新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 4.3.1　对数的概念 4.3.2　对数的运算 课件（23张）

1、4.3 对数4.3.1对数的概念4.3.2对数的运算1.理解对数的概念,会进行对数式与指数式的互化.2.理解对数的运算性质和换底公式,能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.3.体会数学抽象的过程,加强对逻辑推理、数学运算素养的培养.1.对数的概念一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.常用对数与自然对数通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N;以e(e=2.718 28)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.3.对数与指数的关系(1)当a0,a1时,ax=Nx=lo

2、gaN;(2)对数恒等式:=N(a0,且a1,N0).对数的概念4.对数的性质(1)负数和0没有对数;(2)loga1=0,logaa=1.(a0,且a1)如果a0,且a1,M0,N0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(nR).对数的运算性质1.logab=(a0,且a1;b0;c0,且c1).2.推论:logab=,bm=logab.(a0,且a1;b0,且b1;n0)换底公式1.因为(-2)2=4,所以2=log(-2)4.()提示:因为对数的底数a应满足a0且a1,所以结论错误.2.当a0,且a1

3、时,=N.()提示:当a0,且a1时,ax=Nx=logaN,将x=logaN代入ax=N,得=N.3.若ln N=,则N=.()提示:ln N=,则N=.4.loga(xy)=logaxlogay.()提示:根据对数的运算性质可知loga(xy)=loga|x|+loga|y|,结论错误.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .5.loga(-2)3=3loga(-2).()提示:公式logaMn=nlogaM(nR)中的M应为大于0的数,结论错误.6.使对数log2(-2a+1)有意义的a的取值范围是.()提示:要使对数log2(-2a+1)有意义,需使-2a+10,解得a0,且a1,

4、N0)?提示:把x=logaN代入ax=N,得=N.3.在指数与对数的互化中,要注意什么?提示:要注意底数的范围,如(-2)2=4,不能写成log(-2)4=2,只有a0,a1,N0时,才有ax=Nx=logaN.1.对数恒等式=N(a0,且a1,N0)的应用(1)对数恒等式的直接应用.(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解:2.对数式中求值的方法(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.(2)利用指数幂的运算性质计算.求下列各式中x的值:(1)-ln e2=x;(2)log3(lg x)=1;(3)x=;(4)log2x=-.思路点拨利用对数与指数的互化、对数性质求解.解析

5、(1)-ln e2=x,-x=ln e2,即e-x=e2,解得x=-2.(2)log3(lg x)=1,lg x=31=3,x=103=1 000.(3)原式=7=.(4)log2x=-,=x,x=.电影死亡密码中,刑侦总队密码组是顶级情报人员的培训、任命和派遣机构,他们的任务是通过犯罪现场留下的诡异痕迹探索凶案背后的动机,进而追捕凶手.古怪的案发地点,满地的血浆和奇怪的碎片,消失的被害人,超出常人血量的血泊,刑侦队长在办案过程中离奇失忆,并发出一段意义不明的蓝色数字,线索越发扑朔迷离,而那串数字就藏在lg 14-2lg+lg 7-lg 18+的计算结果中.利用对数的运算性质化简、求值问题1.

6、你能找出该密码吗?提示:原式=lg 14-lg+lg 7-lg 18+=lg +=lg 1+=.因此该密码是.2.在对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,应如何处理?提示:常利用lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5及lg 5=1-lg 2等化简求解.3.在化简含有对数的式子时,换底公式的作用是什么?提示:将不同底的对数化成同底的对数,进而进行运算.1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简的常用方法:“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之和(差);“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3.在利用

7、换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底.利用换底公式化简与求值的思路:化简下列各式:(1)4lg 2+3lg 5-lg ;(2);(3)2log32-log3+log38-;(4)lo(-).思路点拨当对数的底数相同时,利用对数的运算性质,将式子转化为只含一种或尽量少的真数的形式,再进行计算.解析(1)原式=lg =lg(2454)=lg(25)4=4.(2)原式=.(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-=2log32-5log32+2+3log32

8、-3=-1.(4)=2+,=2-,原式=lo(2+-2+)=lo()3=3.(1)化简:(log43+log83)(log32+log92)=;(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645为.思路点拨式子中各个对数的底数都不相同,需先统一底数再化简求值.解析(1)原式=log23=.(2)解法一:18b=5,log185=b,于是log3645=.解法二:18b=5,log185=b,于是log3645=.解法三:log189=a,18b=5,lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,log3645=.答案(1)(2) 解题模板用已知对数式表示未知对数式,此类问题的

9、本质是把目标分解为基本“粒子”,然后用指定字母换元.20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,这种尺度就是使用测震仪衡量地震能量的等级.地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).对数运算性质的综合应用问题1.假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1).提示:M=lg 2

10、0-lg 0.001=lg=lg 20 000=lg 2+lg1044.3.因此,这是一次约为里氏4.3级的地震.2.若新闻报道某次地震的震级为M,如何用M和A0表示最大振幅A?提示:由M=lg A-lg A0可得M=lg=10MA=A010M.3.5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).提示:当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0105.所以两次地震的最大振幅之比是=107.6-5398.1.(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结

11、论之间的关系.(2)对于连等指数式可令其等于k(k0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.2.解决对数应用问题,首先理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设未知数,建立数学模型,最后转化为常用对数问题求解,注意归纳结论.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.思路点拨指数与对数互化,得a=log3c,b=log5c+=logc15求出c的值.解析3a=5b=c,a=log3c,b=log5c,=logc3,=logc5,+=logc15.由logc15=2得c2=15,即c=(负值舍去).已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,+=0,求abc的值.思路点拨设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入+=0并用对数的运算性质可求得abc的值,也可以用换底公式进行计算.解析解法一:设ax=by=cz=t,a,b,c是不等于1的正数,t0,且t1,则x=logat,y=logbt,z=logct,+=+=logta