小学六年级奥数分类练习题及答案

1、小学六年级奥数知识点串讲名师辅导第1课工程问题练习题附答案六年级奥数：第一讲工程问题笫一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型.在工程问题中，一股妥岀现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的吋间）和二作效率单位吋间内完成的工作量-这三个量之间有下述一些关系式；工作效率X工作时间二工作总量,.工作总量亠工作时间二工作嫌率，.工作总量-工作效率=工作时间.为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工数.例1一项工程，甲乙两队合作需宙天完成，乙丙两队合作需玮天完成，甲丙两队合作需刃天完成，如果由圧乙丙三队合作需几天完成工分析设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为命，乙、而合作的工效为占用丙合

2、作的工效为因此甲、乙丙三队合作的工效的两倍为存存吕，所以甲、乙丙三臥合作的工效対（存存寺）-2=因此三队合作完成这项工程的时间为1-=10C天齡哙+护存2十2十存10天）答：甲、乙、丙三队合作需10天気成.说明：我们通常把工量“一项工程看成一个单位.这样，工效就用工吋的创数来表示.如例1中甲乙两队合作的工时为12天，那么工效就为-厂1二它表示甲乙两队一天完成全部丁程的丄.例2师徒二人合作主产一批零件，$天可以気成任务师博先做5天后，因事外出，由徒弟接着做号天.共完成任务的帶.如杲每人单独做这批零件各需几天？分析设一批零件为单位勺誠.其中&天完成任务，幷一袤示师徒的工蝕6和.要求每人单独做各需几

3、天，首先要求出各自的工效，关犍在于把师傅先做5天接着徒弟做3天转化为师徒二人合作$天师傅再做2天.TOC o 1-5 h z711鶴师傅工妮心一丄乜亠2=吕lO610卷弟T如-=丄-.佃菲丄610师傅单独做需几天：召二（天）;徒弟单独做需几天：1*=上（天.答：如杲单独做，师傅需10天，徒弟需15天.洌3项工程，甲单独完成需匹天，乙单独完成需9天-若甲先做若干天后乙接着做，共用天完成，问甲做了几天分暫解答工程问题时，除了崩一股的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。w=设甲做了工天.那缶甲完成工作量+瓯乙做的天数W-紺乙完成工作量10藍）xl,.囲此右益+10-签）x

4、=1,11Q-怎十-=1129两边同乘36,W到；去+4Q-4盖=3$,工二4.答甲做了4天-例4一件工作甲尢做加卜时，乙接着做辽外时可以完成.甲先做附卜吋，乙接着做E小时也可以完成.如果甲僦討卜时后由乙接着做，还需要多必小时龙成7分畅设一件工作为单位91甲做&小时，乙再做屹小时完成或者甲先做附卜吋，乙再做弘卜吋都可気成，用图袤示它们的关系如下】H?TOC o 1-5 h z.乙6小时4S-.IIIIJ；、甲椒&小时；乙做12小时IIII甲汕时；:.1111-.X%一.-甲灘小时乙陋讣时由图不难看出甲2小时工作量=乙6小时工作5,甲“卜时工作量=乙3小时工作量.可用代换方法求解问题.解：若由乙

5、单独做共需几小时：6皱3+12=3。（？卜吋）.若由甲单曲做需几中时:2+6-5=10（小时）.甲先做3小时后乙按着做还需几小时10-%.3:=21小时.答:乙还需丑小时完成；例5筑路队预计：30天修一条公路.先由18人修12天只完成全部工程的$如果想提前天完工，还需增加多少人？分析由12人修12天完成了全部工程的可通过1H2求出用一天完成扌工作量共需要的总人数，也可通过13X吃求出用一人完成扌工作量；共需姜的总天数-所以由#-02X12）求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）.解1人1天気成全部工程的几分之几即一人的工裁）:卜拱T剩余工作量若更提前&天完成共需多少人芥_2_126

6、48=3,（人）.需増加几人|36-13=18：A3.客还要増加菇人.例&蓄水池有一条进水管和一条排水管.嘤權满一池爪工单开进水管需5小时排光一池水，.单开排水管需3小时.现在池内有半池水，如果援进朮，.申日Q註札排水汁崗顺佯舱流农开1小时.问三多復命间后水池的水刚舜郴完7精确到分钟）分析与解答:衽解答范水管注水问题昧-会岀现一个进水管一个岀水管的情況.若进水管、出水管同时开放，则积满水的吋间=1亠GS水营工数-出水管工数）,排空水的时间=1-（出爪管工效-进水管工效）:这道应曲题是分析推理与计算相结台的题目.根据己知条件推出水池11?1中的水每汀时减少厂:右水池中有半池水即经过&卜时后还剩1

7、21亍_石翼迪亠歸=】：.如果按进水,桃水的顺序进行,则叉应进水1小时,11313谡时水池内共有水春壮=.-.如果技每水时渾流速推出需要经过：厂199：;=-严（小師支,共用的时间为611+=7.9小时勺=7小时刃分刚好排完.例予一件工作，甲亍小时先完成了扌，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成7分祈逑道题是工程问题与分数应用题的复合题.解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转优为占单位“1总工作量的几分之几？W：甲工作皱率乙工作效率:余下部分甲、丄十丄4SO-r1,11乙合作需要几小时：（1刁求（1丄）-（4-3=3-（小旳42201

