储油罐的变位识别和罐容表标定问题（数学建模竞赛A题论文）

1、储油罐的变位识别和罐容表标定问题摘要储油罐使用一段时间后，由于地基变形等原因罐体发生纵向倾斜和横向偏转，导致罐容表发生改变，需要对其重新标定。本文建立了积分模型和非线性回归模型，解决了储油罐的变位识别和罐容表标定问题。为了得到罐体变位对灌容表的影响，首先通过积分得到储油量与油高之间的方程。在求该关系过程中，先将有变位情况的油高转化为无变位的油高，通过求无变位状态下的储油量来求变位后的储油量，得到积分模型。利用实验数据对模型进行检验，发现无变位状态下进出油时理论计算值与实测值的相对误差约为定值3.49%，而倾斜4.1时相对误差随着油高的减小而增大，最大为5%，这是因为倾斜下油高较小时底部储油并不

2、引起油浮子变化，从而导致相对误差大。该误差可能来源于测量误差、温度等外界因素影响，而积分模型没有考虑这些因素，因此在函数关系的基础上建立非线性回归模型，用MATLAB7.1进行拟合得到回归方程，并进行系数的区间估计和残差检验，最大残差为6L，最大相对误差为3.06%。因此，利用非线性回归模型按油高分三段得到油位高度间隔1cm的罐容表标定值。问题二中考虑到纵、横变位对灌容表的影响是独立的，变位影响增量可叠加，得到无变位状态下的油高与变位后的油高及纵横变位参数之间的关系。先不考虑两端球冠，按照问题一的求解思路可得到中间柱体储油量与油高的关系。然后对两端球冠单独积分，将得到的油量与柱体油量相加得到储

3、油罐总油量方程。根据实际数据，采用非线性拟合，利用Taylor级数对复杂的函数关系式进行简化，从而实现对变位参数的点估计，得到的系数为变位参数的函数，反解即可得到变位参数值：=2.57，=4.82。接着将变位参数反代回得到变位情况下的罐容表函数，然后按间隔10cm的油高标定罐容表。又对实际数据进行了多项式拟合，比较两种方式得到的函数值与实际值的残差分布情况，说明用积分模型标定罐容表的方法是可行的。本文在建立积分模型时，将有变位下油高转化成无变位油高，将倾斜的球冠体简化成无倾斜情况，使得积分简化又可行。模型的检验中采用了多项式拟合和保持原方程形式的非线性拟合，并进行了残差分析和系数区间估计，综合

4、考虑选择其中最优的进行灌容表标定。求解变位识别参数时，对复杂的函数采用Taylor级数展开成多项式，使得参数的点估计可以实现。关键词：积分模型 非线性回归模型 多项式拟合 残差图 Taylor级数一、问题重述与分析1.1问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容

5、表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。现在用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。1.2待解决的问题（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，先利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，得到实验数据。然后建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立

6、的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。并进一步利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。1.3问题分析由小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）的几何数据可以求出油位高度与储油罐内油量之间的关系。问题一要求根据所做的实验数据，求出罐体变位对灌容表的影响。题中利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得到一批实验数据。希望从这些实验数据中得到罐体变位后对罐容表的影响，并求出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。先根据几何关系可以得到一个罐内油位高度与储油量之间的微分方程，暂且认为其是标准

7、的灌容表。将其与实验所得到的真实数据做差进行比较，观察差值大小及与真实实验数据的相对大小。二、问题假设1.储油罐变位时几何形状不变，且几何尺寸不发生变化。2.不考虑储油罐容器壁厚，由几何尺寸求得的容积即为储油罐内油量体积。3.温度不影响储油罐内油量的变化。4.假定无论何种状态对于同一储油罐储油总量与油位高度的关系是确定的。5.原来的罐容表刻度时均匀标度的，并且可以读出变化的连续值。6.储油罐偏转和倾斜对储油罐探针读数的变化关系是独立的。三、符号说明倾斜时油浮子的读数无变位时的油浮子读数L罐体长椭圆柱体长半轴椭圆柱体短半轴探针至支点距离V储油罐容积储油罐圆柱体容积储油罐球冠体容积纵向倾斜角后油位

