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文档简介
1、解题题意描述本题要求的是简单数列的和的情况。而简单数列的变化没有一定的模式,很难找到一个相应的模型来研究。试着改变一下,将简单数列a1,a2,a3an改写为a2-a1,a3-a2an-an-1。这样形成的数列就是单纯的由 1 和-1 组成的了。记这个数列为b1,b2,b3bn-1,而这个数列的和就可以表示为(n-i)*bi(i1,n-1)。算法分析本题的关键就在于如何来找到和为S 的简单数列。首先,S过 b 数列全为 1 时的最大值(n-1)*n div 2,也不能小于 b 数列全为-1 时的最小值-(n-1)*n div 2。更进一步的,S 必须与(n-1)*n div 2 同奇偶。对此的证
2、明如下:b 数列全为 1 时的和为(n-1)*n div 2,对于 b 数列的任意一种放法,若 i 使得 bi=-1。这时,数列的和减少了 2*(n-i)是一个偶数。所以无论 b 数列如何变化,数列和的奇偶性是不变的。证一个等价题:b 数组中元素个为了证明满足以上条件的简单数列一定存在,数为 n-1 的数列的和可以为(n-1)*n div 2,-(n-1)*n div 2上所有与(n-1)*n div 2 同奇偶的数。用数学归纳法。n=2 时,命题显然成立。当 n=k 时命题成立,则 n=k+1 时b1 取 1 时,由归纳假设,数列的和可以为k+1+(k+1)*k div 2,k+1-(k+1
3、)*k div 2上所有与(k+1)*(k+2)div 2 同奇偶的数,即S(k+1)*(k+2)div 2,0 (k+1)*(k+2)div 2,(k+1)*(2-k)div 2。b1 取-1 时,由归纳假设,数列的和可以为-k-1+(k+1)*k div 2,-k-1-(k+1)*k div 2上所有与(k+1)*(k+2)div 2 同奇偶的数,即 S0,-(k+1)*(k+2)div 2(k-2)*(k+1)div 2,-(k+1)*(k+2)div 2。综上,bk+1 可取(k+1)*(k+2)div 2,-(k+1)*(k+2)div 2上的所有数。证毕。有了上面的性质,在选取 b
4、 数列的第 p 位时只要使得S-(n-i)*b(ii1,p)不超过(n-p-1)*(n-p)div 2 也不小于-(n-p-1)*(n-p)div 2 即可。算法效率时间复杂度:O(n)空间复杂度:O(1)算法效率:所有测试数据都能在瞬间出解。源程序constinf ouf=sum.in;=sum.out;varn,m,i,max,min,now:long;beginassign(input,inf); assign(output,ouf); reset(input); rewrite(output); readln(n); readln(m);if (odd(n*(n-1) div 2-m) or (mn*(n-1) div 2) or (m-n*(n-1) div 2) then wrin(NIE)else beginmax:=n*(n-1) div 2;min:=-n*(n-1) div 2; now:=0;wrin(now);for i:=n-1 downto 1 do beginif min+2*i=m then beginnow:=now+1;min:=min+2*i;endelse beginnow:=
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