8、6盞客还需要茹?小时才能完成任务-例甲、乙二人植树.单独植完这批树甲比乙所需要的时间多土如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树瓯棵，这批树一共多少棵7分析求这批树一共多少棵，必须找出与託棵所对应的艮乙工皴:差.已知甲比乙所用的时间多g,可以求出甲与乙所用的时间比为4:1当工作总量一定的情况下，工妁与工吋成反比例，甲与乙的工吋比为|:.1二4；乱所以甲与乙的工效比是3；丄这个间接条件一旦揭示出来问题就得到解决了厂：購设乙所用时间为1J甲的时间是乙的1+|=1|倍）,则甲与乙的时间比是4:3.工作总量一定卩工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的皮比，为3：8-植树多少棵;36-冷

9、訂=252棵）*簧：这批树一共252.例9扣工一批零件，甲、乙合作梟天可以完成.现在由甲先做16天，煞后乙再做12天，还剩下这批零件的|役有完成.已知甲每天比乙多加工弓个零件，求这批零件共多少个T分析欲求这批零件共多少4由题甲条件只需知道甲、乙二人每天共做多蚣个即可，然后这就转优为求甲、乙两人单独做各需多少天.有了这个结论后，只需算岀g令零件相当于总数的几分之几即可.由条件知甲做珑天，乙做12天共完成工程的|,也即相当于甲乙二人合做1庆另外加上甲又天共気成这批零件的门又知道甲乙二人合做24天可以気成，因此甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解.解甲、乙台作12天，完成了总工程

10、的几分之几?712=】.242甲1天能完成全工程的几分之几7乙1天可完成全工程的几分之几?1_1_1244060这批零件共多少个1答=这批零件共亚0令;六年级奥数上册：第二讲比和比例第二讲比和比承在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的正、反工比例关系有关.在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.成正比或反比的量甲都有两种相关联的量.一种量记作R变化时另一种量记作対:也随着变化.与这两个量联系着，有一个不变的量记为kj在判断变量X与滤否成正、反比例时，我们要紧紧抓住遠牛不变量4如杲不变量k是变量卩与册商，即在盜变优吋肾乐的商不变；吐那么y与蛊成x正比例f如杲上是y/的

11、积，即在丈变优时W与直的积不变=xy=k:f那么汽龙成反比例如呆这两个关系式都不成立，那么洱K不成正和反）比例.下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始-例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例了速度一定，路程与时间.路程一定，速度与吋间，路程1定，己走的路程与未走的路程.总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.总产量一定，亩产量和播种面积.整除情況下被除数一定，除数和商.同时同地，竿高和影长-半径一定，圆心角的度数和扇形面积.两个齿轮啮合转动吋转速和齿数.圆的半径和面积-0D长方体体积一定，底面积和高口2）正方形的边长和它的面积.灯3乘公共汽车的站数和票价.（14）

12、房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数.赴5-）汽车行驶时每公里的耗抽量一定，所行驶的距离和耗抽总量.分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一雅量也随着变优，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两卒相关的变量棗y用工二上或用即二咏袤示,其中上是定量.如杲不能写岀这两聊形式，或只能写总加减法关系，那么这两种量就不成比例.例如需=速度，速度一定，路程与时间成正比例.制造每个零件用的时间X零件数=总时间，总时间一定，制造每人零件用的时间与要制造的零件总数成反比例.路程一定，己走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例.解：成正比例的有；0X、軽成反比例的有：、（口）

13、、（14）不成比例的有、（l-2k（13）.例2条路全长翱干米，分成上坡、书路、下坡三段，各段路程长的比依次是2.-某人走各段路程所用时间之比依抚是-5/6,己知他上坡的速度是每水吋g千氷问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据己知条件先求出此人走上玻路用了多少吋间，必须知道走上坡路的速度题中厚小吋行3千氷和上坡路的路程，已知全程旳千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是LJ2：3,就可以求出上坡路的路程.辄上坡路的路程；60X10C千米）走上坡路用的时间匸（?卜吋）.上坡路所用时间与全程所用时间比:走完全程所用时间*TOC o 1-5 h z141015=X=3

14、1534管：此人走完全程共用12*小时.洌3块合金内铜和锌旳比是和鼻现在再加入6克锌，共得新合金3$克，隶新合圣内铜和肆馬比常分析要求新台金內铜和锌的比，必须并别求出新合龛内铜和锌各自的重量.应该注意到铜和锌的比是2合金的重量不是霸克匚而是直6-6；克.铜的重量始终没着龙.解铜和锌的比是其3：吋，合金重量：36-6=30.铜的重量：2.3,0汰2七=12（茫）新合金中锌的重量；36-12=24（克）新合全内铜和锌的比=12；24=1；Z笥新合金内铜和锌的比是1:2,例4师徒两人共加工零件1尿个，师溥加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时.两人各加工零件多少奉勺分析师博加工一

15、个零件用亍分钟，每分钟可加工W个零件，徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件+个，师徒两人效率的比是$由于两人的工作时间是一定的，根据斗亞二工作时间（一定）工作量与工作效率成正比例.解法X设师傅加工X个,徒弟加工个F1:孟_11阿-齡一T9濫二9163-55x=1689-9k,.1牡=162織9,k=108：i68-K=i6a-ias=soC-）.昔：师傅加工1眈个，徒弟加工帥个解法2：由于师、徒两人工作皱率的比是、p那么他们工作量的比也是右；因此师博工作量是徒弟工作量的（倍）,徒弟的工作量为1倍量.4=1宀近=60C个“徒弟.60X（l-|）=103（个），师傅）解袪莖师傅每分钟加工扌个