8、高度横向偏转角后油位高度R球冠所在球半径圆柱与球冠相切圆半径圆心到球心距离球冠深度四、问题一积分模型与非线性回归模型的建立与求解4.1问题分析：由小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）的几何数据可以求出油位高度与储油罐内油量之间的关系。问题一要求根据所做的实验数据，求出罐体变位对灌容表的影响。题中利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得到一批实验数据。希望从这些实验数据中得到罐体变位后对罐容表的影响，并求出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。先根据几何关系得到储油罐内油位高度与储油量之间的积分关系。将其与实验所得到的真实数据做差

9、进行比较，观察差值大小及与真实实验数据的相对大小。通过积分得到储油量与油高之间的方程。在求该关系过程中，先将有变位情况的油高转化为无变位的油高，通过求无变位状态下的储油量来求变位后的储油量，得到积分模型。4.2积分模型的建立4.2.1模型的建立1）将倾斜时的油位高度转化为无变化时的油位高度，从而得到无变位时与有变位时时的关系。设储油灌的倾斜角为，椭圆筒长为L，长、短轴分别为a、b，探针F至储油罐支点O的距离为。图1 椭圆柱体中心轴向切面为倾斜时的液面，AB为无变位时的液面。由简图1知，。由矩形ABCO面积与梯形面积相等可以求与的关系。梯形中，矩形面积，由，得到 图2 液面高度示意图液面在CT1

10、以下时，利用矩形面积等于直角三角形面积的方法导出与的关系。这时，矩形底长L，三角形底长均为，三角形面积为，矩形面积，所以，液面在探针口以上时，。综上所述，得到倾斜变位的油位高度与无变位高度之间的关系为2）无变位时储油罐直椭圆筒的容积计算。 图3 椭圆侧面示意图由图3，图示坐标系中椭圆方程为，即，直线MN的方程为，代入椭圆方程中得到，如图所示，取微元dx，则微元面积，对微元积分得到 = 1 * GB3 当时，有 （1） = 2 * GB3 当时，用来替代（1）中的，则储油罐这部分容积为 （2） = 3 * GB3 液面升至探针口以上，油量增加，但罐容表显示的不再增加，此时油量不再变化。4.2.2

11、模型求解分别计算四种情况下油位高度一定时的储油量理论值，与实测值进行比较，求出绝对误差和相对误差。1）无变位进出油时油位高度一定时储油量理论值设储油罐已有油量L，第i次进油后，累计进油量为L，则储油罐总油量为升，此时油位高度为，由以上分析知，当时，由公式（1）计算得储油罐内理论油量，当，由公式（2）计算储油罐内理论油量。再分别计算绝对误差和相对误差。计算无变位进出油时令，则储油量与油位高度的关系为此时。分别带入无变位进出油数据中的油位高度进行求解，得出表格如下：表1 无变位进油理论计算值与实测值对比流水号累加进油量/L油位高度/mm实测值/L理论值/L绝对误差/L相对误差1150159.023

12、12322.8810.883.49%12100176.14362374.6312.633.49%13150192.59412426.3614.363.49%14200208.5462478.1316.133.49%15250223.93512529.8517.853.49%16300238.97562581.6119.613.49%17350253.66612633.3521.353.49%773156.91963.83418.913538.17119.263.49%783206.91978.913468.913589.92121.013.49%793256.91994.433518.9136

13、41.67122.763.49%803306.911010.433568.913693.42124.513.49%813356.911026.993618.913745.14126.233.49%表2 无变位出油时理论计算值与实测值对比流水号累加出油量/L油位高度/mm实测值/L理论值/L绝对误差/L相对误差11152.721150.723916.194052.80136.613.49%112102.721123.993866.194001.05134.863.49%113152.721101.153816.193949.32133.133.49%114202.721080.513766.19

14、3897.57131.383.49%115252.721061.363716.193845.84129.653.49%116302.721043.293666.193794.07127.883.49%117352.721026.083616.193742.35126.163.49%1632652.72439.151316.191362.1045.913.49%1642702.72426.801266.191310.3744.183.49%1652752.72414.361216.191258.6142.423.49%1662802.72401.841166.191206.8740.683.49

