人教A版选择性必修第三册 第七章 第1课时 超几何分布 学案

1、7.4.2超几何分布第1课时超几何分布学习目标1.理解超几何分布的概念及特征.2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题导语为促进各学校的共同发展，学校之间派部分老师相互交流已知一学校派出16名一级教师，4名高级教师组成一队伍去相互交流学习，现在需要从这20人中任意选取3人去甲学校，设X表示其中高级教师的人数则X的可能取值有哪些，你能求出当X2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？一、超几何分布问题已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列提示若采用有放回抽样时X服从二项分布，即XB(3,0.4)，其分布列为P

2、(Xk)Ceq oal(k,3)(0.4)k(10.4)3k.若采用不放回抽样，“Xk”，k0,1,2,3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从104件正品中取出3k件，共有Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,104)种取法，故X的分布列为P(Xk)eq f(Coal(k,4)Coal(3k,104),Coal(3,10)，k0,1,2,3.知识梳理超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM)

3、,Coal(n,N)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布注意点：(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”(2)超几何分布的特点：不放回抽样；考察对象分两类；实质是古典概型例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只

4、，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列解(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布(1)总体是否可分为两类明确的对

5、象(2)是否为不放回抽样(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数跟踪训练1(1)(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是()A将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数答案ACD解析由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.(2)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球

6、，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数这四种变量中服从超几何分布的是()ABCD答案B解析由超几何分布的概念知符合，故选B.二、超几何分布的概率例2现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq f(1,7).(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为，求1的概率解(1)设甲班的学生人数为M，则eq f(Coal(2,M),Coal(2,7)eq f(MM1,42)eq f(1,7)，即M2M60，解得M3或M2(舍去)7名学生中甲班的学生共

7、有3人(2)由题意可知，服从超几何分布P(1)P(1)P(2)eq f(Coal(1,3)Coal(1,4),Coal(2,7)eq f(Coal(2,3)Coal(0,4),Coal(2,7)eq f(4,7)eq f(1,7)eq f(5,7).反思感悟超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆跟踪训练2某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数求至少有2名男生参加数学竞赛的概率解依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N10，M6，n4，

8、P(Xm)eq f(Coal(m,6)Coal(4m,4),Coal(4,10)(m0,1,2,3,4)P(X0)eq f(Coal(0,6)Coal(4,4),Coal(4,10)eq f(1,210)，P(X1)eq f(Coal(1,6)Coal(3,4),Coal(4,10)eq f(4,35)，P(X2)eq f(Coal(2,6)Coal(2,4),Coal(4,10)eq f(3,7)，P(X3)eq f(Coal(3,6)Coal(1,4),Coal(4,10)eq f(8,21)，P(X4)eq f(Coal(4,6)Coal(0,4),Coal(4,10)eq f(1,14

9、)，方法一(直接法)P(X2)P(X2)P(X3)P(X4)eq f(3,7)eq f(8,21)eq f(1,14)eq f(37,42).方法二(间接法)由分布列的性质，得P(X2)1P(X6)P(X7)P(X8)eq f(12,35)eq f(1,35)eq f(13,35).反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练3在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和

10、4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列解(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M，则P(M)eq f(Coal(4,8),Coal(5,10)eq f(5,18).(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4，则P(X0)eq f(Coal(5,6),Coal(5,10)eq f(1,42)，P(X1)eq f(Coal(4,6)Coal(1,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P

11、(X2)eq f(Coal(3,6)Coal(2,4),Coal(5,10)eq f(10,21)，P(X3)eq f(Coal(2,6)Coal(3,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P(X4)eq f(Coal(1,6)Coal(4,4),Coal(5,10)eq f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq f(1,42)eq f(5,21)eq f(10,21)eq f(5,21)eq f(1,42)1知识清单：(1)超几何分布的概念及特征(2)超几何分布的概率及分布列2方法归纳：公式法3常见误区：判断随机变量是不是超几何分布1(多选)下列随机变量中，服从超几何分布

12、的有()A在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X答案ABD解析依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布2盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是()A.eq f(37,42)B.eq f(17,42)C.eq f(10,21)D

13、.eq f(17,21)答案C解析设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布P(X2)eq f(Coal(2,5)Coal(1,4),Coal(3,9)eq f(10,21).3从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.eq f(Coal(3,4)Coal(2,48),Coal(5,52)B.eq f(Coal(3,48)Coal(2,4),Coal(5,52)C1eq f(Coal(1,48)Coal(4,4),Coal(5,52)D.eq f(Coal(3,4)Coal(2,48)Coal(4,4)Coal(1,48),Coal(5,52)答案D解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数