冲刺班教案综合应用及证明

1、综合应用及证明 前言在历年的试卷中除去前面十二题挑选和填空题以及八题运算题,一般都有四题比较综合的 解答题和证明题,分值一共是 38分；这些题的正确解答与否将直接关系到高数能否取得高 分；从试卷的运算量上来看,这部分题目的运算量其实都不大,关键是对基础学问的综合 运用才能的考查；经过分析,我们不难发觉这四道题中仍是有比较固定的格式,起码我们可以知道有三类题是历年来必考的；第一类是对导数应用的考查（极值、最值及凸凹等）,其次类是定积分应用的考查（围成的面积及旋转体的体积）,第三类是不等式证明；除 了上述三类,一般仍会有题证明题,多是等式证明（积分等式证明或二重积分等式证明）,当然也可能是一道综合

2、性更强的题目,全面考查对微积分中函数连续、可导、积分以及 微分方程等相关学问的彼此间的联系；对于固定格式类型的题目我们必需做到娴熟把握解 题方法和步骤,剩下的类型只能依靠同学们在平常学习中积存的体会和技巧,其实做到这 点并不难,归根溯源,只要我们对基本概念深刻懂得和把握,无论题目怎么变化都可以应 付自如；下面我们将这部分内容大致分为六个方面逐一深化争论；一、导数的应用导数的应用可以大体上分为三种题目,第一种是以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主 要目的的解答题；其次种是实际问题求最值,也就是我们通常意义上的“应用题 ”,一般都 需要设未知数,建立目标函数,但是这种题只是在 05年之前显现过,近

3、几年没有显现；第 三种是结合其它类型的题目,如定积分的应用等等,一般是在题目中显现待定参数,为了 达到某种量（距离、长度、面积以及体积等等）最大或最小；另外利用导数的几何意义（切线的斜率）也是可能显现的；当然,导数的应用也可以显现在挑选题或填空题中,仅单 独考查某个函数的单调区间、极大值或微小值、凸凹区间、拐点以及渐近线等等；求函数的单调区间及极值问题是同学们在高中就学过的内容,函数的凸凹及拐点只是借助 了二阶导数信息,对这些基本方法的把握留给同门们自己复习,我们下面提几点解题时的 留意事项和技巧；1. 以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主要目的的解答题 定义域,单调区间,不行导点,列表,第一

4、充分条件,其次充分条件,凸凹及挂点最值 逆向判定反求参数问题2. 实际问题或其它类型求最值 设未知数,建立目标函数,一阶导数,驻点（只有一个）,其次充分条件,极值,单峰原 理,最值3.导数的几何意义导数的几何意义我们都知道是曲线在某点处切线的斜率,即,在历年试卷中有关曲线的切线构成的综合题仍是常常显现的；下面我们具体争论其中不同的情 形；求曲线在某点处的切线方程切线第一是直线,所以我们一般采纳的是直线方程的“点斜式 ”,即；此类型题可以分为两小类：第一类是已知曲线的方程,即函数解读式,求在 处的切线方程,这种最为简洁,求出导数 后直接代入点斜式公式即可；其次类是已知曲线的方程,即函数解读式,但

5、是并不告知我们切点,而是告知我们切线通过其它的点,当然该点不在曲线上,然后要求我们求出切线的方程；对于其次类明显并第一类要复杂一些,采纳的方法一般有两种,一种是假设切点坐标1 / 10 就是,这里我们要把它们看成是常数,得到切线的斜率为,然后再利用求导得到,这两个 是同一个,所以有,解这个关于 的方程就可以得出具体的 的值了,接下来就回到了第一类的那种情形,便可以求出切线的方程了；另外一种方法是假设切线的斜率为,已知点 虽然不在曲线 上,但是也是切线上的点,从而可以利用点斜式求出切线方程,当然此时 是待定的参数,然后我们再利用曲线和切线只有一个交点这一特性,把切线方程和曲线方程联合成一个方程组

