u)具有二阶连续导数，而z二f (exs iny)满足方程二 e2x z,求 f (u).五、(本题满分6分)设 f (x)连续严(x) = 0 f (xt)dt,且= A(A 为常数)，求 (X)并讨论;(x)在x =0处的连续性.设 a1 =0,务.1 (an 丄)(n =1,2|),证明2an(1) lim an 存在.x-CqQ 级数

31、7 (旦-1)收敛.n A an 1七、(本题共2小题，第小题5分,第(2)小题6分，满分11分)(1)设B是秩为2的5 4矩阵,a =1,1,2,3丁 , a?二-1,1,4,-1T, a =5, -1,-8,9丁 是齐次线性方程组 Bx = 0的解向量，求B x = 0的解空间的一个标准正交基.112-12已知1是矩阵A = 5a3的一个特征向量_1b一2 一试确定a,b参数及特征向量E所对应的特征值问a能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分5分)设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为 B.证明B可逆.求 AB 二九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3

32、个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X5的分布律、分布函数和数学期望.十、(本题满分5分)六、(本题满分8分)设总体X的概率密度为f (x)二匕 1) X :110其它n的简单随机其中d _1是未知参数，XX2，川，Xn是来自总体X的一个容量为样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求二的估计量1998年全国硕士研究生入学统一考试2 2(C)2xf (x ) (D) -2xf(x )数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)1 x 1 -x -2设z二1 f (xy) y (x y), f

33、 具有二阶连续导数 x-2:z HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 23函数f(x)=(x x 2)x - x不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0已知函数y = y(x)在任意点x处的增量Ay= 竺+ot ,且当Axt 01 + x2时，:.是AX的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于H迟(A) 2 二 (B)二(c)e4(D)二 e4设矩阵b g.x .:y2 2设l为椭圆 11,其周长记为a, TOC o 1-5 h z 43 HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 22J(2xy

34、+ 3x +4y )ds =.设a为n阶矩阵，A丰0, A *为a的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵 若a有* Q特征值 人则(A ) + E必有特征值 .设平面区域d由曲线及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变x量(X , Y)在区域D上服从均匀分布，则(X ,Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处 的值为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项 中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)d *xc c设 f (x)连续,则tf (x2 -t2)dt =dx 0-a2bjc2a3tbC3 一是满秩的，则直线x a3a 一 a2y b3z C

35、3bi b2C1 C2与直线x _ qy _ bz Ca2 _ a3b b3c厂C3(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(5)设A, B是两个随(D)异面机事件,且0 P(A)c1,P(B)0,P(B |A)= P(B| A),则必有(A) P(A| B)二 P(A| B)(B) P(A| B) = P(A| B)(C)P(AB)二 P(A)P(B)(D) P(AB ) = P(A)P(B)三、(本题满分5分)求直线l := 在平面二：x- y 2z-1二0上的投影直线I。的 1 1-1方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程2 2(A) xf (x )(B) -xf (x )四、(

36、本题满分6分)确定常数扎使在右半平面 x0 上的向量 A(x, y) =2xy(x4 y2) i -x2(x4 y2) j 为某二元函数 u(x, y)的梯度，并求 u(x, y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度V之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静 止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为：;仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k (k . 0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y = y (v).(1)试证存在x(0,1),使得在区间

37、O,Xo上以f(Xo)为高的矩形面积，等于在区间x,1上以y二f (x)为曲边的曲边梯形面积.又设f (x)在区间(0,1)内可导，且f(x) .-？他，证明中的x.是唯一x的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz二4可以经过正交变换六、(本题满分7分)2计算g竺粋泸，其中幼下半平面上侧，a为大于零的常数七、(本题满分求limnsin nn 16分)2 二 sind 川.sin八、(本题满分n 125分)设正向数列an单调减少: :- 1，且送(-Xan发散，试问级数送()n是否 n Tn # a*1收敛？并说明理由.九、(本题满分6分)设y =