16、，徒弟每分钟加工右个，用相遇问题思考方法可求岀两人吝用了多歩分钟.然后用师、徒每分钟若自的数率J分别乘以540就是各自加工零件的个熱1114.168-Cj+y）=160-=540分钟）.求女工比男工少.几分之几，应该用男工与女工的人数差除以男工人数，即此时把男工人数Cif）看成单位“1恐fln222即+j；=y答：女工人数比男工人数少#2所求的量也可以表示为1”减去女工的“”除以男工的1之商,说明倍量的转换引起了百分率的转他其规律是，甲数是乙数的二则乙数就是甲数的巴.甲数比乙数多则乙数就比甲数少一匚一;babb+a甲数比乙数少?，则乙数就比甲数多宀拿握了这些规律，在进行百分bb-a率转优时就可

17、以做到快而淮-例2第三修路队修一条路；第一天修了全长的；门笫二天与笫一天所修路程的比是4；民还剩500米没修，这条路全长多少米1分祈此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，校分数应用题解答.第二天与第一天所修路程的比是4；乳即第二天修的占4份.第一天修的占H粉，4-3=|.第二天修的占第一天的扌，也就是第二天修的占全.长的lx|=|.知道了己條的占全长的几分之几，就可以找到未修的刃0氷相对应的百分率，进而求出全长有多少米.1r14.（S；刘0亠1111=500-l-y=500一1貪=1200米）.答;全长是1200,例3有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的土相等,求

18、两个班各分到冬少皮球？1Z3_班III1/2讪口平二班fiJ分析上圏中壬是以一班为单位“1J土是以二班为单位1=单位-T不一致，因此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，也就是说才右的单位不统一，不能直接相加减，必须进行L百分率转他才能做此题.解法L用白分率转化袪统一单位rr题目中告诉我们班的+与二班的士相等j即一班的+和二班的j相对应，可以用卜+得到二班的球数相当于一班的几分之几总球数1麗就和两个班的百分率之和相对应-求出丄班分到多少皮球.二班分到的球占一班的几分之几：1.1_22一班分到多少皮球:120-+-p=72戲个），二班分到多少皮球：120-72=48（个）.答：一班分到W个

19、皮球，二班分到饰个皮球.根据上面解题思跖也可以用”刍请试着做一做。、-3、-3解法足用倍比转化法统一单位罕J看一班的鬥中有几个即有几个二班的找到一班分到的球数占二班的几分之几，转化成和倍题，就可求岀二班分到多少球.一班分到的占二班几分之几：二班分到多少球：.3.120-（1+二佃金mL-1一班芬到多少球：120-48=72个）.例4甲、乙两班共開人，甲班人数的|与乙班人数的扌共有掰兄问两班各多少人7團出线段图甲班工乙班分析以上图可看岀甲班人数的嚅和乙班人数的扌就是甲、乙两班TOC o 1-5 h z5353总人数的4是脚淡:二)6.3A丽甲班人数专与乙班人数的二共気44o453人半这就可以看出

20、甲班人数的?与甲班人数的匚相差C63-5B=&5人.o4由量.右分率的对应就不难求出甲班人数了.籟甲班人数：伍4冥二-恣f加-約44q=5-=40宅人).O乙班人数84-40=44(人).：笥甲班有40人，乙班有44人*例5加工一批零件，甲乙二人合作需应天完成匚现由甲先工作3天，然后由乙工作2天还剩这批零件的即殳完成.己知甲每天比乙少加工4个，这批零件共有多少个7分析解答此题要用条件转优法，即把“甲工作3天，乙工作2天J转化为二人合作2天.再由甲独干一天:化，问题便可以得到解决.由“甲乙二人合作12天可完成可知甲乙二人每天共加工这批零件的右，441根据“还剩这批零件的;可求岀完成的部分是这批零

21、件的1-=:.这扌是甲H天和乙2天的工作量，也可以看成是甲、乙二人合作2天和甲再单独工作1天的工作量，由此可得岀：甲的工作敷率是(1-1x2)-(3-2)=,乙的工作效率则是右一存寻,这祥就可以找到甲.乙每天相差的4个零件所对应的百分率洪求出这批零件有多少个-M=甲每天完成这批零件的几分之几丫护2）一（3一2）=命乙每天完成这批零件的几分之几1_111130-20这批零件井有多少个：円茶命=240（个】答:这批零件并有240-.例6服装厂一车间人数占全厂的25%,二车间人数比一车间少孑3三车间人数比二车间多/.,三车间是156A,装厂全厂共有多少人？分祈题目中除全厂外还有两个单位rs平是一车间

22、-另一个是二年间.可以適过转优怖思路，统一到一年间.找到三车间的156人相当于一车间的几分之几，从而先求出一车间的人数，由于一车间人数占全厂的25%,从而直接求出全厂的人数，这样可无需求出二车间的具体人数-解=二车间人数是一车间的几分之几=三车间的人数是一车间的几分之几:一车间有多少人:156-（人）全厂共有多少人150*25將=600人).综合算式;卜TO亠护召戶申43-.=1冗亠匕莠1而亠2拠26=156-25%25=600(A答:这个服装厂全厂共有600A.六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体笫五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的?也是我们较为熟悉的立体图形-如下图，