15、%1672852.72389.221116.191155.1338.943.49%1682902.72376.491066.191103.3837.193.49%由以上表格数据知，无变位时一定油位高度下储油量实测值与理论值相差不大，相对误差均为3.49%，即椭圆平头储油罐进入或输出100L油中会有3.5L误差。2）纵向倾斜4.1时进出油时油位高度一定时储油量理论值令，根据公式用MATLAB进行求解得到理论计算值与实测值对比情况。表3 倾斜变位4.1时出油时理论计算值与实测值对比流水号累加进油量/L油位高度/mm油量理论油量差值相对误差211747.86411.29962.861005.79 4

16、2.93 4.46%212797.86423.451012.861054.32 41.46 4.09%213847.86438.331062.861114.33 51.47 4.84%214897.86450.541112.861164.06 51.20 4.60%215947.86463.91162.861218.92 56.06 4.82%216997.86477.741212.861276.22 63.36 5.22%2402197.73761.552412.732499.52 86.79 3.60%2412247.73773.432462.732550.47 87.74 3.56%24

17、22297.73785.392512.732601.57 88.84 3.54%2432347.73796.042562.732646.89 84.16 3.28%2442397.73808.272612.732698.68 85.95 3.29%2452447.73820.82662.732751.46 88.73 3.33%2462497.73832.82712.732801.71 88.98 3.28%2472547.73844.472762.732850.27 87.54 3.17%2482597.73856.292812.732899.13 86.40 3.07%2492647.73

18、867.62862.732945.54 82.81 2.89%表4 倾斜变位4.1出油时理论计算值与实测值对比流水号累加出油量/L油位高度/mm油量/L理论油量/L绝对误差/L相对误差311501020.653464.743530.22 65.48 1.89%3121001007.733414.743484.80 70.06 2.05%313150994.323364.743436.75 72.01 2.14%314200980.963314.743388.00 73.26 2.21%3431650635.761864.741953.15 88.41 4.74%3441700624.61181

19、4.741904.58 89.84 4.95%3451750612.531764.741852.03 87.29 4.95%3461800600.691714.741800.59 85.85 5.01%3471850589.41664.741751.64 86.90 5.22%3572350465.971164.741227.46 62.72 5.38%3582400452.41114.741171.67 56.93 5.11%3592450439.981064.741121.03 56.29 5.29%3602500425.831014.741063.88 49.14 4.84%361255

20、0411.73964.741007.54 42.80 4.44%由以上表格数据可以看出，最大相对误差为5.38%。4.2.3模型结果分析由以上计算知道无变位进出油时根据积分模型计算的理论值与实测值的相对误差较小而且均为3.49%；纵向倾斜4.1时，相对误差随着油位高度的增加而增加，最高达到5%。这是可以解释的，当油位高度较小时，总容积也小，即分母小，得出的百分数（相对误差）就大。而油位高度较大时，总容积较大，即分母大，相对误差较小。由以上的计算可以知道，积分模型得到的储油量与油位高度之间的关系与实际情况相比较，存在差异。这可能是测量误差、油罐温度、容器壁厚等因素造成的，积分模型并不能反映这些因

21、素，因此用拟合的方法数据进行非线性回归。4.3非线性回归模型的建立1）模型的分析：由对椭圆平头储油罐进行试验所得实测数据可以知道每次测量时储油罐里储油量。而问题一中欲求的罐容表即为罐内油位高度与储油量的对应关系。因此，模型二以罐体储油量值和相应的罐内油位高度两组实测数据为基础，通过多项式拟合的方式建立起储油量值与油位高度之间的函数关系，并进行相应的图像分析和残差检验。在积分模型中，已经求出了罐体的储油量值与罐内油位高度之间的关系。但是由于实际中温度、容器壁厚、容器壁油垢等等因素的影响，所得函数值与实际值之间存在差异。因此，模型二中保持积分模型中的方程形式，以罐体储油量和相应的罐内油位高度两组实

22、测数据为基础，采用非线性拟合的方式来确定变量系数，建立起储油量值与油位高度之间的函数关系，建立非线性回归模型。模型建立后将原表中的油位高度代入方程，得到计算的罐内储油量，与实际的储油量进行相对误差和绝对误差的比较，并做出残差图。然后与积分建立的模型一进行对比，选择其中较好的作为最终模型。为了说明保持原方程形式的好处，可以同时采用多项式拟合，并进行比较。2）模型的建立：由假设4知，同一状态下同一储油罐进出油时同一储油量对应同一油位高度。故分别将无变位和有变位情况下进油、出油两张表格的数据综合在一起考虑。运用非线性拟合方法，对无变位和有变位两种情况的储油量和罐内油位高度进行拟合，得到储油量和油位高