38、f (x)是区间0,1上的任一非负连续函数化为椭圆柱面方程2 4 2 = 4,求a,b的值和正交矩阵P.十一、(本题满分4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组A kx = 0有解向量a且A = 0.证明：向量组a, A a,川，AkJ a是线性无关的.十二、(本题满分5分) 已知方程组axl -耳2%2 川 L 印刘乂?.二 0 a21 x1 a22x2a2,2nx2n =an1X1 an2X2 W an,2nX2n 二 0的一个基础解析为(bn, b)2 , 111,b1,2n),(匕21,匕22 ,川，d,2n ) ,111 ,( bn1,bn2 川,bn,2n).试写出线性方

39、程组351.68962.0301361.68832.0281biiyi - %丫2 川 bl,2ny2n =0b21 yi b22y2 川丨 b2,2ny2n = 0Ibniyi+bnzHII+bnMn的通解，并说明理由十三、（本题满分6分）设两个随机变量X，丫相互独立，且都服从均值为0、方差为-的正态分布，求随 2机变量 X-Y 的方差十四、（本题满分4分）从正态总体N （3.4,62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大 附:标准正态分布表e_2 dtz1.281.6451.962.33(X)0.9000.950

40、0.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得 平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试 全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t分布表Pt(n)乞tp(n) =p0.950.9751999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷x 0_x_1Ia000设 f (x)1, S(x) -一 二 an cos n二 x,-： : x ：,! 2 2x xc 12 心I 2、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)d X2 dx 0 sin(x t)2

41、dt=(3) y 4y =e2x 的通解为 y =15其中务=2 .L f (x)cos xdx (n = 0,1, 2|l|),则 S(_2)等于(A)2(C)34(4)设a是m n矩阵,B是n m矩阵，贝U(B)丄2(D)94设n阶矩阵a的元素全为1,则a的n个特征值是 .(5)设两两相互独立的三事件 A, B和C满足条 件:ABC = _ ,P(A) =P(B) =P(C)丄2(A)当m . n时,必有行列式| AB E 0列式| AB |=0(B)当m n时,必有行且已知 P(aU bUC) 9,则 P(A)=.16二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项

42、 中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f (x)是连续函数，F(x)是f (x)的原函数，则(A)当f (x)是奇函数时，F (x)必是偶函数(B)当f (x)是偶函数时,F(x)必是奇函数(C)当f (x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 (D)当f (x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数1 COSX cx 0设f(x) = Vx，其中g(x)是有界函数贝y f (x)在x =0处2A g(x) x 兰 0(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)当n .m时,必有行列式| AB |= 0(D)当n . m时,必有行列式| AB |=0(5)设两个

43、相互独立的随机变量则1(A) P X 丫 _ 0=21(C) PX -丫 _0=三、(本题满分6分)(C)连续，但不可导(D)可导X和丫分别服从正态分布 N (0,1)和N (1,1),1(B) P X 丫 _ 1=21(D) P X _ 丫 乞 1=设y = y(x), z = z(x)是由方程z = xf(x y)和F(x,y,z) = 0所确定的函数 其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求史.dx的上半部分，点P(x,y,z). S,二为S在点P处的切平面，讥X, y, z)为点O(0,0,0)5J-c 0四、(本题满分5分)求 I = JL(exsi n y b(x + y

44、)dx +(ex cos y ax)dy,其中 a,b 为正的常数,l为从点a(2 a, 0)沿曲线y2ax - x2到点o (0, 0)的弧五、(本题满分6分)设函数y(x)(x _0)二阶可导且y(x) .0, y(0) =1.过曲线y = y(x)上任意 一点P(x, y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为 S,区间0, x上以y二y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1 S2恒为1,求曲线y =y(x)的方程.六、(本题满分7分)2 2论证:当 x -0 时,(x T)lnx =(xT).七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥，用缆绳将抓斗放入井

45、底，抓起污 泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳 每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3m/s, 在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉. 现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：1N 1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛，秒，焦. 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)到平面二的距离，求dS.s p(x. y, z)九、(本题满分7分)兀设 an = .4tannxdx:DO A求- （an - an .2）的值.n4 n00试证:对任意的常数 .0,级数7色收敛. n儿十、(本题满分cl,其行列式I