23、长方体茯有六个面每个面都是长方形）.，八个顶点，十二条DC处Bi在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.两令全等图形的面积相等，对应边也相等）-长方体的表面积和体积的计算公式是；长方体的表面积.5长方=2-所以，原来长方体的体积为：V=h=257=175立方厘米）.例2如下圈，r氽边长加aJE米的正方体分别衽它的前氐左右；上下各面的甲心位置挖去一个截口是边长为缠米的正方形的长方体士都和对面打1I3L如果这*镂空的物体的表面积为2刃2平方厘米，试求正方形截口的边长.解：原来正方体的表面积为：石栄3/3乱=09#（平方厘米木个边长为包的小正方形

24、的面积为：右心絵二阳J（平方厘氷环；挖成的每个长方体空洞的侧面积期3aXaX4=12a3（平方厘米）：；三个长方体空洞重叠部分的校长为迁的小正方体空洞的表面积为；日H=4尹平方厘癒.韻拓理意弋69a56a+312屮耳矗）=2592,化简得=5-6+24=2592,解得/二北平方厘米）,故赳二合厘米.即正方形截口的边长为首厘米.例3有一些相同尺寸的正方体积木#准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字.但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和増加一倍.辄把每一块积木锯三次，锯成咅块小立方体（如下圈）.这样，每锯一次便得到两个大截面，使

25、表面积増加+倍，锯三洗使截面増加3x|=l（倍）,因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍.例彳有太中、小三个正方形水池爭它们的內边长分别为4米、$米、2米，把两堆碎石分别沉役在中r不不池的水孔两个氷池的水面分别升高了4B米和11厘米.如果將遠两堆辞石都沉没在天水池中，大水池水面将升高多少厘米T解水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的辟石体积.忍人孔外水池中的辞石的体积分别是；3心汶0.讯=&36立方米，2X2X0.11=0.44立方氷.它们的和是0.36+0.44=0.8立方米.把它们都沉灭大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0宜立方米，而大池的底面面积是4X4=16平

26、方米，所以，大水池的水面升高：O.S-16=5厘氷；例H下图是正方体的展开圈之一，当用它组成立方体时，圈中的哪一边与带*记号的边相按融呢？解；对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考虑边的连接会更简洁：首先和肓连接，其次HWI连接，且我Y、Z三点重合为正方体的一令顶点因此与*连接的是K边.例6下图是正方体的种展开图和2种伪裝图即它们不是正方休的展开EI.请你指出伪装图是哪两卒卷B(9)(2)(10)(4)(12).(131解=无论哪一个图中都有六个小正方形；都奸像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是(10)和(12),送两个图略都是有五販在拼合时不成问题，但

27、是最后一匣总是挤在外匣血成不了正方体.例7如下面的各图中均有若干个六面休，每小题图中的几个六面休上直、B、C.D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中六面体上刻字母的方式是気全一样的）试判断各小题的圏中A、B.C三个字母的对面依次是哪几个字母？901C3)/CahCFDETIIh1Ec/IC7ZA7B=由图中可知，直与HC.E、F都相邻，故A的对面是D.E、F的位置可按右手关系得岀伸岀右手伸直大猾扌旨按中右图所示，让四指方向从盘转动而扌旨向F,此时大拇指正好指向E（向上）.如果，判断为F在E对E,由（1）中左圏所示，让四扌旨的方向从A向卩此吋大拇指指向E,与（1）中右图矛冑故F在E的

28、对面，E在C的对面.（2）（6）按佻氏C顺序给出对面的字母；（2）E、D、F；瓦E、D?（4）D、瓦E?（5）E.D、F；（6）瓦E、D.例&有一块正方体的蛋糕-用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正穴边形，应该怎样切呢辛1股j也按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中（1）的正方形或者像（iL那样的长方形.如果斜切下去时样子就不一样了，比如像G）那即笛以打算切的顶点作一方，将不相邻的某一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形；如果再进一歩，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图刁所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相锋，相邻边夹角也相等，边数是六，故

29、是正六边形.六年级奥数上册：第六讲立体图形的计算笫天讲立体图形的计算并且知道了它在小学阶段，我们除了学习平面B3WE还认识了一些简单險立体图形如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体直圆锥体、球体等，们的体积、表面积的计舁公式，归纳如下.见下图.V=sh在数学竞赛中，有许多几何趣题，解笞这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来.例丄下图是由冷个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积.分祈与解答求这个长方体的表面积，如杲一面一面地去数，把结杲累计相加可以得到答案，但方法太鑒.如果仔细视察，会发现遠个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等.因此列式为/-C9+S+7）

30、X2=4S（平方厘米）.答;它的表面积是48平方厘米.例2个圆柱体底面周长和高相等.如栗高缩短了2厘氷，表面积就减少12一咒平方厘米.求这个圆柱体的表面积.分靳一个圆柱体底面周长和高相需，说明圆柱体侧面展开是一个正方M.解题的关犍在于求出底周长.根摇条件：高缩短2厘米，表面积就减歩12一丸平方厘氷，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12%平方厘贰所以底面周长C=12.56-2=6.28CH米.这*问题解决了，其它问題也就迎刃而解了.解；底面周长也是圆柱体的高）；12.56-2=6.25厘氷）.侧面积：6.28X6.28=9.4354平方厘米两个底面积、取兀=3一1

