课件现代控制线性系统3

1、3.3 线性定常连续系统的可观测性判据考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程为：& Axt0yCx1.矩阵判据.2.秩判据.线性定常系统完全可观测的充分必要条件为:定理CCA nrMn1 CA或:A TTCT(TA2LTrCA)C(以上均为系统可观测性矩阵.例:判断下列系统的可观测性& AxxBuyCx1)A 20 31C 0(n B2)01 1 2)A 11 B 21C 10 (n 2)111011解：1）TTCTrVrAC12 r0 1 20故系统不完全可观测。2)TTCT1rVrAC10 r 2112系统完全可观测。对偶原理：研究由下列方程描述的系统 & AxCxxBuS1 : yn1

2、AS1为：ABB式中的状态可L其可观测阵为：C TATCTL(A如果另有一个系统 S 2，它的动态方程为：Z&ATCT ZTBZ它的状态可为：L(AC TATCTn1A 而可观测阵B 为 AB那B么系L统 S 2就称为系统S1 的对偶系统。原系统 S1的可控性阵与对偶系统S 2的可观测阵相同，原系统 S1 的可观测阵又与对偶系统的可相同，这就是对偶原理。利用对偶原理，一个给定系统的可观测性，可用其对偶系统的可控性来校验，曾经学过的可观测：0 a00 a10 a2M01001000LL L0A 1 M0MO1 an 1 000C 0 10L即是可控的对偶系统。 将可观测系统化为可观测若n维单输入

3、-单输出的线性系统& Axxbu可观测，yCx M：则一定能找到一个线性变换Mx，x可将系统方程转换为可观测Axxxbu Cy而 A1MAM M 1bCbCM利用对偶原理，构造原系统的对偶系统：& AZ T CTZbTWZ则本系统的可观测性阵C TTCTVAL (C即为对偶系统的可控性矩阵，这样，步骤与可控的算法相同。V TV T n1TnTT则P阵为： VTAVV 12 M MT 1n VnTV n (A )经过P1变换，可将对偶系统化为可控其矩阵之间的变换关系是：1PcAbTTAPPCc又因为可观测与可控之间有下 述关系A ：( ACTT)()bccP1 T)PT PA(TTAAPC(PA

4、1MCA而MCM M PTM PT 就可将系统方程化为可观测例：设系统动态方程：1 x&1 11x1ux& 11x 1 2 2 xy 111x 2 试将系统的动态方程化为可观测，并 求出变换矩阵。解：先判定系统的可观测性CTV2 21TATVC10r n系统可观测，一定能化成可观测 01V 1V T1212 11 n 22 则 11 V TP 2n2 TT10 V( A)n112M PT 即为所求变换矩阵012 211 11 22 10012A M 1AM 011112 1 12C CM 11 010123.PBH秩判据。线性定常系统：& AxyCx完全可观测的充要条件是：对矩阵A的所有ii1

5、 ,特征值(2L, n，均)有：CAni1 ,r2L,nIi价地表示为： nCrSIAPBH特征向量判据。线性定常系统：& AxyCx完全可观测的充要条件是：A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即为A的任一特征值(使)同时满足0的特征向量 0A i,C 5.约当规范型判据.线性定常连续系统：& AxyCx完全可观测的充要条件分为两种情况：1 , 2 L n 当矩阵A的特征值两两相异时，经过线性变换，线性定常连续系统可化成对角线规范型。1x x 2y CxO n 式中 C不包含元素全为0的列。 当矩阵A的特征值为1 ( 1重)， 2 ( 2重)L l ( l重)1 2 L l n且时，经过

6、线性变换线性定常连续系统可化成约当规范型。 x例如：x& 502040001y 07 x230211011121021 1, 2 2, 3 5这里特征值第一列所组成的矩阵均为列线性无关。则：2001000矩阵1列线性无关。0310矩阵220列线性无关。3107矩阵3元素不全为0，则系统为完全可观测。 0例：已知线性定常系统的对角线规范型为：80 01 010 02x& 00 xy x0302试判定系统的可观测性。C中不包含元素全为0的列，故解：显然，系统为完全可观测。下列系统是能观测的：10 x,3 xx&1y 1xx& 0 2x 2 x&0 x2x1201201 y3000 x& 01 x,

7、x x&2x01202 02 y42 x 3x&x,x1 0 x&xx 20 x0 y1111101x& 0 0 x y3x&1x0 x 0 2 30 x& 3x4 x5 下列系统是不完全可观测的：xxx10&11y 0 1,1xx& 0 2x 2 2 2 x&1 20 x3x120120 y012x& 01 x,x y0,0402xxx&x&1 2x1 012x 2x&200 y1111100 x&3 0 0 x y30 x x&401 2 304 3x5 x&56. 用传递函数矩阵表达的能观测性条件类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或

8、传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。(s 1)(s 4)例：传递函数为 Y (s)(s 1)(s 2)(s 3)U (s)显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不完全可观测的。(s 1)(s 4) 5s 4s2Y (s) (s 1)(s 2)(s 3) 6s2 11s 6s3U (s) & AxxBu化为状态空间表达式为：yCx式中x1 0 001011x x,A 0 1, B,0C4512 6 1 x3 6由于能观测性矩阵67 14 T 6CO 5 C1 R TTTTT2SMAC( M6) A5 167 1455 0 1nr3注意到1即或者rSO 2，故该系统是不完全可观测的。非奇异线性变换中的不变特性.已经学过:把A阵对角化或化A阵为约当阵,则: P 11APAP:PJ化可控系