理论力学课件lectureof kinetic

1、1/33理论力学Chap. 12工程力学系511理论()学群 8573170力Lecture 21Chapter 12动能定理Chapter 12动能定理12.112.212.312.412.512.6力的功质点和质点系的动能动能定理功率功率方程机械效率场势能机械能守恒定律碰撞2/331. 质点动能定理1d(mv ) W221 mv2 1 mv2 W2112222. 质点系动能定理dT WiT2 T1 WiCh. 12 动能定理3/33复 习12.3 动能定理 12.4 功率功率方程机械效率功率时间内力所作的功称为功率，即功对时间的变化率P W：W (瓦特)，1 W=1 J/s=1 Nm/sd

2、tW dr P FvFdrFdtFvt作用在转动刚体上的力的功率为P W Md M zzdtdt即，作用在转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积Ch. 12 动能定理4/33 12.4 功率功率方程机械效率功率方程质点系动能定理dT WiWnndT i Pi两边除以dt, 得：dtdti1i1上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。dT PPP有用无用输入dt+ dTP=P+P或有用无用输入dtCh. 12 动能定理5/33 12.4 功率功率方程机械效率功率方程dT PPP无用输入有用dt输入功率：驱动夹头和车刀的用电总功率有用功

3、率：切削力的功率无用功率：各种接触面间摩擦力的功率及碰撞损耗的功率Ch. 12 动能定理6/33 12.4 功率功率方程机械效率机械效率dT PP有效功率有效有用dt有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率 有效功率= P有效P输入输入功率对于多级传动系统，总的机械效率等于各子系统效率的乘积 1 2 nM2M1Ch. 12 动能定理7/33 12.4 功率功率方程机械效率例12-6输入功率P输入=5.4 kW，耗散功率占30% 即已知车床电P耗散=P输入30%。如工件的直径d等于100mm，求转速n分别为42 r/min和112 r/min时，允许切削力F的最大值。解dT 0 ) dT 3.

4、78 kW P PP(匀速转动时，dt无用有用输入dtd n F 60dn Fv FPP有用有用2 3060 s 3.78 kW 0.1 m 42 r/minF 17.2 kN当n 42 r/min时60 s3.78 kW 0.1m112 r/min当n 112 r/min 时F 6.45 kNCh. 12 动能定理8/33 12.4 功率功率方程机械效率例12-7物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长l0 ，刚度系数k，质量不计。滑轮半径为R，转动惯量为J。不计摩擦。求系统的运动微分方程。sl00 xx s0mgCh. 12 动能定理9/33解s Rs1 ds 21 d

5、2lT mJ 02 dt 2 dt 0 xxs0 ds 21 Jm dt mg22RdT mg ds , P ks ds PPP重力弹性力重力弹性力dtdtdtJ d2sJ ds d2sdsdsm mg ks m mgks22Rdt22R dt dtdtdtCh. 12 动能定理10/3312.4 功率功率方程机械效率例12-7J d2s解令0为弹簧静伸长，即mg=k0以平衡位置为原点有：s 0 xm mg ks22Rdtsl0s R0 xmgx s0 d 2 xJ mg k 0 kx kxm 22RdtJ d 2 x m kx 0R 22dtCh. 12 动能定理11/3312.4 功率功率

6、方程机械效率例12-7 12.4 功率功率方程机械效率例12-8，质量为m1、长度为l的均质杆AB与质量为m2、半径为R的均质轮A于质心处铰接。=45时通过外力作用使系统保持。当外力突然撤销时，圆轮保持纯滚动，求此瞬时点A的加速度。BCm1gRAm2gCh. 12 动能定理12/33解取整个系统作为研究对象。运动过程中只有杆AB所受重力做功。在任意角时，系统运动及受力由运动学可知：BCm1gRAm2gvAvAl sinABAPBPvA2sinABvC AB PC CvBvCm1gRvAvA Am g2RCh. 12 动能定理13/3312.4 功率功率方程机械效率例12-8解系统总动能：T 1

7、 m v2 1m R 1 m v21112222ml2A21 C1AB22 222 12 1 (9m 2m1 sin2 )v22A12vcos m gcotP m g vA系统总功率：1C12dT dWi PBP功率方程：iABdtdt CiivBvC注意到 和v 都是t的函数，且有：m1gARdvAvA AB l sinm gA2dtCh. 12 动能定理14/3312.4 功率功率方程机械效率例12-8P m g vA cotT 1 (9m 2m1 sin2 解)v212A212：m1 cos v1 a (2m1 sin2 1 m gvcot 9m ) 2v2l sin4 A2AA1A62

8、 cosl sin4 3m g cot 2m v211Aa2m1 sin2 A9m2BPAB CvB初瞬时：v= 0， = =45vCAm1gR3m gAvA 1aAm g4m 9m212Ch. 12 动能定理15/3312.4 功率功率方程机械效率例12-8场力场： 物体在某空间所受力的大小和方向完全由所在位置来确定，则此空间称为力场，即F =F( x, y , z )如：重力场、引力场场：在力场内，作用于物体的力所做的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关，该力场称为场，或保守力场。在或保守力场中物体受到的力称为有Ch. 12 动能定理16/3312.5场势能机械能守恒定律势能在场中，