23、间的函数关系。拟合采用MATLAB7.1编程实现。首先，做出无变位与有变位情况下罐内储油量与油位高度之间的散点图。由散点图可以看出两种情况下的曲线都是近似是一条直线，但是仔细观察发现曲线更像一个S形，只是弯曲比较缓和。 图4 无变位数据散点图 图5 有变位数据散点图在无变位情况下，对保持原方程形式和多项式两种类型做非线性拟合，采用MATLAB7.1编程。得到如下的拟合曲线图、拟合残差图和相应的系数区间估计表。图6 无变位原形式拟合曲线图图7 无变位多项式拟合曲线图 图8无变位原形式拟合残差图 图9 无变位多项式拟合残差图表5无变位进出油残差平方和表残差平方和（Q值）无变位原形式拟合3.0539

24、20777456220e-004无变位多项式拟合0.2045由拟合曲线图来看，两种拟合方式都和散点图的形式比较接近，几乎不能判断那个更好。但是从残差图可以看出，保持原方程形式拟合得到的函数的残差值最大为，即6L，而用多项式拟合得到的函数的残差值大部分都超出了，即50L。进一步对残差求平方和，如表10，可以直观的看出无变位原形式拟合的Q值远远小于多项式拟合的Q值。很明显保持原方程形式拟合比用多项式拟合要好，残差更小。接着看参数的点估计和区间估计，两种拟合得到的参数估计都没有跨零点，都是可行的。但是保持原方程形式的拟合的参数区间比直接用多项式拟合的参数区间在95%下的置信区间更小，更精确。这也从一

25、个侧面说明保持原方程形式进行估计的优越性。表6 无变位拟合系数区间估计表点估计区间估计（ci）系数beta1-3.71336819256704-3.73685191875188-3.68988446638220系数beta23.253766483829453.227341718628733.28019124903018系数beta3-0.64259516192071-0.65383225075641-0.63135807308501系数beta45.510529179374985.465894506369695.55516385238027表7 无变位多项式拟合系数区间估计表点估计区间估计（c

26、i）系数beta1-0.2984-0.3910-0.2058系数beta24.30234.18194.4228系数beta3-0.4748-0.5101-0.4395于是将采用保持原方程形式拟合得到的函数值与实际值进行相对误差和绝对误差的分析。表8 无变位进、出油时拟合值与实测值之间的绝对误差和相对误差流水号油位高度/mm实测油量/L理论值/L绝对误差/L相对误差11159.02312.0030751.75%12176.14362.0035930.88%13192.59412.0041110.35%14208.5462.0046200.02%15223.93512.00513-1-0.17%1

27、6238.97562.00564-2-0.28%17253.66612.00614-2-0.34%18268.04662.00664-2-0.36%181193.94416.1941510.32%182177.54366.1936330.83%183160.48316.1931151.67%184142.62266.1925883.06%从表格数据可以看出，绝对误差和相对误差比用积分模型求得时都要小的多。此时函数方程为：有变位情况情况下，对保持原方程形式和多项式两种类型做非线性拟合，采用MATLAB7.1编程。得到如下的拟合曲线图、拟合残差图和相应的系数区间估计表。 图10 有变位积分形式拟合

28、曲线图 图11 有变位多项式拟合曲线图 图12 有变位原形式拟合残差图 图13 有变位多项式拟合残差图表9 有变位残差平方和表残差平方和（Q值）有变位拟合0.00120692524768有变位多项式拟合0.01744749705805表10 有变位拟合系数区间估计表点估计区间估计（ci）系数beta14.163119588513984.126134707723494.20010446930447系数beta2-0.71234751200793-0.87422534196807-0.55046968204780系数beta33.769101271759143.426363487118904.11

29、183905639937系数beta4-4.52713025398059-4.81653856996605-4.23772193799512表15 倾斜变位进、出油时拟合值与实测值对比流水号油位高度/mm实测油量/L拟合油量/L绝对误差/L相对误差211411.29962.86959.26-3.600.37%212423.451012.861004.69-8.170.81%213438.331062.861061.01-1.850.17%214450.541112.861107.80-5.060.45%241773.432462.732460.11-2.620.11%242785.392512

30、.732511.79-0.940.04%243796.042562.732557.72-5.010.20%244808.272612.732610.34-2.390.09%245820.802662.732664.091.360.05%246832.802712.732715.372.640.10%247844.472762.732765.032.300.08%248856.292812.732815.082.350.08%249867.602862.732862.70-0.030.00%317941.543164.743165.220.480.02%318929.693114.743118.

