向量加法运算教案

1、向量加法运算及其几何意义问题提出向量加法运算及其几何意义 是人教版高中数学必修四第二章第二单元 平面向量的线性运算 的第一节课的内容。 向量是一个知识的交汇点，在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。它是沟通代数、几何、 三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面。向量的加法运算是向量运算的基础， 在学生已学物理知识后， 以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算。 向量的加法不同于数的加法， 运算中包含大小与方向两个方面， 从这个角度来看， 研究向量加法是学生学习过程中的一种突破， 是学习向量的减法、 数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础， 为进一步理解其他

2、的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，从而表现出向量加法的数学本质及其几何意义具有重要作用。 因此， 如何设计教学使得学生有效把握向量加法的数学本质及其几何意义显得至关重要。本文尝试对向量加法运算及其几何意义 第一课时采用“概念形成” 的方式设计教学， 以具有启发性问题串引领， 促进学生建构向量加法的数学本质及其几何意义。下文简述设计的基础及其设计内容，并作扼要评述。教学设计的基础学生的认知和经验基础学生已经学习了物理中的位移和力等知识时， 已初步了解了矢量的合成， 认识了矢量与标量的区别， 在生活中对位移与路程也有了一定的体验， 这为学生学习向量知识提供了实际背景。 学

3、生能够从物理的力和位移的合成中去感受向量的加法的含义， 具备建构向量加法的三角形法则和平行四边形法则的知识基础和经验基础。教学设计的理论基础问题驱动探究视野下的数学教学倡导通过教师 “由远及近”的启发， “由弱到强”的提问，达到学生以参与者的身份“从无到有”的探究。通过该探究过程，引导学生阅读数学材料， 启发引导学生提出数学问题， 引导学生经历数学概念的建构过程， 促进对数学概念的理解， 引导学生经历数学知识发生发展的关键性的步骤， 总结数学思想方法， 积累数学活动经验， 培养学生的数学思维能力，培养学生的数学素养， 培养学生问题解决能力， 培养学生数学美学的审美视角， 培养学生数学创造性思维

4、， 使学生获得数学思维范式、 数学思想和数学原理，促进学生数学智慧的生长与发展1 。教学目标的设计向量是近代数学中重要的基本概念，是中学数学的核心内容，具有工具性的特点，而其工具作用主要通过向量的运算得以体现的。 向量的加法运算是向量运算的基础， 它是以物理学中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算。 依据 普通高中数学课程标准（ 实验 ） 的要求， 结合学生的认知特点，确定这节课的价值取向是强调本质、再现过程、发 展思维、提升能力。基于此，我们将本节课的教学目标确立为：知识与技能： 掌握向量的加法定义， 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出 两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算

5、律，并会用它们进行向量计算。过程与方法：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。情感、态度与价值观： 经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程； 在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。数学思想与数学活动经验： 经历用数学符号、 图形描述现实世界的过程， 发展合情推理和演绎推理能力。领悟数学知识发生与发展过程中的数学思想方法（ 公理化思想、 分类思想、形数结合的思想等） 。同时，通过研究向量加法运算及其几何意义为之后学习向量其他的运算奠定研究的活动经验。教学过程的设计重温旧知， 引出新知是我国数学教育的特色，

6、 既符合人的认识规律， 也与现代认知主义理论、建构主义思想一致2 。通过对旧知的复习，为新知自然的从学生认知结构中流淌出来奠定基础。自然的，我们设计如下复习旧知的问题：启发性问题 1： 关于“向量” ，你知道多少（时间等待 ） ？你能把这些知识的关系组织起来吗 （ 时间等待， “由弱到强”的提问 ） ？【设计意图】通过“关于向量 ，你知道多少？”这个问题，学生自然的要回忆其所学过的向量知识， 经过学生在其认知结构中主动搜索并提取这些知识， 这些知识就被暂时存入到工作记忆中， 以备主体的数学思维操作对其深加工。 而问题 “你能把这些知识组织起来吗？” 是在前一个问题的基础上， 启发学生对他们所回

7、忆的知识进行关系组织， 通过学生主体对这些知识进行关系组织， 这些知识之间的关系在学生的数学认知结构中生成， 这些知识的意义同时在学生的数学认知结构中深化。 在学生组织知识关系的过程中， 这些生成的关系具有其非线性和自组织性，关系之间的弹性更强，利于迁移。启发性问题 2： 我们今天学习什么呢 （ 时间等待，不用提问 ） ？类比一下实数，实数有加减乘除法，向量有没有呢 （ 时间等待，不用提问 ） ？如果有，我们可以先研究哪个运算呢 （ 时间等待，提问 ） ？对，加法！因为加法最简单，数学研究都是从最简单的入手，由简单到复杂的过程。好，我们来研究向量的加法！【设计意图】在复习旧知并组织旧知之后，自

