材料力学第六章-梁的位移

1、第六章梁的位移6-1 概述6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分6-4 梁的刚度条件 提高粱刚度的措施6-3 用叠加法求梁的位移目 录6-1 概述挠曲线1.挠度和转角的概念xyzBAzyCy、z为形心主轴C挠度：任一横截面的形心在垂直于原来轴线方向的线位移（y方向），称为该截面的挠度，用w表示。转角：任一横截面对其原方位的角位移，称为该截面的转角，用表示。符号规定：w（）“+”（ ）“+”x挠曲线xyzBAC挠度方程转角方程2.挠度和转角的关系因为角非常小，故转角方程可表示为即：（挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角）lBAlBA变形和位移是两个不同的概念，但又互相联系。梁的弯曲变

2、形仅与弯矩和梁的弯曲刚度有关，而位移不仅与弯矩、弯曲刚度有关，还与梁的约束条件有关。两根梁的长度、材料、横截面的形状和尺寸以及受力情况均相等。 两根梁的弯曲变形程度相同，但位移明显不同。3.研究梁的位移的目的刚度校核（6-4）为解超静定梁打下基础（8-5）6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲时梁中性层的曲率为 (5-1)yxOyxO于是（5-1）式写成（a）横力弯曲时，若梁的跨度远大于横截面高度时，剪力对位移的影响很小，可忽略不计。所以（a）式仍可适用。（b）数学上： （b）（c）工程中，梁的挠曲线通常是一条极其平坦的曲线， 很小。则，(c)式变为（d）将（d）式带入（b）式，得或(6

3、-1)（6-1）式称为梁的挠曲线近似微分方程近似原因 不计剪力FS对位移的影响积分一次 再积分一次 为积分常数，可通过已知的位移条件来确定。挠曲线近似微分方程用积分法求梁的挠度和转角例如铰支座处的挠度等于零；固定端处的挠度和转角均等于零。这种已知的位移条件，通常称为位移边界条件。当弯矩方程需分段列出时，挠曲线近似微分方程也应分段建立。此时除了要应用位移边界条件之外，还需利用分段处挠曲线的连续、光滑条件。这种位移条件通常称为位移连续条件。积分常数的确定一个弯矩方程，两个积分常数位移边界条件：两个弯矩方程，四个积分常数位移边界条件：BAC位移连续条件：一个弯矩方程，两个积分常数位移边界条件：qBA

4、xaD例6-1 求 ，并确定 和 。EI为常数。lBAEIxxy 解：(1) 列弯矩方程 (2) 建立挠曲线近似微分方程，并对其积分 (3) 确定积分常数 位移边界条件 ：(4) 转角方程和挠度方程 物理意义(5) 求 和lBAEIxxy（ ）例6-2 求 ，并确定 和 。EI为常数。xyBACxlabx解：(1) 分段列弯矩方程AC段 CB段 (2) 建立挠曲线近似微分方程并积分AC段xyBACxlabx CB段 (3) 确定积分常数C1、 C2、D1、 D2位移边界条件：xyBACxlabx位移连续条件：由（5）式得，由（6）式得，(4) 确定转角方程和挠度方程AC段转角方程：挠度方程：x

5、yBACxlabx CB段 转角方程：挠度方程：(5)求 和由挠曲线大致形状可见，可能为 或 。当ab 时，（ ）（ ）（ ）xyBAClab简支梁最大挠度必定在转角为零处。设该截面的位置为x1，先研究AC段， 令 ，即当ab 时，由上式得x1a，即表明转角为零的点确在AC段，从而有xyBACxlabx的近似值 当集中荷载F离右支座非常近时，即当b值甚小，则可见，即使在这种极端情况下，最大挠度仍在跨中附近。跨中挠度：在工程中，只要简支梁挠曲线上无拐点,就可用代替误差：例6-3 画图示梁挠曲线的大致形状。xMFaFa解：挠曲线的大致形状，是根据梁的M图和约束情况(位移条件) 画出的。 A为固定端