31、023.280.11%319916.443064.743064.58-0.160.01%320904.143014.743014.41-0.330.01%321891.902964.742964.00-0.740.02%322879.232914.742911.37-3.370.12%323868.992864.742868.543.800.13%324855.132814.742810.18-4.560.16%325844.022764.742763.12-1.620.06%表11 有变位多项式拟合区间估计表点估计区间估计（ci）系数beta1-0.04528568475372-0.1315

32、76485309820.04100511580238系数beta24.255281424118694.129732540811494.38083030742589系数beta3-0.80984328683293-0.85346611262622-0.76622046103963由拟合曲线图来看，两种拟合方式都和散点图的形式比较接近，几乎不能判断那个更好。但是从残差图可以看出，保持原方程形式拟合得到的函数的残差值最大为，即10L，而用多项式拟合得到的函数的残差值大部分都超出了，即40L。进一步对残差求平方和，如表21，可以直观的看出无变位原形式拟合的Q值小于多项式拟合的Q值，说明保持原方程形式拟

33、合比用多项式拟合要好。得到函数关系式： （3）4.4对罐容表进行标定用（3）对间隔为1cm的油位高度标定。即当油高分别为1cm、2cm、120cm时对应的储油量。用MATLAB7.1计算得到表12 间隔为1cm的罐容表标定值油高/cm12345678910油量/L0001.36.914.423.734.646.960.6油高/cm11121314151617181920油量/L75.691.9109.3127.8147.3167.8189.3211.8235.1259.2油高/cm21222324252627282930油量/L284.2310336.5363.7391.7420.3449.6

34、479.5510.1541.2油高/cm31323334353637383940油量/L572.9605.2638671.3705.1739.4774.1809.4845881.1油高/cm41424344454647484950油量/L917.6954.5991.81029.41067.41105.71144.41183.41222.71262.3油高/cm51525354555657585960油量/L1302.21342.31382.71423.41464.31505.41546.71588.316301672油高/cm61626364656667686970油量/L1714.11756

35、.31798.71841.318841926.81969.72012.72055.82098.9油高/cm71727374757677787980油量/L2142.22185.42228.722722315.42358.724022445.32488.62531.7油高/cm81828384858687888990油量/L2574.82617.82660.72703.52746.12788.52830.82872.82914.62956.2油高/cm919293949596979899100油量/L2997.53038.43079.13119.33159.23198.63237.6327633

36、13.93351.3油高/cm101102103104105106107108109110油量/L3387.93423.93459.23493.63527.23559.93591.63622.23651.63679.8油高/cm111112113114115116117118119120油量/L3706.737323755.93777.93798.23816.53832.53846.33857.43865.8五、问题二积分模型的建立及变位参数的确定5.1模型的建立5.1.1计算变位后油位高度与无变位时的油位高度之间的关系。因为横向偏转和纵向倾斜时相互独立的，故依次考虑只发生倾斜、偏转时油位高度

37、、与无变位油位高度之间的关系，求出它们之间的增量、，由及增量可得到无变位时油位高度。1)计算储油罐圆柱体纵向倾斜角后油位高度与之间的关系。由问题一的计算知所以纵向倾斜角油位高度变化增量为2)计算储油罐直圆罐体横向偏转角油位高度与关系。 图14偏转角关系示意图 图15液面变化示意图如图14，储油罐截面中心由位置绕O点旋转角度到，在图15中表示旋转前后油浮子的读数变化。由几何关系，不难得到所以横向偏转角时油位高度变化增量为3)计算储油罐直圆部分纵向倾斜角、横向偏转角后油位高度，H为未发生偏转和倾斜时的油位高度。因为偏转和倾斜都是转化成无变位时的油位高度，所以等效计算的高度相等，即所以5.1.2无变