8、然要探究新知，但是新知是什么？未知！因此， 要引导学生提出本节课的研究课题， 只有确定课题并明确所研究课题的因由后， 学生才能明确探究的方向。 此外， 由于我国学生提出问题能力相对较弱， 那么引导学生提出课题显得尤加重要。在引导学生提出课题过程中，我们遵循引导“由远及近”的启发原则，引导学生逐渐提出本节课的课题向量的加法， 同时渗透数学研究的一般方法由简单到复杂。启发性问题 3： 我们先来看一个具体的问题，如图 1，我国男子台球队运动员丁俊晖在遇到如下困难， 他要击黑球，却被黄球挡住了，如果你是丁俊晖， 你该如何处理（ 时间等待，由弱到强”的提问）？【设计意图】在引导学生提出课题“向量的加法”

9、之后，自然要研究“向量的加法”，如何研究？要依然遵循数学研究的一般方法一一由简单到复杂，由具体到抽象，由直观到抽象的过程。现在依然如此。为了激发学生的探究兴趣， 我们设计了我国男子台球队运动员丁 俊晖击球遇到困难的情境，同时以换位思考的问题“如果你是丁俊晖， 你该如何处理？”引导学生以当事人的视角思考与探究问题。由于学生已经在物理中学习了位移知识，自然能够把物理中的这些知识迁移到当前问题情境中，经过学生探究、画图、讨论，最终问题自然获得解决。如图2。在学生解决该问题后，自然的，由该问题情境可以抽象出启发性问题4。图2启发性问题4:位移求和时，两次位移的位置关系是什么（时间等待，不用提问）？如何

10、作出它们的和位移（时间等待，“由弱到强”的提问）？【设计意图】引导学生从解决所给物理问题抽取研究方法， 并把方法数学化。 在此过程 中，学生经历了一次运用物理知识解决现实问题的过程，并把研究方法、研究思路和研究过程做出归纳概括，并进一步语言化与语义化，使得学生经历一次完整的研究问题、 解决问题、 总结问题的过程，体验研究思路开放与聚合的过程， 积累探究数学的活动经验。 学生很快得 到问题的答案：两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点。启发性问题5:位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，正是我们研究的向量。类比【设计意图】由于学生刚刚经历了位移求和的探究过程，这些研究思路和研究经验在学生的数

11、学认知图式依然保持着“热度”，在此“热度”基础上探究 a+b要相对轻松一些，但是并不是没有难点，这个难点就是启发性问题6。启发性问题6:和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢（时间等待，教师点拨）？【设计意图】启发学生认识到数学中的向量和物理中矢量的区别与联系。即数学中的向量比起物理中矢量最大特点在于数学中向量的自由性，即数学中的向量可以自由平移，而物 理中的矢量不能自由平移， 这需要教师对探究的学生中进行适时点拨与指导。经过学生的探究、讨论和小组合作学习，学生会得到与“在平面内任取一点O,平移a使其起点为点 O,平移b使其起点与

12、a向量的终点重合，再连接向量 a的起点与向量b的终点”类似的结论。这时，教师可以画龙点睛式的给出向量加法的准确定义：如图4,已知非零向量a,b,在平面内任取一点 O,作0A=a, AB=b,则向量OB叫做向量a与b的和.记作：a+b.即a+b=OA + AB = OB .求两个向量和的运算，叫做 向量的加启发性问题7:现在请大家回顾一下，咱们做了哪些事情，是怎么样获得向量加法的三 角形法则的（时间等待，小组合作、交流、探究、发言 ）？【设计意图】这个启发性问题在于引领学生对刚刚的研究过程进行反思与反省，对研究过程和研究方法进行概括，特别是对研究方法的概括显得非常重要，即由物理中求和位移的方法类

13、别，再结合数学中向量的自由性而获得向量加法的三角形法则。这是对研究方法的概括，这个研究方法对后面的研究有启发和示范作用，为学生可以类比这个研究方法对接下来的问题进行独立探究创造了条件。况且，概括能力对数学学习尤其重要。概括本身是重要的思维动作（心理动作），概括能力也是重要的数学能力，培养学生的概括能力是数学教学 的重要任务。及时的概括总结也有利于使学生应该获得的和方法落到实处。因此，不仅象这种重要的地方需要概括总结，而且教学和学习过程的各个大阶段、小阶段都要做必要的概括总结。启发性问题8:刚刚我们从求和位移的方法中得到向量加法的三角形法则，现在还有没有获得向量加法的其他法则？类比物理中的求矢量

