函数定义域值域表示方法教案

1、函数的概念定义域 基础学问 一、函数的概念 1、函数的定义：设A、B是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合A 中的每一个数x ,在集合 B 中都有唯独确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从为yfx,xA. 2、函数的定义域、值域A到B的一个函数,通常记在函数 y f x , x A 中, x 叫做自变量,x 的取值范畴 A 叫做 y f x 的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 f x x A 称为函数 y f x 的值域 . 3、函数的三要素：定义域、值域和对应法就 . 留意：（1） “y f x ” 是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y g x ”

2、 ；（2） 函数符号 “y f x ” 中的 f x 表示与 x 对应的函数值, 一个数, 而不是 f 乘 x 二、 区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示三、函数定义域的求法1、求函数定义域的一般原就：假如 f x 为整式,其定义域为实数集 R ；假如 f x 为分式,就其定义域是使分母不等于 0 的实数集合；如 f x 是偶次根式,就其定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合；如 f x 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,即交集；f x 0 x 的定义域是 xR x0；x x0；

3、f x log ax a0 且a1的定义域是 f x axa0 且a1的定义域是实数集R . 2、 抽象函数的定义域：函数f x 的定义域是指x 的取值范畴所组成的集合；A ,函数f 的定义域仍是指x 的取值范畴,而不是 的取值范畴；已知f x 的定义域为A ,求f 的定义域,其实质是已知 x 的取值范畴为求出 x 的取值范畴；已知 f 的定义域为 B ,求 f x 的定义域,其实质是已知 f 中的 x 的取值范围为 B ,求出 x 的范畴（值域） ,此范畴就是 f x 的定义域；同在对应法就 f 下的范畴相同, 即 f t , , 三个函数中的 t , x , 的范畴相同 .例题精讲考点一：

4、判定两函数是否为同一个函数例 1、判定以下函数f x 与g x 是否表示同一个函数,说明理由？（4）是（1）f x x0 1；g x 1（2）f x x；g x x2（3）f x 2 x ；f x x12（4）f x x；g x x2解析：（1）不是,定义域不同（ 2）不是,值域不同（ 3）是变式训练： 例 1 试判定以下各组函数是否表示同一函数？2 3 3（1）f x x,g x x；x 1 x ,0（2）f x ,g x x 1 x ;0（3）f x 2 n 1x 2 n 1,g x 2 n 1 x 2 n 1（n N *）；（4）f x x x 1,g x x 2x；（5）f x x 2

5、 2 x 1,g t t 22 t 1解析：（1）不是,值域不同（2）不是,定义域域不同（3）是（4）不是,定义域域不同（5）是考点二：求函数定义域 例 2、求以下函数的定义域（1）f x 2x（2）f x x 2335x 25x23x2（3）f x x 24x5（4）f x 4x23,x1（5）f x log 4x23 （2） 5,0且x1解析：（1）x x2（3）5,11,2（5）,1 41,（4） 2,1考点三：抽象函数定义域的求法例 3、（1）已知函数yfx的定义域为a,b ,求yfx2的定义域 .2b,解析：由于yfx的定义域为a,b,所以在函数yfx2 中,ax从而a2xb2,故y

6、fx2的定义域是a2,b22b2即此题的实质是求ax2b中 x 的范畴 .（2）已知yfx2的定义域是a,b,求函数yfx的定义域 .解析：由于函数yfx2 的定义域是a,b,就axb,从而a2x所以函数yf x 的定义域是a2 ,b2. 变式训练 1：设f x 的定义域是 3,2 ,求函数fx2的定义域 . 解析：要使函数有意义,必需：3x22得：1x22x 0 0 x220 x642函数fx2 的定域义为：x|0 x642.变式训练 :2 ：如函数f x1的定义域是 2,3 ,求yf2x1的定义域 . 解析：0,52考点四：已知定义域求参数的取值范畴例 4、如函数yax2ax1的定义域是一

7、切实数,求实数a 的取值范畴 . R ,必需a解析：2 axax10恒成立,等价于a2a0100a2a4 aa变式训练： 已知函数y3axax413的定义域是R ,求实数 a 的取值范畴 . 2ax解析：依题意,要使函数有意义,必需ax24ax30,要使函数的定义域为方程ax24 ax30无解；当a0时,ax24ax30无解；当a0时,方程ax24ax30的判别式0 ,即4 212a00a34综上可得0a3时,已知函数的定义域为R . 4才能提高例 1、求以下函数的定义域2（1）y x x 1 x ；（2）y x 2 x 15x 3 3解析： x x 1 且 x 0 解析： x x 5 或 x