38、位状态下储油罐储油量与油高H之间的关系：1).求无变位状态下圆柱体体积与H之间的关系如图16,高度为时，圆柱体内的储油量为计算得储油罐圆筒部分的总容积为，2).求无变位状态下储油罐球冠体与H之间的关系 图16无变位状态下球冠体正视图 图17无变位状态下球冠体正视图侧视图如图16建立坐标系，设球冠部分球面半径为R，切面圆半径为r，圆心到球心距离为，球冠深度为，则有关系，球冠部分球面方程为，所以，容器内液面高度为时，储油罐两端球冠体部分的体积为所以球冠部分总容积为3)无变位状态下储油罐储油量与油高H之间的关系：所以，油量与油位高度、倾斜角、偏转角之间的关系为（4）5.1.3倾斜偏转变位与之间的关系

39、令（4）式中（r=1.5，R=1.625，=1），即可得到储油量V与油位高度、倾斜角、偏转角之间的关系。5.2确定参数和由上面建立的积分模型知道，罐内油量V是油位高度H的函数，而H又与油位高度、倾斜角、偏转角相互关联，因而罐内油量V应该是油位高度、倾斜角、偏转角的多元函数关系式。但是实际所给只是油量V和油位高度h的数据，理论上要确定参数和是可行的，但由于油量V和油位高度h之间函数关系的复杂性，和的值并不能由函数方程直接求得。换另一种思路，可以把油量V和油位高度h的函数关系进行Taylor展开，将复杂的非线性函数进行适当的简化，由大学微积分知识可知这种简化是可行的。从而可得到一个关于、和h的化简

40、后的多项式函数。和是待定的系数，利用所给的数据用MATLAB进行非线性拟合，同时返回拟合后的点估计，即函数系数项，这是关于和的函数，反解即可得到和。按照以上思路，对数据进行处理得到最终的参数值为：=2.57，=4.82。5.3罐容表标定：确定变位参数和后，由油位高度h可以得到无变位状态下垂直油面高度H，这样就得到了储油量的标定值。计算表格如下：表13 间隔为10cm的罐容表标定油高/cm102030405060708090100油量/L425.48081622.7483084.0014779.8526683.0978768.53211012.7713394.0515892.0718487.81

41、油高/cm110120130140150160170180190200油量/L21163.3223901.5626686.2329501.5632332.1435162.7437978.1340762.8943501.2446176.84油高/cm210220230240250260270280290300油量/L48772.6351270.6353651.7655895.6757980.5559882.9561577.5963037.1964232.2765131.015.4模型的检验模型建立中，对两端球冠体的体积计算进行了相应的简化，将变位后的球冠体的体积仍然看成是无变位情况进行积分，这样

42、虽然使得模型的建立相对变得简单和模型变得简洁，但同时可能降低了模型的精确性和可信度。但是由上面的计算和表格可看出简化后的模型的绝对误差和相对误差都比较小。为了进一步说明这种简化是合理可行的，对实验所给的数据进行多项式拟合。 图18由公式4求得的理论值惨插图 图19多项式拟合残差图表14 多项式拟合系数区间估计表点估计区间估计（ci）系数beta1-0.15167810096636-0.15254860866612-0.15080759326659系数beta21.136181292199591.129565651745621.14279693265356系数beta3-5.9351400130

43、7895-5.95421291445464-5.91606711170326系数beta416.4899070458964916.4640790957235916.51573499606938系数beta57.424592403075827.408340945550447.44084386060119系数beta6-0.47605450932377-0.47981396603053-0.47229505261701运用多项式拟合得到的函数的点估计都没有跨零点，系数是可信的。残差平方和Q =2.718042890188523e-004，可见拟合的效果是比较好的。现分别做出积分方程模型和拟合多项式

44、模型的残差图，如下图，比较两残差图可以看出，用积分模型得到的残差最大为左右，而由拟合多项式得到的残差最大为0.015，相对来说比积分模型要大。这说明积分模型是可靠的，对两端球冠体的近似处理的可行且可靠的。六、模型的评价与推广6.1模型的评价：1）问题一中建立的积分模型对纵向倾斜变位具有很强的适用性。可以得出任意倾斜角度下储油量与油位高度之间的函数关系。但是得出的理论值与实测值存在相对误差，该误差可能来源与测量误差、温度等外界因素影响，而积分模型没有考虑这些因素，因此在函数关系的基础上建立非线性回归模型，得到回归方程，经检验，此方程比积分方程更好地拟合了实测数据。2）问题二中建立的积分方程得出了