9、质点从点M运动到任选的点M0，有作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，即：MV 0F drMM0F dx F dy F dz xyzM点M0的势能等于零，称之为零势能点。点M0可以任意选取，位置不同可使势能不同。Ch. 12 动能定理17/3312.5场势能机械能守恒定律势能1) 重力场中的势能Z0mgdz mg z z0 V Z2) 弹性力场中的势能Fk2r0 V dr 220r如取弹簧自然位置为零势能点，有0=0，则此时V k 22Ch. 12 动能定理18/3312.5场势能机械能守恒定律势能3) 万有引力场中的势能fm1m2AoA0A0V Fdrer drr2AAer dr drdr

10、A由于，有r1m2 11fm1m2drr1rFrV dr fm mer12 r2rr 1Om1取零势能点在无穷远( r1 )fm1m2V rCh. 12 动能定理19/3312.5场势能机械能守恒定律质点系势能质点系零势能点位置：各质点都处于其零势能点的一组位置质点系在某位置势能：质点系从某位置到零势能位置的运动过程中，各有作功的代数和，即：MV i 0F dri质点系Mi例如在重力场中：V mi g zi zi0 mg zCzC0 Ch. 12 动能定理20/3312.5场势能机械能守恒定律质点系势能例如，已知均质杆AB 长l，质量为m。弹簧刚度系数k。AB水平时平衡，弹簧变形0。计算杆有微

11、小摆角时的势能。 mg静平衡时 M (F) 0得A02k取弹簧自然位置O为零势能点，重力以水平位置为零势能位置l 2 mg lV 1 k 022Om2 g21ACk l2 228khBCh. 12 动能定理21/33012.5场势能机械能守恒定律质点系势能取杆平衡位置为系统零势能点:V 1 k 2 2 mgh02 2 mg l 1 k l l222200022V 1 k2l22O0ACBhCh. 12 动能定理22/3312.5场势能机械能守恒定律有某个有的功从点M1到点M2所做的功：MW2F dr12M1取M0为零势能点，则点M1和点M2的势能为：M0M0V WV W F drF dr110

12、220MM12yM1M1经M2到达M0，有的功为：M2W WW101220M0V1 V2W12得到zxCh. 12 动能定理23/3312.5场势能机械能守恒定律机械能守恒动能定理：若只有有T2 T1 W12V1 V2W12作功，则T1 V1 T2 V2得即：质点系仅在有作用下运动时，机械能守恒。此类系统称为保守系统，反之非保守系统。对非保守系统，设保守力作功W12，非保守力作功W12 ，有T2 T1 W12 W12 V1 V2 W12 (T2 V2 ) (T1 V1) W12Ch. 12 动能定理24/3312.5场势能机械能守恒定律例12-9鼓轮D匀速转动，使绕在轮上钢索下端的重物以v=0

13、.5 m/s匀速下降，已知重物质量为m=250 kg, 钢索 k=3.35106求轮D突然卡住时，钢索的最大张力 。N/m，DmgvCh. 12 动能定理25/3312.5场势能机械能守恒定律解鼓轮匀速转动时，重物处于平衡状态，卡住前瞬时达到位置I mgk mg F k mg 2.45 kNstststk卡住后，重物继续下降至位置II，此时速度为零，钢索拉力最大。整个过程重物只受重力和弹性力作用，机械能守恒。取平衡位置I为零势能点，有：DV1 0k自然位置vstst mg V2 22maxI 平衡位置maxstmax2mgT 1 mv 2 , T 0II122Ch. 12 动能定理26/331

14、2.5场势能机械能守恒定律例12-9解T1 V1 T2 V2D12k2 mg mv2 0 022maxstmaxstv2自然位置即 2stmax 02max2stststgv2I 平衡位置maxmgII 1 得gmaxstvst取最大值，有mg 1 v k v2 k kFst 116.9 kNm maxmaxggstCh. 12 动能定理27/3312.5场势能机械能守恒定律例12-9例12-10，摆的质量为m，点C为质心，O端为光滑铰支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴O的 转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处以初角速

15、度0向摆动时，摆的角速度与角的关系。微幅CmgD0OCh. 12 动能定理28/3312.5场势能机械能守恒定律解摆在运动中，只有重力和弹簧力作功，因此机械能守恒。取水平位置为零势能位置，有：1 J2 k b2 1 J 22OO022 kb22C2DJO0O0mgCh. 12 动能定理29/3312.5场势能机械能守恒定律例12-10机械能守恒机械能守恒定律解题步骤：选某质点系或质点作为研究对象，分析其受力，所有作功的力都应为有确定运动过程的始、末位置确定零势能位置，分别计算两位置的机械能应用机械能守恒定律建立方程，求解未知量Ch. 12 动能定理30/3312.5场势能机械能守恒定律例12-

16、11质量为m1的物块A悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为k。设滑轮的质量为m2，并可看成半径是r的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块A以向下的初速度v0，试求物块A由这位置下降的最大距离s。弹簧和绳子的质量不计。OAv0ksv2= 0Ch. 12 动能定理31/3312.5场势能机械能守恒定律解取整个系统作为研究对象.系统运动过程中做功的力为有(重力和弹性力),故可用机械能守恒定理求解。取物块A的平衡位置作为初位置，弹簧的初变形1=s=m1g/k，物块A有初速度v1=v0，故系统初动能OT 1 m v2 112(m2r )() (2m m )v1v022A11 012022 2r4v0k以物块A的最大下降点作为末位置，则弹簧的末变形2=s+