6、,于是这个方程组的解肯定是唯独的,把其中一个方程代入到另一个方程中,利用 求出参数 即可；相比较而言,虽然其次种方法比较简洁,求出 后直接就能写出切线的方程,也简洁把握,但是这种方法仍是具有很大的局限性的,究竟只有一元二次方程才具有所谓的“”,因此第一种方法是比较常规的方法；结合切线做其它相关的运算比如截距,与其它曲线围成的封闭图形的面积或旋转体体积,或是给出任意点处切线的斜率,从而建立微分方程求解分清常量和变量许多时候我们需要设一些未知数来求解为题,但是虽然是未知的,在建立有关的等式中,又要把他们看作是已知的,这一点要区分开来；4.历年试卷讲解2022年21、过 作抛物线 的切线,求（ 1）

7、切线方程；（2）由抛物线、切线、以及 轴所围平面图形的面积；（3）该平面分别绕 轴、轴旋转一周的体积；解：（ 1）；（ 2）；（ 3）,2022年24、一租赁公司有 40套设备要出租；当租金每月每套 200元时,该设备可以全部租出；当租金每月每套增加 10元时,租出的设备就会削减 1套；而对于租出的设备,每月需要花20元的保护费；问租金定位多少时,该公司可获最大利润？解：设每月每套租金为,就租出设备的总数为,每月的毛收入为：,保护成本为：.于是利润为：比较、处的利润值,可得,故租金为 元时利润最大 . 2022年24、从原点作抛物线的两条切线,由这两条切线与抛物线所围成的图形记为 S；求（ 1

8、）S的面积；（ 2）图形 S 绕 轴旋转一周所得的立体体积；2022年26、已知某厂生产 件产品的成本为（元）,产品产量 与价格 之间的关系为：（元）,求：（1）要使平均成本最小,应生产多少件产品？（2）要企业生产多少件产品时,企业可获最大利润,并求最大利润；（此题满分 8分）2 / 10 （1）设生产件产品时,平均成本最小,就平均成本（件）（2）设生产,件产品时,企业可获最大利润,就最大利润,. 此时利润（元） . 2022年21、抛物线（1）抛物线上哪一点处切线平行于 轴？写出切线方程；（2）求抛物线与水平切线及 轴所围平面图形的面积；（3）求该平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积；（9分

9、）解：（ i）切线方程：；（ii）（iii）2022年23、设计一个容积为 立方 M的有盖圆柱形贮油桶；已知单位面积造价：侧面是底面一半,盖又是侧面的一半,问贮油桶的尺寸如何设计,造价最低？（8分）解：设圆柱形底面半径为,高位,侧面单位面积造价为,就有由（ 1）得 代入（ 2）得：令,得：；此时圆柱高. 所以当圆柱底面半径,高为 时造价最低 .2022年23、甲乙二城位于始终线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸 40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距 50公里,两城方案在河岸上合资共建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里 500元和 700元；问污水处理厂

10、建在何处,才能使铺设排污管的费用最省？解：设污水厂建在河岸离甲城 公里处,就,解得（公里）,唯独驻点,即为所求 . 3 / 10 2022年22、设函数的图形上有一拐点 P（2,4）,在拐点 P处曲线的切线斜率为3,又知该函数的二阶导数 求此函数；解：设所求函数为,就有,. 由,得,即 . 由于,故,由,解得 . 故,由,解得 . 所求函数为：.2022年22、已知曲线 过原点且在点（x,y）处的切线斜率等于 2x+y ,求此曲线方程；解：,故、. 通解为,由得2022年22、设函数具有如下性质：、（1）在点的左侧接近单调削减；（2）在点的右侧接近单调增加；（3）其图形在点的两侧凹凸性发生转变

