aav-期权定价B-S期权定价公式

1、第六章期权定价.教学内容股价过程BSM随机微分方程风险中性定价B-S期权定价公式标的资产支付延续红利情况下的期权定价欧式指数期权、外汇期权和期货期权.马尔科夫过程(Markov process)无记忆性：未来的取值只与如今有关，与过去无关假设股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时辰的概率分布不依赖于股价过去的途径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性.Wiener过程(布朗运动)定义瞬时增量为增量的均值等于0增量的规范差等于在恣意两个微小时间段内的改动量是独立的Wiener过程是Markov过程.Wiener过程(布

2、朗运动)根本性质Wiener过程(长时间段内)的增量增量的均值等于0增量的规范差等于在恣意时间段内的期望途径长度为无穷大在恣意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无穷大.广义Wiener过程x是广义Wiener过程，假设漂移速度a是常数b是常数x是广义Wiener过程增量 为正态分布，均值等于规范差为.Ito引理x是Ito过程，假设Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正那么条件下，因此，G也是Ito过程.Ito引理运用于股票远期价钱标的资产为不分红的股票，那么远期价钱为运用Ito引理，得到，.股价过程股价过程：几何布朗运动 ， ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时) ：股价的动摇率 .S为股

3、价过程，那么.股价过程对数正态分布股价对数过程，称股价呈对数正态分布.股价过程收益率分布股票收益率(长时间尺度)与瞬时期望收益率的差别商定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率.BSM随机微分方程假设股价过程为Ito过程卖空无限制没有买卖本钱、税收，证券是无限可分的衍生工具在到期之前不产生红利不存在套利时机证券可以延续买卖一切期限的无风险利率同为常数.BSM随机微分方程推导f表示股票衍生工具的价值，那么它是股价与时间的函数离散方式.BSM随机微分方程推导由于股价过程与衍生工具价钱过程中的随机部分是一样的，因此，经过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉Wiener过程。1个单位衍

4、生工具空头， 份股票把上述投资组合的价值记作.BSM随机微分方程推导组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差别表达在边境条件上欧式买权：当t=T时，欧式卖权：当t=T时，.BSM随机微分方程运用于股票远期股票远期的价钱满足BSM方程.BSM随机微分方程BSM的任何解 都是某种可以买卖的衍生工具的实际价钱，并且它的买卖不会导致套利时机假设 不满足BSM方程，它是某种衍生工具的价钱，那么该衍生工具的买卖必然导致套利时机 .风险中性定价(risk-neutral valuation)Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，阐明衍生工具

5、的价值与投资者的风险偏好无关。因此，在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中，一切证券的期望收益率都等于无风险利率风险中性定价的普通程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff)把期望支付按无风险利率贴现风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性的投资者).风险中性定价运用于股票远期边境条件：根据风险中性定价原那么，.欧式期权定价期权定价是一件非常具有挑战性的义务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图处理期权定价的问题，但都未能获

6、得令人称心的结果。在探求期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的任务出如今1973年金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式Black-Scholes欧式期权定价公式，讨论了期权定价在估计公司证券价值方面的运用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研讨的经典方法M. Scholes主要由于这一任务与R. Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖.BS期权定价公式 .欧式期权定价轶事巧合的是，国际上第一个期权买卖所芝加哥期权买卖所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表5-6月号两位作

7、者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的回绝，而且没有得到审稿意见。回绝的理由：金融太多，经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到回绝在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文这一番曲折导致他们检验B-S公式的论文发表在先.BS期权定价公式离散红利不分红的股票欧式期权的价值由五个要素决议：股票的市场价钱、期权执行价钱、期权间隔到期的时间、无风险利率以及标的股票的动摇率假设标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的维护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。处理这个问题的

8、方法是：用股票的市场价钱减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得到欧式期权的价值 .美式买权的执行问题股票分红分红前夕：相应的分红数量：假设在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为假设在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的下界通知我们，所以，假设 ，即 ，那么，在最后一次分红前夕执行期权不是最优方案假设 ，可以证明，在股价充分高的情况下，执行期权是最优方案.美式买权的执行问题股票分红普通地，假设 ，那么在第I次分红前夕执行期权不是最优方案总结美式买权假设提早执行，通常发生在最后一次分红的前夕假设 对i=1,2n ( )成立，那么，提早执行不是最优方案

9、.美式卖权的执行问题股票分红美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案假设 对i=1,2n ( )成立，那么，卖权不应该提早执行.欧式股票期权延续红利下述两种股票在T时辰的价钱分布一样当前股价为 ，支付延续红利，红利率为q当前股价为 ，不支付红利定价原那么：在定价标的股票支付延续红利的欧式期权时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，只需用 替代当前股价.欧式股票期权延续红利期权下界平价关系.欧式股票期权延续红利BSM随机微分方程风险中性定价.欧式股票期权延续红利.股票指数期权与外汇期权延续红利的BS定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价.期货期权支付期货期权的到期时间通常稍早于标得期货得到期时间最活泼的期货期权CBOT买卖的中长期国债期货期权(美式)CME买卖的欧洲美圆期货期权(美式)买权期货合约多头头寸+相当于期货最新结算价的现金-期权执行价Max(F-X,0)，其中F表示期权执行时的期货价钱卖权期货合约空头头寸-相当于期货最新结算价的现金+期权执行价Max(X-F,0) ，其中F表示期权执行时的期货价钱.期货期权平价关系欧式期权美式期权.期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下，支付延续红利的股票的期望增长率为(r-q)，其中r为无风险利率，q为红利率签署期货合