8、 3 且 x 6例 2、如 f x 2 x 3的定义域为 A , x a 12 a x a 1 的定义域为x 1B ,当 B A 时,求实数 a 的取值范畴 . 解：由题意得 A , 1 1, ,B 2 , a a 1a 1 1,2 a 1 a 2 或 a 1, 又 a 1 a , 2 1,12 2例 3、如函数 y f x 的定义域为 1, 1 ,求函数 y f x 1 f x 1 的定义域 . 4 4解析：要使函数有意义,必需：11 xx 1411 1 543 xx 345 34 x 344 4 4函数yfx1fx1的定义域为：x|3x32 4,. 选 B. 4444例 4、设fxlg2x

9、,就fxf2的定义域为（）2x2xA. ,400 4,；B. 4 ,1,1 4； C. ,21,1 2；D. ,42解析：要求复合函数fxf2的定义域,应先求f x的定义域；2x由2 2x0得,f x 的定义域为2x2,故2x2,2x222.x解得x4, 11,4; 故fxf2的定义域为4 ,1,1 42x课堂练习1、以下个组函数表示同一函数的是（D ）x2x1A .fxx21与gxx1B f x . 2 x2与g x x1C f x x与g x x2D f x x22x1 与g t t22 t2、如函数yf x 的定义域是 0,2, 就函数g x f2 的定义域是（B ）；函数x1A .0,

10、1B.0,1C.0,11,4D. ,13、函数f x1lnx23x2x23x4的定义域为 D 0,1xA.,4 2 , B.4 ,0 01, C. 4,00,1 D. 4,04、如函数f x1的定义域为 2,3 ,就函数f2x1的定义域是f12的定义域为 .0,5,11, x2325、已知函数y2 mx6 mxm8的定义域为R,求 m 的取值范畴 . 解析： 0m1课后作业1.函数fx3x2xlg3x1 的定义域是（C ）fx2的1A .,1B.1 1 ,3 3C.1,1D.1,3332.函数y2 kx6xk8的定义域为R,就 k 的取值范畴是（ B ）Ak0 或k9B k1C.9k1D.0k

11、13.设函数f x 的定义域为 0,1 ,就函数f x2的定义域为；函数4.定义域为.（1,1 , 4,9 ） .已 知fx 2 的 定 义 域 为 1,2 , 就yflog1x 的 定 义 域 为2（1 1 ,16 4）x1（2）yxx 5.求以下函数的定义域：（1）f x 3x2xlg31log 22解析：（1）y1,1 322xx1的定义域是（2） 1,26.已知函数axR, 求实数 a 的范畴 . a1解析：32 2,32 2函数的概念值域基础学问一、函数值域的求法1、基本初等函数的定义域和值域：一次函数f kxb k0的定义域是R ,值域是 R ；0, ；反比例函数f x kk0的定

12、义域是 ,00, ,值域是 ,0 xbxc a0的定义域是 R ,当a0时,值域是 fb,；二次函数f x 2 ax2a当a0时,值域是 ,fb；2a2、求函数值域的常用方法：观看法：如求函数yx1的值域；f x ax2bxc a0型的函数,再配方；配方法：如函数是二次函数形式即可化为判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值得范畴；换元法：分别常数法：将形如ycxda0的函数,分别常数；axb反函数法：例题精讲考点一：求函数的值域例 1、求以下函数的值域（1）（观看法）y4x2（2）（配方法）y3x24x7（3）（判别式法）y2x24x7（4）（换元法）yx2x1x22x3

13、（5）（分别常数法）y5x1（6）（反函数法）yxx2124x2解析：（1） 0,2（3）9, 2（2）7 3,2（4）1 2,（5）yR 且y5 4（6） 0,1考点二：已知值域求参数的取值范畴例 2、求使函数yx2ax2的值域为 ,2 的a的取值范畴 . x2x1解：令x22ax22,x2x1x1230 xx124x2ax22x2x1xR恒成立,a| 6a2. 即x2a2x40,此不等式对 = a224 1 40解得6a2,使函数y2 x2ax2的值域为 ,2 的 a 得取值范畴为 xx1才能提高例 1、求以下函数的值域：（1）f x 112（2）f x x28xx5fx（3）yx12xx

14、4解析：（1） 0,1（2） 0,8F（3） ,1例 2、如函数yf x 的值域是23, ,求函数1的值域 . f x 3解析：Fx可以视为以fx为变量的函数,令tfx,就Ft12t3上是增t3F11t21 t1 t1 ,所以,Ft1在21,上是减函数,在1 3,t2t2t2t3函数,故Fx 的最大值是10 ,最小值是 32. 答案：,2103课堂练习1、函数y552x1的值域为（D ）CC.y y2 且y5, 1D.y y2xB .y y0A y|y252、函数y1x2的值域为（B ）. 1,1D.1,21xA . 1,1B . 1,13、求以下函数的值域：（1）yyx222x3 1x0（2