31、4）:望14魏X灼咅盅平方厘米艮z汽A14表面积；9.43S4+6.2=45.71S4（平方厘托Q管：这个圆柱体的表面积是4至71嗣平方厘米*例3个正方体形状的木块，棱长対1米.若沿正方体的三个方向分别锯成孑份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体筑块，这和块长方体的表匣积的和杲芻少平方米？分析如果将加个长方体逐仝计算表面积是个很复杂的问題，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事.如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面I这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积増加1+1=2平方米，達样只要计算一下锯的总次数就可使问题得

32、到解决.W=原正方体表面积：1X1紬=5（平方米）一共锯了多少次：次数比分的段数少D3T）+C4-1）+C5-1）=9（次）表甌积；6+2苓9=2讥平方氷答:60块长方f本表面积的和是24平方氷.例4一平洒精瓶,它的瓶身呈圆柱形不旬括淞颈）,如下图.已知它的容积为2匸航立方厘米.当瓶子正放时，和内的洒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米.问：瓶内洒精的体积是多少立方厘米？合多少升？T61-分祈由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的T总此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6-2）.解s.4KX：=:62.172（立方厘米文取兀=314）62.172立方厘=62.

33、172毫升=0.062172ft.答：洒精的体积是62.172方厘米，合0.062172?h.例5令稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体如下图）圆柱的底面周长是9.42,高2米圆锥的高是0.，求这个粮囤的体积是多少立方米F分祈按一般的计算方法先分别求出锥、柱的体积再把它们舍并在一起求出总体积.佢我们仔细想一想.如舉把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱饥这时圆柱的高0.6=0.2（米）,那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是C2+0.2）米.这样求出变化后直圆柱的体积就可以了.圆锥体化为圆柱体的高；0：6X-=()2(米$.底面积:3.14=7.065（平方米体积：7.065養2+工2）=15.543立

34、方米丁-.答：粮囤的体积是羽立方氷.例6皮球掉在一个盛有氷的圆往形氷桶中.皮球的直径为口厘氷严水桶底面直径为60厘米.皮球有占3的体积寝在小中I下图）问皮球掉进氷中后，水桶的水面升高多少厘米？厘米分析皮球掉进水中后排挤岀一部分水使水面升高.这部分水的体积的大小等于皮球覆在爪中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积.就得到水面升高的高度；解；球的体积;=2茨兀（立方厘米）水桶的底面积:7iX3O=mjr（平方厘米）.小面升高的高度；|x|=l|C厘米答：水面升高等厘米.例7下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是頰正方体的白分之几7保留一位小

35、数）.分祈直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等.剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积.解=正方f本体积：6=216（立方厘氷）.圆锥体积：jx3.14XC|）叽=56.52（立方厘米）.剩下体积占正方体的百分之几.（216-56.52）-2160.73873.8%.答=剩下体积占正方体体积的73.8%.六年级奥数上册：第七讲旋转体的计算笫七讲旋转体的计算分别以頰舷、直角三角舷、直角悌形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲更所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台丫下图）旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫傲它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做

36、它们的底面，不垂亶于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线.圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆往的母线，长是圆柱底面的周长.由此可得5回柱侧二2曲，其中雇圆性侧直的母线长，nt底面半径（下左圏.圆锥的恻面展开图是一个扇形；如上页下角圈这个扇形的芈径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得其中雇圆锥侧面的母线”C是圆锥底面的周长，虑圆锥底面的半径.圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开圈是两个扇形的差，常叫扇坏形.这个扇坏形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面利上底面的周长，于是可得沧厂土1=札其中1是圆

37、台侧面母线长，C上、C下分别是圆舍上底和下底周悅，f上下分别是圆台上底和下底的半径如下图）圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即T圆柱=Sh=7ir也其中为圆柱底面的半径.圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之1,即瞬=Shg兀rh,其中Y为圆锥底面半径.圆台的体积是兀h，上+宀+），耳中，吐rr下分别是上底和下底的半径-例1甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的13倍,乙桶比甲桶高25厘米，求甲.乙两桶的高度.分祈与解答如下图.r广1.5rh+25甲桶乙桶由题意，设乙桶半任为匚则甲桶半径为L*甲桶高度为i则乙桶高度为h+25,则兀(1.5r)2h=(h+25jf2一

38、透li二r2(h+25),2.25h=h+25,.h=20(厘米),h+25=45(厘米).答：甲桶高度为”厘米，乙桶高度为住厘米.例上一块正方形蒲铁板的边长是红厘米，以它的一夺顶点为圆心#边长为羊径画弧沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒；求它的容积毬吉杲取整数部粗鶴如下團扇形弧长=1x271X22=11兀厘米，因此所作的圆锥简底的周长=加=1皿解得厘米.因为母践长是2；厘米，所以圆锥的高1-1=J?，5.宁宀21.3；厘托,甘酗=X5-52x21-3674（立方厘米）.答；所求圆锥筒的容积约为6泪立方厘米.例3在仓库一角有一堆各，呈扌圆锥形（如下图）,量得底面弧长为2临，圆锥的高