11、；. 试确定常数的值解：,由题意得、,解得2022年21、求曲线 小值；解： 4 2022年21、的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最解：（ 1 ）函数的定义域为,单调减区间为,令得,函数的单调增区间为,极大值为,微小值为. ,曲线在上是凸的,在（ 2）,令,得上是凹的,点为拐点 . ,故函数在闭区间上的最大值（3）由于,为,最小值为. 4 / 10 二、定积分的应用 画图,记公式 三、方程根的争论 1.零点定理（至少有一个根）2.零点定理 +函数单调（有且仅有一个根）3.极值（作图分析,多针对于没有指定区间的题目）原理 :函数连续性、极值的正负性、函数趋向于无穷大时的极限,步骤4

12、.罗尔定理（间接证明）构造5.连续使用零点定理（证明存在两个以上的根,可以使用极值法）6.n次方程最多 n个根7.留意不管是零点定理仍是罗尔定理都是是取不到端点的,即 争论（提高班,P29页22题）,对于端点要单独（2022年） 22、证明：在内有且仅有一个实根；（2022年） 21、证明方程在 -1,1 上有且仅有一个实根；（2022年） 23、设函数在闭区间 0,2（,使得）上连续,且,证明：在开区间上至少存在一点四、不等式证明 1.函数单调性（要求函数具有很强的单调性,且易于求导）原理：有限区间 使用一次：；使用多次：无限区间或,以为例使用一次单调性原理；无穷区间或存在一个无意义的点分区

13、间争论 2.最值（最具一般性的方法,不要求函数具有单调性,只需要求一阶导数）3.微分中值定理（含有增量形式的不等式）4.积分不等式（利用定积分的性质或积分中值定理）5.技巧（划分区间争论、转变不等式形式）的,在处（2022年） 23、设函数在上具有严格单调递减的导数右连续且,试证：对于满意不等式,恒有下式成立：；证明：由拉格朗日定理知：5 / 10 ,由于在上严格单调递减,知,因,故. （2022年） 25、证明：当时,；成立；（2022年） 21、证明：当时,（2022年） 24、求证：当时,（2022年） 24、对任意实数,证明不等式：（2022年） 24、证明：（2022年） 21、证明

14、：当 时,五、等式证明1.定积分（换元法,观看积分上下限的构成）观看积分的上下限,找出其中的增量,理由积分区间可加性分成两个定积分；对其中的某个整体部分进行换元,从而转变定积分的上下限为所要证明的定积分的上下限；利用诱导公式将被积函数变形2.交换二次积分次序 3.其它（2022年） 21、证明：,证明：,并利用此等式求（2022年） 23、设例3. ,并运算的值；证明：由于所以要证明即证明令6 / 10 ,就；当时,；当时,就由于定积分与积分符号无关,所以即原命题成立利用命题结论有六、综合题的构成分析除去我们熟识的固定类型的综合应用及证明题,一道一般的综合题是怎么构成的呢？它又 是如何依据高等

15、数学中的各部分学问进行混合编排的呢？这是我们需要摸索的问题；在这 里只给同学们起个头,针对于历年试卷,期望可以起到抛砖引玉的作用,让大家对一些综 合题的考查做到不再望而生畏；观看历年试卷或是平常做的习题就不难发觉,综合题大都有个共同的地方,那就是依 据函数作为中介和桥梁；函数是我们数学的基础,有了函数才能争论它的各种性质,才能 对它做各种运算；1.由函数引发的学问链 先看下面的表格几何意义导数（可导性）应用（极值或最值）微分方程偏导数函数极限连续积分不定积分应用（面积或体积）（连续性）定积分二重积分变上限积分上述表格简洁地列出了由函数引出的一些学问点,当然并不止这些,但是我们可以从中得 到这样

16、一个结论,就是无论是算极限、导数、积分,仍是判定函数是否连续、是否可导等 等都必需事先给我们函数才可以；上述表格中的各个学问点彼此是相互联系密不行分的,它们之间是可以相互转化的；比如运算某点处的导数,假如不行以使用求导公式,最终可 以利用导数的定义,那么就必需利用函数的极限（左右导数）；利用导数和不定积分之间7 / 10 是一种互逆运算关系,可以给出它们其中的任何一个就可以算另一个；二重积分最终是化成二次积分来求解的,这就跟积分联系在一起了等等；总之,这种情形许多,但是只要把其中的基本概念搞清晰并不复杂；2.一类含有求函数表达式的综合题分析由上面的分析可知,在各种运算中必需有函数才行,说的具体

