新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第三册 -　正态分布 学案

1、75正态分布新课程标准解读核心素养1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征数学抽象、直观想象2.了解正态分布的均值、方差及其含义数学建模、数学运算高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线问题你知道正态分布有哪些应用吗？知识点一正态分布1正态曲线若f(x)eq f(1,r(2)eeq f(x2,22)，xR，其中R，0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线2正态分布(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布

2、，记为XN(，2)当eq avs4al(0)，eq avs4al(1)时，称随机变量X服从标准正态分布；(2)若XN(，2)，则E(X)eq avs4al()，D(X)2.3正态曲线的性质(1)曲线在eq avs4al(x)轴的上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，关于直线x对称；(3)曲线的最高点位于x处；(4)当x时，曲线上升；当x时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线理解正态分布要注意如下四点(1)0，1的正态分布叫做标准正态分布；(2)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数(数学期望)；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计；(3)正态分

3、布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等；(4)由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布 若随机变量XN(，2)，则X是离散型随机变量吗？提示：若XN(，2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P(aXb)为区域B的面积，X可取a，b内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量1设两个正态分布N(1，eq oal(2,1)(10)和N(2，eq oal(2,2)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A

4、12，12B12C12，12，12解析：选A反映的是正态分布的平均水平，x是正态密度曲线的对称轴，由题图可知12; 反映的是正态分布的离散程度，越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”， 由题图可知1c1)P(2)0.023，则P(2X2)_.解析：随机变量X服从正态分布N(0，2)，正态分布密度曲线关于直线x0对称P(X2)0.023，P(X2)0.023.P(2X2)10.0230.0230.954.答案：0.954正态密度曲线的概念与性质例1(链接教科书第86页例)(1)已知正态曲线的函数解析式为f(x)eq f(1,3r(2)eeq f(x22,18)(xR)，则

5、均值为_，_；(2)如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差(1)解析将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得2，3.答案23(2)解从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为eq f(1,2r()，所以20，eq f(1,r(2) )eq f(1,2r()，所以eq r(2).于是f(x)eq f(1,2r()eeq f(x202,4)，x(，)，总体随机变量的均值是20，方差是2(eq r(2)22.由正态曲线确定均值与方差的方法正态分布的两个重要参数是与2，刻画了随机变量取值的平均水平，2是衡量随机变量总体波动

6、大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置对称轴是直线x；的值由x时的函数值计算，即f()eq f(1,r(2)求得的值 跟踪训练1某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法正确的是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙总体的平均数不相同解析：选A本题考查，的意义以及它们在正态曲线中的作用由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”，且是标准差，故选

7、A.2某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)eq f(1,10r(2)eeq f(x802,200)(xR)，则下列命题不正确的是()A该市这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B由密度函数知，均值(期望)80，标准差10，又曲线关于直线x80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的.利用正态分布的性质求概率例2(链接教科书第87页练习1题)已知随机变量X服从正态分布N(2，

8、2)，且P(X4)0.8，则P(0X2)等于()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，正态曲线的对称轴是直线x2.P(X4)0.8，P(X4)P(X0)0.2，P(0X4)0.6，P(0X2)0.3.答案C正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；(2)熟记P(X)，P(2X2), P(3X3)的值；(3)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)；若b，则P(Xb)eq f(1PbX2b,2). 跟踪训练1已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X4)0.158 7，则P(2X4)

9、()A0.682 6 B0.341 3C0.460 3 D0.920 7解析：选A随机变量X服从正态分布N(3,1)，正态曲线的对称轴是直线x3.P(X4)0.158 7，P(X2)0.158 7，P(2X4)120.158 70.682 6.2设XN(6,1)，则P(4X5)_.解析：由已知得6，1.P(5X7)P(X)0.682 7.P(4X8)P(2X2)0.954 5.如图，由正态分布的对称性知P(4X5)P(7X8)，P(4X0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的eq f(1,5)，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为多少人？解