39、为1米，这堆甞重约多少公斤各的比重是每立方米重芒0公斤,吉果取整数部分）?解；因为底面弧长为2米，所以lx2nr=2,求帚二氷），因此，谷堆体积为=ixlnx（A）2xi=|x（立方米）41谷子重量为飞。X-X=305（公斤）.答：这堆各子重约孔6公斤.例盘有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，1容器内放着一些石子，石子的体积为罟兀立方厘米，在容器内倒满水后，再把石子全部拿出来，求此吋容器内水面的高度-解如上页圈设石子取出后容器内水面髙度为xB米则啊圆锥容器的容积等于水的f本积加上石子的体积.根据体积公式有11v196x5210=Sprrg二沪菸直亠二77,3-3：2圭頑二

40、（孚X10-1先?：4=54X4=27S=3sX2x6-答.石子取出后，容器内水面的高为6厘米.例5有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形广圆锥的高为07米底面圆周长为&話米，圆台的高为米，下底面周长为4力米.如果每立方氷草约重1切公斤，求这垛草的重量（结杲取整数部分J分析与解答圆锥底面半径：=等=1米八圆锥的体积：117=-Hr2h=叢兀.邈护据7=亍-兀滋CH粵立方氷.型*3330圆台的下底半径：f下二磐二扌氷）.圆台上底半径=1上=f=l米，.3.圆佇咼；h=氷.则砒（宀+F下+甘下TOC o 1-5 h z3-3333L4416=二-n冷3.63d立方米.二草垛体积为；V圆锥+V

41、圆台=0.73+3.63=4.36（立方氷$,故草垛的重量T：150X4.36=654s（：&斤）.笥草垛约重於4公斤.例百如下右劉在长为號厘米的圆筒形管子的橫截面上，最长直线段为沙厘米，求这个管子的体积.初厘米分祈如上左圏，AB是截面圆环的最长直线段，0是截面圆坏的圆心.过。作AB的垂线，垂足是U以0为圆心，以0C为半径作圆，即管截面的內圆周.连结25根据勾股定理有:AO=AC-+COs/.AO?-QC?=ACS同SAO2-OC2=BC2;/.sii环二兀acpoc2二Cao-oc2)解g,先求出管子横截面的圆环面积対兀滋2=10071叢平方厘氷),则管子的体积为三兀.占外徑.h-低呐径h=

42、圆环面积Xh=10(k35=350-(.C立方厘米答；这个管子的体积为3刃血立方厘米.例丁一个长方形的长为16厘氷，宽为12厘氷.以它的一条对角线为轴旋转此长方体得到一伞旋转体.求这个旋转f本的体积.结果中保留五即不用近拟值代替.Y分析与解答如下图,记这个长方形为ABCDf对角线AE的中点为0.过O作EF垂宜于AC,分别交BC.AT于E、F.由对称性知道：E0=0F设P为A0上的任一点，过卫作比0的垂线，分别交折线ABEfl线段AP于M和N,那么MPPN因此，四边形ABEF绕*旋转得到的立体即为四边形ABEO绕恥旋转得到的立体-同祥，四边形CQFE绕AC旋转得到的立体即为四边形CDFO绕AC旋

43、转得到的立体.并且，由于对称性，四边形ABEO与CEFO是淀全一样的，因此由它们绕AC旋转得到的立体也是完全一碎的.这祥，这两个立体的体积相等.所以，长方形ABCT僥眞匚旋驀得到的立体的体积李于四边形ABEO绕AC症转得到的立体的体积的两倍.记由长方体ABCD绕AC旋转得到的立体为硏，由四边形ABEO绕止U旅转得到的立体为匚由ABH舌在A0s垂直于AO、四边形召EOB绕加?旋转得到的立体分别记为1儿U2显然,U1U2有一索公共的边界由KB旋转而成的圆，且U1与匸2皆成!；因此V=2VU=2(VU1+VU2)由.45=12厘氷，BC=16厘氷及勾股弦定理得：AC=20W,所呱0=住0=AE=10

44、厘米再由&在ABE=j-AE*BC=EE得BB=9/厘米.在直角三角形阿艮中再用勾股弦定理，得M-7J厘氷，斯!UB0=AO-M,=2.E厘氷-U1是一毕圆锥，底面半径BB=9.6厘米，髙AB=7.2厘氷，所臥vui=贡72立方厘氷.是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，犬圆锥以时対底酉半径,爼为高，水圆锥以0为底面半径，C0为高，容易知道CBCO+OB12.S厘氷，由EO,0C=AB：BC可以求出EO=F:5厘井t.国此V广.；兀斃963契吃g-|n駅？弓痕10（立方厘米）.所以V.xr.-jrxg.e5312+-irX9.622.S-1兀）7宁汎：10TVL22上二S53.S5I立方厘氷）答

45、匸所求的旋转体体积为E53.n方厘米.六年级奥数上册：第八讲应用同余解题篇八讲应用同余解题在五年级我们已初歩学习丁同余的有关知识同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟岀它的一些运用技巧和方法.例L滁必余1,b除以5余生如果3ab,那么覇-麻以5余几？分祈与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便.解軻a=1(madS,3a=3fmoci5)；或者3aSCmod5).CO又T11(mod5),住)二Cl)-得3a-8-44.(mod5)因此，张一b除以余4.例2若包为自然数，证明10丨(声护們.分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证才赛与汩树个位数字