45、油量与油位高度、变位参数之间的关系，该模型函数关系过于复杂，不利于求解。因此对模型进行简化，积分过程中对两端球冠油量不考虑变位带来的影响，通过对实际数据进行多项式拟合，并进行残差检验，得出这种简化是可行的。6.2模型的推广：本文中针对各问题建立的模型可以应用推广于解决其它类似问题，如：问题一中的积分模型，该模型适用于任何倾斜或不倾斜的平顶直圆筒的体积计算。问题一中的非线性回归模型，该模型还可适用于其他的对实验数据的对比处理和拟合预测等方面。七、参考文献1蒋心亚，宗光，各种形状封头的圆筒形卧式容器在不同液面高度时液体体积计算的统一表达式，化学设备与管道，第39卷：30-34，20032田铁军，倾

46、斜卧式罐直圆筒部分的容积计算，现代计量测试，第五期：32-36，19993刘卫国，MATLAB程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年7月4刘军英 刘碧玉 韩旭里，微积分（上册），北京：科学出版社，2008年7月第二版附录附录一：程序部分1.无变位原形式拟合的源程序代码：x=textread(无变位进出油油位高度.txt);y=textread(无变位进出油总油量.txt);figureplot(x,y,-gd);title(原数据散点图)b0=0 0 0 0; %初始值beta1,r1,j1=nlinfit(x,y,myfun,b0);beta1 %拟合系数项ci1=nlp

47、arci(beta1,r1,j1) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x,y,myfun,b0); %绘制非线性拟合曲线图figureplot(x,r1,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold onQ1=sum(r1.2) %残差平方和function f=myfun(beta,x)f=beta(1)*x.2+beta(2).*x+beta(3).*sqrt(x)+beta(4).*sin(x).*x;2.有变位原形式拟合的源程序代码：x=textread(有变位进出油油位高度.txt);y=textread(有变位进出油总油量.txt);figureplot(x

48、,y,-gd);title(原数据散点图)pause(5)hold onb0=0 0 0 0; %初始值beta,r,j=nlinfit(x,y,myfun1,b0);betaci=nlparci(beta,r,j) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x,y,myfun1,b0); %绘制非线性拟合曲线图figureplot(x,r,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold onQ=sum(r.2)function f=myfun1(beta,x)f=beta(1)*x.2+beta(2).*x+(beta(3).*sqrt(x)+beta(4).*sin(x).*

49、sqrt(x).*tan(x);3.有变位多项式拟合的源程序代码：x=textread(有变位进出油油位高度.txt);y=textread(有变位进出油总油量.txt);figureplot(x,y,-gd);title(原数据散点图)pause(5)hold onb0=0 0 0 ; %初始值beta,r,j=nlinfit(x,y,myfun2,b0);betaci=nlparci(beta,r,j) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x,y,myfun2,b0); %绘制非线性拟合曲线图figureplot(x,r,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold

50、onQ=sum(r.2)function f=myfun2(beta,x)f=beta(1)*x.2+beta(2).*x+beta(3);4.无变位多项式拟合的源程序代码：x=textread(无变位进出油油位高度.txt);y=textread(无变位进出油总油量.txt);figureplot(x,y,-gd);title(原数据散点图)b0=0 0 0 0; %初始值beta1,r1,j1=nlinfit(x,y,myfun,b0);beta1 %拟合系数项ci1=nlparci(beta1,r1,j1) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x,y,myfun,b0); %绘

51、制非线性拟合曲线图figureplot(x,r1,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold onQ1=sum(r1.2) %残差平方和function f=myfun2(beta,x)f=beta(1)*x.2+beta(2).*x+beta(3);5.分段拟合的源程序代码：x=textread(无变位进出油油位高度.txt);y=textread(无变位进出油总油量.txt);figureplot(x,y,-gd);title(原数据散点图)pause(5)z1=find(x=0.6);x2=x(z2);y2=y(s+1:end);b0=0 0 0 0 0; %初始值beta