6、，BACDaaaEAE段M为负，挠曲线为上凸；ED段M为正，挠曲线为下凸；E截面弯矩为零，故E点为挠曲线上的拐点（反弯点）DB段M=0，挠曲线为斜直线；AEDCB6-3 用叠加法求梁的位移 叠加法：小变形且材料在线弹性范围内工作时，梁在几种荷载同时作用下的位移，等于梁在各种荷载单独作用下的位移之和。 积分法是求梁位移的基本方法，由转角方程和挠度方程，可以求任意截面的转角和挠度，但计算过程冗长。 实际应用中，常常只需确定某些指定截面的位移值，为此可将梁在简单荷载作用下的位移值列成表格(见表6-1，P115页)，利用叠加法求在几种荷载同时作用下梁的位移。BACDEIlll叠加法荷载叠加：变形叠加：

7、（书例6-4、6-5、6-6）（书例6-7、6-8、6-9）例6-4 用叠加法求 ，EI为常量。qBACBAC解： 由表6-1查得将相应的位移叠加，得（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy例6-5 用叠加法求 ，EI为常量。(b)aaBAC(c)aaBAC图(b)梁的CB段的挠曲线为斜直线，所以解：将图(a)所示梁分解为图(b)和图(c)两种情况。由表6-1查得（ ）aaBAC(a)xy（ ）由表6-1查得，在图c中 （ ）将相应位移叠加，可得（ ）（ ）(b)aaBAC(c)aaBAC例6-6 用叠加法求 ，EI为常量。qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)为了利用表6-1中的

8、结果，把图（a）所示梁分解成图（b）和图（c）两种情况的叠加。解：（ ）（ ）图（b）为对称结构受对称荷载作用，故其挠曲线形状也是对称的。由表6-1得BAC(c)ACBC故C处可看作一铰支座，即可将AC段和CB段分别看作受均布荷载作用的简支梁。 （ ）（ ）图（c）为对称结构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对称的。 则：又BAC(c)BAC(b)将相应的位移叠加，得 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy(a)讨论：利用对称性使解题更加简便，要能灵活运用。qBACxyqBACxyBACqBACq利用对称性易得分解后的C点的挠度利用对称性易得分解后的C点的挠度BACq1BACq2

9、BAC练习 用叠加法求 ，EI为常量。原图为对称结构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对称的。 （ ）（ ）ACBC（ ）练习 用叠加法求 ，EI为常量。qaaBACqBACBACq查表6-1（ ）例6-7 用叠加法求 ，EI为常量。解:（1）先考虑AB段的变形，不考虑BD段的变形（图b）BACDaaaxy(a)本题采用变形叠加(c)DBBACD(b)（2）再考虑BD段的变形，不考虑AB段的变形（图c）（ ）（ ）BACDaaaxy(a)(c)DB（ ）将相应的位移叠加，得 （ ）（ ）BACD(b)练习：求BAxCCBl/2BAxyl/2C练习：求qCBqaaBACBACq例6-8 求图

10、示阶梯状简支梁的跨中挠度wC。已知I1=2I2解：由变形的对称性可知，跨中截面C的转角为零。这样，可把阶梯状梁的CB部分（或AC部分）看做是悬臂梁。故C截面挠度为讨论：当结构对称，荷载对称时，可采用类似的方法求位移求C截面的挠度wC，EI为常数。qq例6-9 用叠加法求 ，EI为常量。BACDaaa主梁副梁解：（1）受力分析：先分析副梁，再研究主梁BCDBA（2）求位移：先分析主梁，再分析副梁，利用变形叠加BACDBCDCDBCDBACDaaaBACDBCDCD6-4 梁的刚度条件 提高梁刚度的措施一、刚度条件要保证梁能正常地工作，不仅要求它有足够的强度，而且还要求具有足够的刚度，即要求梁的位

11、移不能过大。例如，若铁路桥梁的挠度过大，当火车过桥时将出现爬坡现象，而且还会引起较大的振动。又如若车床主轴的位移过大，将影响齿轮的正常啮合，造成轴和轴承的严重磨损，必然影响加工精度。为此，需检查梁的位移是否超过按使用要求所规定的许用值。对于梁的挠度通常是限制挠度与跨度的比值，故刚度条件为房建钢梁：铁路钢桥：普通机床主轴：二、提高梁刚度的措施 由表6-1可见，w和均与EI成反比，与l的n次方成正比。可见，为了减小梁的位移，可采取如下措施：1. 增大梁的弯曲刚度EI。对于钢梁来说，因各种钢材的弹性模量E相差很小。故选用高强度的优质钢并不能有效地提高梁的弯曲刚度，而应设法增大截面的惯性矩I。2 .减小梁的跨度或增加支承。qqq例6-10 =170MPa， =100MPa， E=20