10、：P(X120)0.2，P(90X120)10.40.6，P(90X105)eq f(1,2)P(90X120)0.3，此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 0000.3300.正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向，, 2，2，3，3这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想 跟踪训练在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(90,100)(1)试求考试成绩位于区间70,110上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在80,100间的考生大约有多少人？解：因为N(9

11、0,100)，所以90，10.(1)由于正态变量在区间2，2内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩位于区间70,110内的概率为0.954 5.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间，内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩位于区间80,100内的概率为0.682 7，一共有2 000名考生，所以考试成绩在80,100间的考生大约有2 0000.682 71 365(人)标准正态分布和非标准正态分布、二项分布之间的关系1标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”在这个表

12、中，相应于x0的值f(x0)是指变量取值小于x0的概率，即f(x0)P(Xx0)，如图中左边的阴影部分所示2由于标准正态曲线关于y轴对称，表中仅给出了对应于非负值x0的值f(x0)如果x00，那么由图中两个阴影部分面积相等知f(x0)1f(x0)3一般的正态分布N(，2)均可以化成标准正态分布N(0,1)来进行研究事实上，可以证明，对任一正态分布N(，2)来说，取值小于x0的概率P(Xx0)feq blc(rc)(avs4alco1(f(x0,).问题探究1“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，已被广泛采用每次考试过后

13、，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名员工，其中275个高薪职位和25个普薪职位实际报名人数为2 000名，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名(1)最低录取分数是多少？(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由参考资料：当XN(，2)时，令Yeq f(X,)，则YN(0,1)；当YN(0,1)时，P(Y2.

14、17)0.985，P(Y1.28)0.900，P(Y1.09)0.863，P(Y1.04)0.850.提示：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即XN(180，2)，令Yeq f(X180,)，则YN(0,1)由360分及以上高分考生有30名可得P(X360)eq f(30,2 000)，即P(X360)1eq f(30,2 000)0.985，即有Peq blc(rc)(avs4alco1(Y267，能被录取，P(X286)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(286180,83)P(Y5且np(1p)5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即P(Xx)P(Yx)

15、，其中随机变量YN(np，np(1p)(1)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果相互独立计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；(2)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为，计算P(6892)提示：(1)依题意，设事件A表示击中目标，eq xto(A)表示没有击中目标，B表示连续三次射击中恰连续两次命中目标所以P(B)P(AAeq xto(A)P(eq xto(A)AA)0.60.60.40.40.60.60.288.在10次射击中，击中6次的概率

16、最大10次射击中击中目标k次的概率为PkCeq oal(k,10)0.6k(10.6)10k，k0,1,2，10.由eq blcrc (avs4alco1(f(Pk,Pk1)1，,f(Pk,Pk1)1)得，5.6k6.6，所以k6.(2)因为E(X)1000.8805，D(X)1000.80.2165，所以近似于N(80,16)，所以P(6892)P(80348034)0.997 3.迁移应用2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每

17、周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数eq xto(x)和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数eq xto(x)，2近似为样本方差s2.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若XN(，2)，令Yeq f(X,)，则YN(0,1)，且P(Xa)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(a,).利用直方图得到的正态分布，求P(X10)；从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅

18、读时间超过10小时的人数，求P(Z2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望参考数据：eq r(178)eq f(40,3)，0.773 4190.007 6，若YN(0,1)，则P(Y0.75)0.773 4.解：(1)eq xto(x)60.0370.180.290.35100.19110.09120.049，s2(69)20.03(79)20.1(89)20.2(99)20.35(109)20.19(119)20.09(129)20.041.78.(2)由题知9，21.78，XN(9,1.78)，eq r(1.78)eq f(r(178),10)eq f(4,3).P(X10)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(109,f(4,3)P(Y0.75)0.773 4.由知P(X10)1P(X10)0.226 6，可得ZB(20,0.226 6)，P(Z2)1P(Z0)P(Z1)10.773 420Ceq oal(1,20)0.226 60.773 4191(0.773 4200.226 6)0.007 60.959 7.Z的数学期望E(Z)200.226 64.532.1已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)0.5，则实数a的值为()A1Beq r(3)C2 D4解析：选A随机变量X服从正态分布N(a,4)，P(