15、）yxt22xx1xt221解析：x4解析：令212x1xt12 14f t t t021x00y2y1 2t1243. 函数的值域为 4, 3函数的值域为,0（3）y2x22x13（4）y3x1x2xx1解析：x2x1x123解析：方法一：24y3x143y x2x12x22x30 x1x1即y2x2y2xy3x410R ,且y当y2时,明显不成立；函数的值域为 y y当y2时,y22 2430方法二：yxy3x1x13y2y10 xy1R ,且y33y即函数的值域为2,10. 函数的值域为y y3课后作业1、 求以下函数的值域（1）yx211x211（2）y42 x4x52299解析：x2

16、11解析：x24x5x2 x1 100 x24x53函数的值域为0,函数的值域为1,4 . （3）yx24x3（ 4）yx12x2 xx6321x1t2解析：yx1x解析：令t12xx2x32f t 1t2t tyx1 2x03x23xx22311 2t2 11x当x3时,原式y2且yx1, 且y2 51,如t0f t 1,1.52函数的值域为函数的值域为y yR ,22、已知函数f x lga212a1xf x 的值域为 , ,求实数 a 的取值范畴；解析：要使f x的值域为,2,就对对任意xR ,a21x2a110恒成立（1）当a210 即a1 时,a12x10 不成立1 或a5a110

17、成立（2）当a210 时,2 a104a210aa13综上所述： a 的取值范畴为：,15,33、求函数y2x1的值域 . 2x1xy10,所以1y1解析：由题意知y1,从而得21y所以函数的值域是 1,1. 函数的表示法基础学问一、函数的表示方法： （1）列表法；（2）图像法；（3）解析法 . 二、 映射的概念： 一般地, 设 A 、 B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping ）记作：“f : A B ”

18、. 三、 函数解析式的求法：（1）代入法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）消去法；（5）分段函数的解析式的求法；（6）抽象函数的解析式的求法 . 例题精讲 考点一：图表例 1、已知函数f x ,g x 分别由下表给出：3 . x1 2 3 x1 2 f x 1 3 1 g x 3 2 1 就f g 1的值为；满意f g x g f x 的 x 的值是解析：由表中对应值知f g1=f31；当x1时,f g11, g f1g13,不满意条件当x2时,f g2f23, g f2g31,满意条件,当x3时,f g3f11, g f3g13,不满意条件,满意f g x g f x 的 x 的值是x

19、2考点二：求函数解析式例 2、（1）（代入法） 已知f x 2x1,求f1x2；f x 的解析式；解析：f1x22x212x ,求f x ；（2）（换元法） 已知fx1x解析：f x x2127x26,求一次函数（3）（待定系数法）如fff x 解析：设f x axb ,就ff x 2 a xabb ,fff 2 a a xabb bf3 a x2 a babba327a3 3 x22 a babb26b2（4）（消去法） 已知f x 1 2 x3x2,求f x ；解析：依题意可得：f 2 13x2f x x22x 1,xf132x2f x xx变式训练： 已知 3f x12f1x2x,求f

20、x 解析：f x 2x25（5）（分段函数）已知函数fx f x ,xR ,当x0时,f x x 51x y 都有求f x 在 R 上的解析式；解析：由fxf x f00当x0时,x0,就fxx 5x1,即f x fx x5x x 5x 1,x0f x 0,x0 x 5x 1,x0（6）（抽象函数）设f x 是 R 上的函数,且满意f01,并且对于任意实数f xyf y2xy1,求f x 的解析式 .y, 且解析：令 xy 得f0f x2xx11f x x2x1变 式 训 练 ： 已 知 函 数f x 对 任 意 的 实 数x y 都 有f xy f 2 y xf11,求f x 的解析式；解析

21、：令x0,y1得f10f02又f11f01令x0,yx 得f x f02x2f x 2x21才能提高例 1、已知f x =1x,求 f1f2f3f4f2022x y 都有121+f1 1f1f1的值 . 22022解析：f x f1 x11x1111x例 2、函数yf x 的定义域为 0, ,且对于定义域内的任意f xyf x f y ,且f21,求f2的值 . 2解析：f2f 22f2f21f2f2f22f2f21222f2122课堂练习1、以下对应法就f 中,构成从集合A到集合 B 的映射是（）：4 1 AAx|x0 ,BR ,f:x|y|x2BA20,2 ,B4 ,f:xyx2CAR ,By|y0 ,f:xy1x2DA02, ,B0 1, ,f:xx y2A到集合 B 的映射是D 解析：依据映射的定义知,构成从集合2、设 f 、g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法就如下表（从上到下）映射 f 的对应法就是表1 原象1 2 3 象3 4 2 映射 g 的对应法就是表2 原象1 2 3 4 象4 3 1 2 就与f g 1 相同的是（）g f4Ag f1 Bg f2 Cg f3 D解析：A；依据表中的对应关系得,fg1 f4 1,g