14、合成的其他方法（时间等待，小组合作、交流、探究、发言）。具备相应的研究基础和【设计意图】由于学生刚刚已经研究过向量加法的三角形法则,研究经验，学生自然能想到力的合成方法，这是学生获得向量加法平行四边形方法的物理模型。经过学生的自主探究和小组合作学习，学生很快就能获得向量加法的平行四边形法则：如图5,以同一起点。为起点的两个已知向量 a、b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行什么区别与联系啊（时间等待，“由弱到强”的提问）?它们之间有【设计意图】现在学生已经获得了向量加法的三角形法则和平行四边形法则，但是学生 未必能把握住这

15、两种法则的区别于联系， 弄清这两种法则的区别于联系有助于这两种法则清楚的内化在学生的数学认知结构中， 也便于从认知结构中提取、利用和迁移，基于此， 需要 引导学生进一步深入认识者两种法则的区别于联系。于是，就有了如上的启发性问题 9。学 生通过比较所学向量加法的三角形法则和平行四边形法则，不难发现：三角形法则-两向量首尾相连接；平行四边形法则-两向量共起点例题：如图6所示，O为正六边形的中心，化简下列各式： OA OC ；(2) BC FE ； OA ED FE .【设计意图】在数学课堂上，教师引导学生建构新概念、新命题意义的过程，并不是一次性完成的，而是持续不断地、逐渐地内化到其认知结构中。

16、因此，学生在运用新概念、新 命题的技能上的熟练程度也是逐步提高的，同样需要在不同的问题中不断地使用这些新概 念、新命题逐渐达到自动化。新知学习后，例题的作用是帮助学生吸收同化，简单运用，加 深理解，把握要领。 在此基础上，要安排学生板演例题的解答过程，学生的板演充分反馈出 学生对此节课的理解掌握程度，同时促进学生固化该节课的知识点。启发性问题10:回顾一下我们今天获得向量加法的三角形法则和平行四边形法则，你 有什么收获？【设计意图】引导学生对本节课的研究过程进行回顾与反思，把研究所获得的概念、 命题等及其获得这些概念、命题的方法以联系的视角重新审视，建立这些概念、命题及其方法之间的联系，使得这

17、些知识及其方法之间以空间网状结构而存在，并保持一定的弹性和开放性，以利于迁移、同化或顺应新知识及其新方法。通过学生的思考，引导学生建构类似如下研究过程的模型，如图 7。向量向量的加法I延五理中矢量超责I三角形法则平行四边形获 |两力量首也两看量 I尾顺藕接“V共起点I图7思考题：今天我们研究的都是非零向量，如果零向量参与运算， 结果如果？向量加法是否具有类似实数加法的交换律、结合律呢？下节课继续研究。向量数乘运算及其几何意义教学设计一、教材分析.新课程标准的解读分析向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，是重要的数学模型。在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计

18、算机探索和解决问题。在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。.在整个高中教材中的地位和作用。向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中。.本章节地位、本节的逻辑关系。向量数乘运算及其几何意义位于人教版必修42.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用。学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。通过前面学习两个向量的运算，进一步转化 为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。二、教学目标设计（一）教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理。难点：向量共线定理的探究及其应用。（

19、二）三维目标设计.知识与技能：通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算， 能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。.过程与方法：理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的 能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。（三）教情学情分析本节课是为高一 8班的数学教学而设计的，因为我任教的是高三，所以对本班级的一些情况缺乏了解。通过与任

20、课教师以及所在班学生的交流得知，前面学生已经学完向量的加减运算，学生具备一定的独立思考，合作释 疑的能力。因此，本节课采用“探究释疑”的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目 的。（四）教学预设前制定的预习提纲一、基本知识点.一般地，我们规定 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：（1）2） 2.向量数乘的运算律：（1） （结合律）（第一分配率） （第二分配率）二、三基自测Tf*1.计算 5 （3 a-2 b）+4（2b -3 a）=fc fc-fffffc ra与 b 不共线，若 AB = a +b, BC=2a+8b, CD 3（ a-b）求证：A

21、B、D三点共线。（五）教学策略通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生 的自学能力和分析解决问题的能力，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学 氛围。三、教学内容设计课题：向量数乘运算及其几何意义课型：复习课教法：探究释疑和多媒体辅助教学的方法教具：多媒体及课件辅助教学【教学程序】复习向：的加减法 irL探究数乘向盘的定义L探究数乘向量的运算律探究向个声线定理liL例题与练习【教学过程】（一）引入.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式。问题1:向量加法的运算法则？问题2:向量减法的几何意义?学生回