46、 A |= _1,又a的伴随矩阵A *有 a个特征值-0,属于0的一个特征向量为a (-1,-1,1)丁，求a,b,c和0的值.(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m n实矩阵，B T为B的转置矩阵，试证 BT ab为正定矩阵的充分必要条件是b的秩r(B) = n.十二、(本题满分8分)设随机变量X与丫相互独立，下表列出了二维随机变量 (X,Y)联合分布率及关于X和关于丫的边缘分布率中的部分数值 ，试将其余数值填入表中的空白处.p（x = x）= p*八、(本题满分7分)设X的概率密度为体X的简单随机样本6xf（xx） OV x6,Xi,X2川，Xn是取自总0其它(1)求31的矩估

47、计量？求？的方差D(?).2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)L2x -x2dx=.曲面x2 +2y2 +3z2 =21在点(1,2, 2)的法线方程为 .微分方程xy +3 y = 0的通解为 .j 21 TxJ已知方程组 2 3 a+2 x2卜3无解，则a =.1 a-2比小1设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1, A发生B不发生的概9率与B发生A不发生的概率相等，则P(A) =.zdS = 4 xdSSd11 xyzdS 二 4 11 xyzdSsq(3)设级数y Un收敛,则必收敛的级数为n

48、 二(A) & (1)巴n 4nQO(C) (u 2n J _ U2n)n J(B) & UnnJ0(D) (Un Un1)设n维列向量组a,III, am(m n)线性无关，则n维列向量组 商川，价线性无关的充分必要条件为向量组a|ll, a可由向量组3川，歸线性表示向量组3川，3可由向量组oaHl , am线性表示向量组 和丨，a与向量组3川，3m等价二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项 中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f (x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且f (x)g (x) - f (x)g (x) : 0 ,

49、则当a : x : b时，有f (x)g(b) f (b)g(x)f (x)g(a) f (a)g(x)f (x)g(x) - f (b)g(b)f (x)g(x) - f(a)g(a)设S: x2 y2 z2 =a2(z亠0),0为S在第一卦限中的部分，则有(A) !xdS =4 . xdS(B) . ydS =4 . xdSSS1SS1(D)矩阵A二(a,lll, am)与矩阵B二(3,川,策)等价(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量.=X Y与r =x -丫不相关的充分必要条件为2 2 2 2(A)E(X) = E(Y)(B)E(X )-E(X) =E(Y)-E(Y

50、)2 2 2 2 2 2(C)E(X) = E(Y) (D) E(X ) E(X) = E(Y ) E(Y)三、(本题满分6分)2 ex41 exsin x).四、(本题满分5分)设 z = f (xy, -)g() ，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数 y ycz:x :y五、(本题满分6分)计算曲线积分I = f xdyyC2x ,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆 b 4x2 +y2周(R .1),取逆时针方向六、(本题满分7分)设对于半空间x 0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有Qfxf( x) Cyd-z x(yf) x *z2(exzd 其中函数 f (x)在(0,

51、址)内具有s连续的一阶导数，且lim f(x) =1,求f(x).X0十七、(本题满分6分)彳n求幕级数V1的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性n#3n +(-2)n n八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，P。是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到p距离的平方成正比(比例常数k 0),求球体的重心位置九、(本题满分6分)设函数 f (x)在0,兀上连续，且 f f (x)dx = 0, J： f (x)cos xdx = 0.试证：在(0,二)内至少存在两个不同的点2,使f ( 1)= f( 2)=0.十、(本题满分6分)_10设矩阵A的伴随矩阵0 00 010 ,且AB

52、A=BA+ 3E，其中0 8E为4阶单位矩阵，求矩阵B.(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟6练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐 新、老非熟练工经过培 训及实践至年终考核有 2成为熟练工设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工5所占百分比分别为 人和yn,记成向量屏丿x-1 匕(1)求 与lyn寺丿(2)验证n Q/ 飞Xn的关系式并写成矩阵形式/ 、Xn*A=A lyn* 丿f 飞Xn1是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应当2时，求12十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0 ： p ：1),各产品合格与否相对独

53、立,当出现1个不合格产品时即停机检修设开机后第1次停机时已生产了的产品 个数为X，求 X的数学期望E(X )和方差D(X ).十三、(本题满分6分)2e_2( x -J x - T1设某种元件的使用寿命x的概率密度为 f(x;R =.,其中0 x 9-0为未知参数.又设Xi,X2,|l|,Xn是X的一组样本观测值，求参数二的最大似 然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)设y =ex(asinx bcos x)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.r =x2 +y2 +z

