几何体的外接球与内切球

1、学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除几何体的外接球与内切球 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等；2、正多面体的内切球和外接球的球心重合；3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合；4、体积分割是求内切球半径的通用做法；一、外接球（一）多面体几何性质法1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,就这个球的表面积是A. 16 B. 20 C. 24 D. 32小结 此题是运用“ 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径” 这一性质来求解的 .2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱

2、的长分别为 1,2,3,就此球的表面积为；（二）补形法1、如三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3 ,就其外接球的表面积是 . a , PC2、设P A B C 是球 O 面上的四点 , 且PA PB PC 两两相互垂直 , 如 PAPB就球心 O到截面 ABC 的距离是 .小结 一般地, 如一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、 、c,就就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R,就有 2R a 2b 2c 2. 3、 三棱锥 O ABC 中,OA OB OC 两两垂直,且 OA OB 2 OC 2 a ,就三

3、棱锥OABC 外接球的表面积为（）24 a2PA平面A2 6 a B2 9 a C2 12 a D4、三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上,其中ABC 是正三角形ABC,PA2AB6就该球的体积为（） D. 643A. 163 B. 323 C. 48学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考 答案及解析：10.B ,如有侵权,请联系网站删除点评：此题考查球的内接体与球的关系,考查空间想象才能,利用割补法结合球内接多面体的几何特点求出球的半径是解题的关键5、如图的几何体是长方体ABCDA B C D 的一部分,其中AB AD3, DD 1BB2 cm就该几何体的外接球的表面积为A 2 11

4、cm B 2 22 cm C 11 222 cm D2 11 22 cm3答案及解析：12.【学问点】几何体的结构. G1 RABCDA BC D 的外接球,而如长方体B 解析：该几何体的外接球即长方体ABCDA B C D 的外接球半径为R ,就长方体ABCDA B C D 的体对角线为2R,所以2R 2322 32222211,所以该几何体的外接球的表面积2 22 cm ,2学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考 应选 B. ,如有侵权,请联系网站删除【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体ABCDA B C D 的外接球的关系,进而得结论 . 6、一个几何体的三视图如下列图,其中正视

5、图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,就该几何体的外接球的表面积是（）A 12 B 4 C 3 D 12 答案及解析：14.考点： 由三视图求面积、体积分析： 三视图复原几何体是四棱锥,扩展为正方体,它的体对角线,就是球的直径,求出半径,解出球的表面积解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥,记作S ABCD,其中 SA面 ABCD面 ABCD为正方形,将此四棱锥仍原为正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以 2r=S 球=4 r 2=4 =3 答案： C 点评： 此题考查三视图求表面积,几何体的外接球问题,是基础题学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考（三）寻求轴截面圆

6、半径法,如有侵权,请联系网站删除1、正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ,SBCS、 、 、C、D都在同一球面上,就此球的体积为 . DO1A图 3小结依据题意, 我们可以挑选正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径. 此题供应的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过查找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来讨论. 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.2、求棱长为a 的正四周体P ABC 的外接球的表面积3、三棱柱 ABC A1B1C1中, AA1=2 且 AA1平面 ABC, A

7、BC是边长为 的正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,就这个球的体积为（）A 8BCD 8答案及解析：7.C 考点：球的体积和表面积专题：运算题；空间位置关系与距离分析：依据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的体积解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除由于 ABC是边长为的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为：1；由于 AA1=2 且 AA1平面 ABC,所以外接球的半径为：r=所以外接球的体积为：V= r3= （）3=应选： C点评：此题给出正三

8、棱柱有一个外接球,在已知底面边长的情形下求球的体积着重考 查了正三棱柱的性质、正三角形的运算和球的体积公式等学问,属于中档题8.4、已知三棱锥ABCD中,ABACBDCD2,BC2AD,直线 AD 与底面BCD 所成角为3,就此时三棱锥外接球的体积为 D. 8 22 C. 4 2A. 8 B. 333答案及解析：11.D （四）球心定位法1、在矩形 ABCD 中,AB4,BC3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二ADBC面角 BACD,就四周体ABCD的外接球的体积为A.125 12 B.125 C.125 D.125963O图42、如下列图是一个几何体的三视图,就这个几何体外接球的表面

9、积为学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除3、三棱锥 PA. 8B. 16C. 32D. 64ABC 中,底面ABC 是边长为2 的正三角形,PA 底面 ABC ,且PA2,就此三棱锥外接球的半径为（）21A2 B5C 2 D34、如图,在三棱锥 A BCD中, ACD与 BCD是全等的等腰三角形,且平面 ACD平面BCD, AB=2CD=4,就该三棱锥的外接球的表面积为BC答案及解析：D27.E学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除F考点：球的体积和表面积；球内接多面体G专题：空间位置关系与距离H分析：取AB, CD中点分别为E,F

10、,连接 EF,AF, BF,求出 EF,判定三棱锥的外接球球心 O在线段 EF上,连接 OA,OC,求出半径,然后求解表面积I 解答：解：取 AB,CD中点分别为E,F,连接 EF,AF,BF,由题意知 AFBF, AF=BF,EF=2,易知三棱锥的外接球球心O在线段 EF上,连接 OA,OC,有 R 2=AE 2+OE 2,R 2=CF 2+OF 2,求得,所以其表面积为J故答案为：KL点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关运算问题,对考生的空间想象才能与运算求解才能以及数形结合思想都提出很高要求,此题是一道综合题,属于较难题M28.N29.5、在三棱锥 A BCD 中,底面 BCD 为边

11、长为 2 的正三角形,顶点 A 在底面 BCD上的射影为 BCD 的中心,如 E 为 BC 的中点,且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为O 2 2 ,就三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 _P答案及解析：Q29. 6R二、内切球问题1、一气球（近似看成球体） 在不变形的前提下放在由长为 学习资料2 的 12 根木条搭成的正方体中,学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除该气球球表面积最大是_；求棱锥的内切球的表面积；.2、正三棱锥的高为1,底面边长为2 63、 三棱锥 ABCD的两条棱ABCD6, 其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径4、如图, 已知球 O是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球, 就平面 ACD1截球 O的截面面积为 ABCD答案及解析：4.C 考点：截面及其作法专题：空间位置关系与距离分析：依据正方体和球的结构特点,判定出平面ACD1是正三角形,求出它的边长,再通过图求出它的内切圆的半径,最终求出内切圆的面积 学习资料学习资料收集于网络,仅供学习和参考,如有侵权,请联系网站删除解答：解：依据题意知,平面 ACD1是边长为 的正三角形,且球与以点 D为公共点的三个面的切点恰为三