46、相同.用对于模W两数同余来解，可以使解题过程简化.证明：Ta1：=护-=a(mod10),ai?,E=-,F7-;=a(mod10),.a1F：-一呂i：n；a-a0(mod10).即10|fa?亦一壬浴).说明：这里用到一个事实：对于任何自然数玉涉与込的个位数字相同.例3计算机菲人员平均每分钟可以输入疋个汶字，输入一篇有丙个汉字的文章所用的分钟数恰奸是整数，求五位数而歼.分番运道一鬆实质是求一个能被72整除狗五位数679y.解*丁72=89：.y72|679y由能被乩9整除的特征，得+6+7+9+y=0(mod9)1)?00+90+y0Cmod.(_2)L由(2)得y2(madE)因OCy,

47、即业一斗二gx商，又4的个位数字是気J被滁所得的商的个位数字是5.例5设加+1是质数，证明:：例伞，讷松+1除所得的余数各不相同.分柝这道题肯定不可能通过各数被2口+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个栢同的余数的话就会发生矛眉-而中间的推导是歩歩有根据的（：所臥发生矛盾的原因是假设不合理-从而说明假设不成立；因此原来的结论是正确的.证明：假i殳有两个数乩b,设決弧且lCaCn,&们的平方込盼被加+1除余数相同.那么，由同余定义得去一lx2三0（mod（2ii+l）.即（且+b）（吐一b）三0CmodQi卄1）;由于加+3是质数.a+b-=0-Cmoci如+1或a一b=0mo

48、din+1）.由于辽+b,已-陶小于2n+1且大于零，可知，a+b与N+1互质，a-b也与2n+1互质.即a.+b二且-靖B不能被2口+1整除.产生矛盾，.原题得证.说明：这里用到一个重要的事实：如果AA佝施）,P是质数，那么直或E中至少有一个模p为零.p是质数这一条件不能少，否则兀能成立.例如20tmod法,30od.例&己知】a=19191915-1919,191P-T1919问：濟以13所得余数是几T鶴用试除方祛可知f13|191919,J1919X2=3阳&W3I3837,13：|1919-1900,.湎住19a-19191900=1珈.33371-19即i9ig个澎g有弦弦乍rgj三

49、组三组取走嘟嗦还剩下一组.a=19（mod13）.a6（mod13頁.即滁以13余数是債例7求被滁余塔被，除余3,被7除余5的最水三位数.S=设兀为所求数，由题意TOC o 1-5 h zk=2hi娄d3）9（1）ix=3Cm?d5）,2）（:m阴7）,（_3）匕（3）即x=7k+5（晟整数）.代入得7k+5=3Cmod5、2k=3（mod5）,2k=S（mod5）.ir=4（mod5）,即k=5m+4（ni是整数）./.x=7k+二7（也+4$+5=35m+爭3,上式代入（1）得：3血+33=2Cmo葫,111=1Cniod3),即m=3t+l(堤:整数)兀二込也+33二菇0+1)+33=l

50、Q5t+6S)当t二1时，4=173.二所求的最小三位数为173.例3给岀12个彼此不同的两位数，证明；由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数.分祈证这道题要考虑到以下三点两位数的数码相同时，它一定能被11整除.遇到数是任意的，需排个序，这样讨论表述起来比较方便.用12个数中最大的数依灰地分别减去其余11肇数可得到11舉差.若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这吋这11个差)数各自除以lb所得余数只可能在1或2,典，10中，必有两竽差数的余数相同强考虑用余数造抽屉解题.证明；设12个两位数从小到大排列为；10Cala2,a.l1-&1299

51、,用也分别减去其余的数，得差！bl=112-31ab2=al-a2,-,bl1=al2ali.若上面11个差中有某个差也能被11整除，1P11IGlS-ai),那么己证出数乱12与匝的差臥是两杀相同数码俎成的两位数.若逹11帑差均不能被1谨除，则按不能被11整除的余数造10个扌由园余数相同者归入同一抽屜，根鋸抽屉原理，li平差数中，一定存在两数b叫bn对于橈11同余即；bn-bn=0Cmod11).,即(包12一迦)一(al2an)0(mod.ll),即anann=0(mod11),即11ICan-ajn)即差血-曲是一个由相同数码组成的两位数.综合:.03问题得证.说明：这道题的证明用到了将

52、数按掖11除的余数分类的思想.一般地，任何一线淫数我自然数濟，余数只可能是0,珀2,，hT这址种情況，这祥我们可臥利用余数将整数井为几类，如？整数按除加余1还是0,分为奇数和偶数.又如，整数除以3,余数只能是Q,竝2这三种情况，我们可以把所有整数按除以3后的奈竅分三类，即3匕3k+l,3k+dk是整藪5.这种利用余数分类思想；.是重要的数学思想方法，它可以使研究问題时搜索的范園大大缩小.例9试证不小于弐的质数的平方与1的差必能被筑整除CE明丁质数中仅有一个偶数I人不小于5的质数是奇数又不小于于的自然数按除以首所得的余数可分为6类|弧曲+1,创+忑岛+玉6n+4,Sn+5r（是自然数/其中岛，6

53、n+2,En+4都是偶数f又3|6n+3.二不小于圭的质数只可能是首ti+1,6iiH5.又自然数除以6余数是壬的这类数换一记法是：611-1,C不小于5的质数）2-1=（6n1）-1=36n:12n=12n（3n1）,这里fi与O1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，.2|ii-(3n1),24|12n.C3n1).二结论成立.说明；按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方袪.例皿任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其利或差是10的倍数.分析首先考虑什么样的两个整数的和或差可以被10整除.设两个整数基b?琼包mb(tnod10)r贝lj10|(包b);:碩a=r(mod1Q)?而b=10_r(mod