52、2,r2,j2=nlinfit(x2,y2,myfun_1,b0);beta2 %拟合系数项ci2=nlparci(beta2,r2,j2) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x2,y2,myfun_1,b0); %绘制非线性拟合曲线图% subplot(2,1,2)figureplot(x2,r2,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold onQ2=sum(r2.2) %残差平方和6.有无变位同高度下油量计算程序：x=textread(相对误差.txt);y=textread(同高度下无变位油量.txt);format longfigureplot(x,y,-gd

53、);title(原数据散点图)%pause(5)hold onb0=0 0 0 ; %初始值beta,r,j=nlinfit(x,y,myfun3,b0);betaci=nlparci(beta,r,j) %输出预测值、残差及置信区间nlintool(x,y,myfun3,b0); %绘制非线性拟合曲线图figureplot(x,r,-rp); %绘制残差图title(拟合残差图)hold onQ=sum(r.2)format shortfunction f=myfun3(beta,x)f=beta(1).*x.2+beta(2).*sin(x).*sqrt(x)+beta(3);7.变为参数

54、估计源程序代码：v=textread(kk1.txt);h=;for i=1:size(v) vs=v(i); f=qiujie(vs); h=h,f;end function f=qiujie(vs)% syms v H% v=vs;%f=solve(vs=18*3.14-8*sqrt(3*H-H2)*(H-1.5)-18*asin(sqrt(3*H-H2)/1.5)+4.15*H-0.52*H3-1.25*H*sqrt(2.25-H2)/3-1.57*atan(H/sqrt(2.25-H2)-(H3-7.92*H)/3*atan(0.625/sqrt(2.25-H2)+2.86*atan(

55、0.38*H/sqrt(2.25-H2),H)% f=eval(H)k=sym(vs=18*3.14-8*sqrt(3*H-H2)*(H-1.5)-18*asin(sqrt(3*H-H2)/1.5)+4.15*H-0.52*H3-1.25*H*sqrt(2.25-H2)/3-1.57*atan(H/sqrt(2.25-H2)-(H3-7.92*H)/3*atan(0.625/sqrt(2.25-H2)+2.86*atan(0.38*H/sqrt(2.25-H2);s=solve(k)f=eval(s)x=textread(显示油高.txt);y=textread(显示油量容积.txt);for

56、mat longfigureplot(x,y,-gd);title(散点图)%pause(5)hold onb0=0 0 ; beta,r,j=nlinfit(x,y,myfun22,b0);betaci=nlparci(beta,r,j)nlintool(x,y,myfun22,b0);figureplot(x,r,-rp);title(残差图)hold onQ=sum(r.2)function f=myfun22(beta,x)f=x*cos(beta(1)+1.5-1.5*cos(beta(1)+2*tan(beta(2)*cos(beta(1);附录二：表格部分表1无变位进油理论计算值

57、与实测值对比流水号累加进油量/L油位高度/mm实测值/L理论值/L绝对误差/L相对误差1150159.02312.00322.8810.883.49%12100176.14362.00374.6312.633.49%13150192.59412.00426.3614.363.49%14200208.5462.00478.1316.133.49%15250223.93512.00529.8517.853.49%16300238.97562.00581.6119.613.49%17350253.66612.00633.3521.353.49%18400268.04662.00685.0823.08

58、3.49%19450282.16712.00736.8524.853.49%20500296.03762.00788.5826.583.49%21550309.69812.00840.3328.333.49%22600323.15862.00892.0630.063.49%23650336.44912.00943.831.803.49%24700349.57962.00995.5433.543.49%25750362.561012.001047.335.303.49%26800375.421062.001099.0537.053.49%27850388.161112.001150.8138.8

59、13.49%28900400.791162.001202.5540.553.49%29950413.321212.001254.2942.293.49%301000425.761262.001306.0344.033.49%311050438.121312.001357.7745.773.49%321100450.41362.001409.4947.493.49%331150462.621412.001461.2449.243.49%341200474.781462.001512.9850.983.49%351250486.891512.001564.7452.743.49%361300498

60、.951562.001616.4954.493.49%371350510.971612.001668.2456.243.49%381400522.951662.001719.9857.983.49%391450534.91712.001771.7359.733.49%401500546.821762.001823.4661.463.49%411550558.721812.001875.1963.193.49%421600570.611862.001926.9564.953.49%431650582.481912.001978.6866.683.49%441700594.351962.00203