22、答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）。向量的减法：0a a, OB b则ba a b 0 （共起点，连终点，方向指向被减数）。.问题情境：一质点从点 O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用 a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示。这是何种运算的结果？启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系.【探究11已知非零向量a,作出a a a和（a） （ a）,你能说处他们的几何意义吗？a O a a a A- -4 4- -a b -a -a p问题1:相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2

23、:这些变化与哪些因素有关？将学生分成两组，第一组：a a a；第二组：（a） （ a）让学生在白纸上作出图像，并讨论两个问 题。最后学生之间互相交流，总结结论。生：3a与a方向相同且3 a 3 a ;生：2a与a方向相反且 2 a 2 a师：非常好！教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式。（二）新课讲解请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数人与向量a的积？启发学生从以下角度思考：a是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕一般地，我们规定实数人与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量 的数乘，记作：a ,它的长度和方向规定如下：a | |卜 _（2）当人0时，a的方向与a

24、的方向相同；当入0时，a的方向与a的方向相反。由（1）可知，当 0或a 0时，a 0【探究2】问题：求作向量3(2a)和6a ( a为非零向量)，并进行比较。Ta . 9 a a a a a a-it-T. 2a2a2a问题二：已知向量a、b,求作向量2(a b)和2a 2b,并进行比较a,(将全班划分为 2个小组，组内同学展开讨论，提出方法并自主探究。教师在学生中进行巡视，了解学生的进展情况，并适时加以引导。在整个过程中，同学们都能积极思考问题，参与的热情很高。)师：鼓励学生踊跃回答生：结论：3(2a) 6a , (2 4)a 2a 4a生：2(a b) 2a 2b类比实数乘法的运算律向量数

25、乘的运算律：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有:结合律：(a) ( )a第一分配律：( )a a a第二分配律： (a b) a b为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作出证明，只要求学生会用小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算。例1：计算(口答)(3) 4a f3(ab)2(a b)a(3)(2a3bc) (3a2bc)设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算, 可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点解：(1)原式=12a(2)原式=(3 2 1)a (3 2)b 5b(3)原式=(2 3)

26、a (3 2)b (1 1)c a 5b 2c剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量a、b及任意实数、，恒有(1 a 2b) 1 a 2b。3、向量共线定理思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？生：数乘向量与原向量是共线的。【探究3】问题1 ：如果 b a( a 0),那么，向量a与b是否共线？问题2： b与非零向量a共线， 那么，b a ?(学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论。教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况)-b-ffc-w生：对于向量a(a0)、b,如果有一个实数，使得ba,那么，由数乘向量的定

27、义知：向量a与b共线。生：若向量a与b共线，a 0,且向量b的长度是a的长度的 倍，即有b a,当a与b同方向时，有b a;当a与b反方向时，有b a ,所以始终有一个实数，使b a。师：如果没有a 0的限制，会有什么结果？(学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态。)生：问题1成立。0与任意向量都是共线向量。生：问题2不成立。向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯个实数 ，使得b a评析：1.让学生正确理解定理包含的两层意思。也就是将来我们在选修中学到的充要条件。.让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只有用非零向量，才能表示与它共线的所有向量。.通过分组讨论后

28、，集同学们的劳动成果、智慧于一体，彼此之间再进行交流，充分体现了 “众人拾柴火焰高”。*fIb-j-fe-ir卜rir例2.已知任意两非零向量a、b,试作OAab,OBa2b, OCa3b。你能判断a、b、c三点之间的位置关系吗？为什么？设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法。教学中可以先让学生作图， 通过观察图形得到 a b、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路，具体过程可由学生完成。解：作图如右(过程略)依图观察,知 A、B、C三点共线。证明如下：AC OC OA (a 3b) (a b) 2

29、b又 AB OB OA (a 2b) (a b) bAC 2AB ,又AB与AC有公共点a,A、B、C三点共线。评析：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再有一个公共点，得到三点共线。教学中利用多媒体作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A B、C三点始终在同一条直线上的规律o【变式练习】如图，已知 AD3AB、DE 3BC ,试判断AC与AE是否共线？解：.AD 3AB、DE 3BC又 AE AD DE3AB 3BC 3(AB BC)3AC AC与AE共线。评析：证明向量共线，可以直接运用定理。思考：在本题中，若 B C分别是AD AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BCD DE呢?生：DE AE AD不重合，所以BC/ DE3AC 3AB 3( AC AB) 3BC,即 BC/DE,又因为 BC DE(三)课堂小结通过本节学习