54、10).,则10|(a+b)，只有遠两种情况.但是如果按整数除以10的余数造抽屉、就有十个抽屉;“对于己知条件中给定的七沖数无法应用抽屉原理；：所以要考虑如何造六个抽屉.根据百先考虑的两个整数被除的两雅情抚，可以把余数之和等于10的并成一类这样分为：血、10kk10k2.10k土久1陆土乂1陆土兰大类，恰奸构造六个抽J6,再应坤抽履原理可解此题.证明根据整数ilTCmodlQ)构造天个抽屆如下：=0的数r=5的数？i=1B9的数*r=2或$的数J【=3或7的数？或百的辣这样任给定的七个整数按照除以的余数口歆入六个扌由屉中二必有一个扌由屉中至少有两个数.这两数的和或差必是10的倍数.六年级奥数上

55、册：第九讲二进制小数第九祈二进制小教我们曾经学了二进制&M,六及各种进制的罄数，以及它们的加减乘除四则运算.大家必然会提问：与进制分数芒尔数类似的二进制令数卜数，如何推广过来于一个二进制分数，就是M晟二进制整数，b弄Q也是二进制整数.b一个二逬制为数，不妨先讲纯小数：04110化为二逬制小数.I(用k責示庞位数.1010(1010)2=(0.0100U0011001-)=-(p.01Q0i)30.01001iOiOjllOOJ1010ioooo1010HOD呢成薩环）逑表示十进制有限小数可能优成二进制循环小数.本节重点讲二进制循坏小数如何化为二进制分数.回忆十进制循坏小数化分数,一是要学习推理

56、中的思想方法；二是最好归纳成一朮易用易记的公式.十进制循坏小数化分数一股必式:纯循环小数：0讪10=alai-ak-扌昆循环小一数；（0,-1劭聲卫1衍炸玄）k-sT-这些公式的推导过程如下；请体会思想方法.设*（O.aL-afc）L0.笫一歩：在此等式的两边乘1九右边相当于小数点右移k包得1此七屁才餌矿玄：第二歩：两个等式左右两边分别相减，左边为whs-sf右边为幻的（巧妙在于差值很整齐，消去了让人害怕的无限长（虽然是循坏）的小数）；S（10k-1）=a1a/-ak=二一.公式证得.至于混循环，只要借用己证得的公式，因为0展E翠塗1幻无）iok-?0k-?01io7的9lI1aiar-：99

57、勺TOC o 1-5 h zlk亍1klk-2-.-f1OO-0-*-a-?ak-护99-9貯9000l.l.k-f片松豔鋒聲儘髓茲黔釘复杂楼式是借用简单情况下对于二进制循环小数化二进制分数，也可同祥推导.设ACo.b-KX.-第一步：两边乘/右边相当于小数点右移竝得护沪b叽讥-第二歩=两个等式左右两边分别相减,左边为2叱-右边为恰为整数,消去了无限长的部分，有：11至于二进制混循坏小数；也记这小数的整体为s呂=如至1鬲0）和则有&译玄瓦h琉）I.1乞溟产-字压*汽耳11-100-0-“Jk个介从推导和记忆规则看.公式和：（2）.与十进制公式和相仿.那么读看一定会归纳岀任意进制的循坏小数化分数

58、的裁式.例1化CO.OOD2为二进制分数，十进制分数.解=用公式fOdOi）2=（帀）2=（y）io例2优Co.0714285）】占（cO.OlOD2为十进制分数解:C0.07142S5)714285-09999990_7142S5-05.119999990=亍1?=(T710101-0.1110；例3化tO.lOOlllOlDM为二进制分数.解由公式.100111011-1001(o.ioornoina=3111110000loonooioinnoooo10011001nniooo直接检脸0.10011101111111110011.001;11111;111010!-J11111I*110

59、110;-)11111;1011101111111111100j-)mil1111010_）11111110110呢成循坏现在再看推导公式的方法，关犍是把循环小数的值设为J好比列方程设未知数F而10-S-S恰好消去了烫手的无限长的小数部分，推岀严方程先（iok-0=科厂如,立刻求解出&这样的思想，在研究等比数列吋也用到了.以前讲过有限项数列；曲，迄辽，ai）an.所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公茯&驰也爲:a.1,a2=alq,a3=a2q,，ai=nilq,*,an=anlq,或a.1,a2=alq,a3=al(f卜,ai=alq1_:,，an=al了一：.现在要求出比1fa2+a

60、3H日i+an.患想方法；第一步；设咅二al+a2+3n=al+alq+alq2+alL_1.上式两边乘上6作为第二歩：qS=alq+包1于十十al(1-1+当珏1时.用上式两边减下式两边，得到即有A字亡（徑i）1-q.公式称为公比小于1的等比级数前11项求和公式.它叙述为；前11项和等于首项与首项蚕公比的故籌的差除以1与公比之差-类似地可推导出；当沪时，A眄屮,9DTOC o 1-5 h zq_1例冷1.1x1.丄X丄十丄X丄77总14-2.2S256-211111=+1-1-.7142856112用鲁我丁q=-：-,&!=pn=5亍（1-亍）_2（2j-1）_31,1=7-2-=匝最后以一