54、2，则 div(grad r)工上)=. HYPERLINK l bookmark311 o Current Document 01 _y交换二次积分的积分次序：Jdy J? f (x, y)dx =.设 A2 + A 4E =0，则(A 2E)=.D(X) =2 ,则根据车贝晓夫不等式有估计PX E(X)兰2兰二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图形如右图所示，贝U y = f (x)的图形为设f (x, y)在点(0, 0)的附近有定义，且

55、 fx(0,0) = 3, f y(0,0) = 1则(A) dz |(0,0)=3dx + dy曲面 z = f (x,y)在(0, 0, f(0, 0)处的法向量为3,1,1曲线- z= f(x, y)在(0, 0, f (0, 0)处的切向量为1,0,3I y = 0曲线 一 zf(x, y)在(0, 0, f (0, 0)处的切向量为3, 0,1I y = 设f (0) = 0则f (x)在x=0处可导二(A) lim 厲 cS h) 存在(B) lim存在t h2M0h设 f(x)=z = h(t)2 22(x y )h(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时),已知体积减少的速(C

56、)iim f(h snh)存在(D) lim f(2h) f(h)hTITTh存在111(B)当 lim f (x)存在1足初始条件y(0) =1,y(0) =3的特解是时必有lim f (x) =0 xytc(C)当！im.f(x)二 0 时必有 lim f (x) = 00+(D)当!imf(x)存在时，必已知实二次型QQQf (xX2, X3) =a(X! x2 x3) 4x3x2 4x3x3 *4X2X3经正交变换可化为标有 lim f (x) = 0.x)0亠设有三张不同平面，其方程为a,x b,y c, d,( 1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 为2,

57、则这三张平面可能的位置关系准型f =6y；,则a= TOC o 1-5 h z 22(5)设随机变量 X )，且二次方程y 4y X =0无实根的概率为0.5,则卜=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项 中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数f (x, y)的四条性质：f (x, y)在点(X,y)处连续,f (x,y)在点(X,y)处的一阶偏导数连续，f (X, y)在点(X0,y。)处可微，f (x,y)在点(X0,y。)处的一阶偏导数存在则有:设X和丫是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fX (x)和

58、彳丫卜),分布函数分别为Fx(x)和FY(y),则(A) fx(x) + fy(y)必为密度函数(B) fx(x) fy(y)必为密度函数(C) FX (x) + Fy (y)必为某一随机变量的分布函数(D) FX (x) Fy (y)必为某一随机变量的分布函数三、(本题满分6分)设函数f (x)在x =0的某邻域具有一阶连续导数，且f (0) f (O) = 0 ,当h ； 0 时，若 af (h) - bf (2h) _ f (0) =o(h),试求 a,b 的值.四、(本题满分7分)已知两曲线y=f (x)与yarcta n x.2二je dt在点(0, 0)处的切线相同.求此切线的方程

59、，并求极限lim nf (2).n_n五、(本题满分7分)计算-二二重积 分emax x2,y2dxdy,D其中D =( x, y) | 0 x 1,0 y0)内的有向分段光 滑曲线，起点为(a,b ),终点为(c, d ).记 I = 1 1 y2 f (xy)dx 笃y2 f (xy) Tdy , L yy证明曲线积分I与路径L无关当ab = cd时，求I的值.七、(本题满分7分):3nx(1)验证函数y(x) ( -： ：x H )满足微分方程n =0 (3n)!3nxy y，y=ex.求幕级数y(x)的和函数.n(3n)!2 2D = ( x, y) | x y - xy空75,小山的

60、高度函数为2 2h(x, y)二 75x y xy .设M (x, y)为区域d上一点，问h(x, y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为 g(x0,y),写出g(X0,y)的表达式.现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x, y)达到最大值的 点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵 A = ( a1, a , a3, a) , a1, a2, a3, a均为四维列向量 ，其中a, a, a线性无关，a = 2a2 - a.若+ a2 + a + a4 ,求线性方程组A