17、些就是必需知道函数的表达式；但是往往题目中并不直接给出函数的表达式,这样一来所谓“ 综合 ” 的成分便由此产生了；接下来我们来争论一下有哪些方法可以求出函数的表达式；利用常规方法这种方法是中学课本中常见的方法,即我们常说的三种方法：直接代入法、换元法和凑元法；最常见的是已知,题目中需要运算的是的相关运算；不过,这种题型在综合题中已经不多见了,但是在挑选填空题中仍是会常常显现的,而且仍有肯定的解题技巧；这是由于往往并不是依据上述方法求出 再进行相关的运算,比如一些简单的不定积分或定积分的运算就是这样；例如：已知 的表达式,求；已知,求 等等；利用导数与积分之间的关系这种方法实际上跟中在有些时候有

18、相同的地方,题目中告知我们 的原函数是,就；或者说 是 的原函数,就,这里要留意此时求出来的 是含有参数 的,一般题目中仍会告知我们一些条件来确定参数,比如已知；利用微分方程微分方程的解其实就是一个函数而已,所以题目可以事先让我们解一个微分方程得到函数后再做其它的运算；这种类型有的是直接的,即事先给一个明显的微分方程,有的是间接的,比如事先给的是一个含有变上限积分的等式,这种题目我们已经很熟识了,比如,此时方程两边同时关于 求导之后就得到一个微分方程了,而且是一阶微分方程（由于只求了一次导数）；假如等式中含有形如 的项,由于求导时利用的是乘法法就,这样再求导之后仍会剩下变上限积分,那么就再求导

19、一次,于是便显现了二阶微分方程；不管是上述的那种情形,最终都要求出 的具体表达式,由于微分方程求出来的一般都是通解,这样一来就必需找出初始条件来求出不仍有参数的特解,一般都是利用题目中给的条件,或者取变上限积分的上限（为下限值）；利用导数的应用这类题中所涉及的函数一般是直接给出的,但是函数中含有参数；题目中会告知我们函数满意的一些条件,比如在某点处取得极值或为拐点,或者间接的说明在两个区间内的单调性或凸凹性等等,一般都是通过分析得出如干个方程,从而解方程组求出参数；需要留意的是在某点处如何如何本身就包含了函数中存在这一点这个条件；当然,这类题完全可以是一个独立的题目,即本身就是求函数的表达式而

20、不再做其它的计算了；自己建立函数这类题一般是题目中并没有像上述情形那样给出函数 的相关信息,而是通过题目中所给的信息建立一个函数,然后再对这个函数进行相关的运算；比照实际问题中建立所谓的目标函数,之后再对它进行其它运算；又如这几年常常显现在定积分应用中的题目,依据8 / 10 已知条件求出面积或体积,从而得到一个关于面积或体积的目标函数,但是其中是含有参数的,这是由于题目中给的某些条件中就含有了参数,然后再利用导数的应用求出最大值或最小值等等；3.学问点的联系举例我们上面说过了,由函数引出的各种学问点之间是相互联系的,那么它们在考试中又是如何建立起来的呢？下面我们举两个例子,给出题目最终要求解的问题,然后看看它们彼此间是如何联系起来的；求函数表达式 满意一个微分方程得到一个微分方程 依据题目条件建立等式 ；求求函数 表达式 利用导数的应用建立参数满意的方程是一个含有参数的函数 ；求求函数 表达式 利用连续或可导的性质求出参数是一个分段函数,其中含有参数 ；求求函数 表达式（ ）利用分析的方法求出参数已知一个函数的极限值,但是函数中含有参数 像上面的这些形式其实可以写出许多许多,比如再联系到定积分的应用,或者二重积分都可以,无非就是一些排列组合的问题,只要同学们对个部分学问点的相关基本