2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编专题10 一元二次方程-【含答案】

1、专题10：一元二次方程-2021年广东地区中考数学真题试卷与模拟试题精选汇编一、单选题1（2021广东广州市九年级一模）对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：mn，若x（2）10，则实数x等于（ ）A3B4C8D3或8A分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得解：由题意，分以下两种情况：（1）当时，则，即，解得或（舍去）；（2）当时，则，即，解得（舍去）；综上，故选：A【点评】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键2（2021广东广州市九年级一模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且以，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（）A24B2

2、5C24或25D无法确定C分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定的值解：当6为底边时，则，方程为，解得：，5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设，方程为，4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：或25故选：C【点评】本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式利用分类讨论的思想是解答本题的关键3（2021广东深圳市九年级二模）下列命题中是真命题的是（ ）A不等式的最大整数解是B方程有两个不相等的实数根C八边形的内角和是D三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等C根据一元一次不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和公式、三角形

3、的内心逐项判断即可得A、不等式的解为，则其最大整数解是0，此项是假命题，不符题意；B、方程的根的判别式，则此方程没有实数根，此项是假命题，不符题意；C、八边形的内角和是，则此项是真命题，符合题意；D、三角形的内心到三角形的三条边的距离相等，则此项是假命题，不符题意；故选：C【点评】本题考查了一元一次不等式的解法、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和公式、三角形的内心，熟练掌握各公式和定义是解题关键4（2021广东佛山市九年级二模）已知、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）A6B7C-7或6D6或7D当a4或b4时，即x4，代入方程即可得到结论，当ab

4、时，即（6）24（k2）0，解方程即可得到结论解：a、b、4分别是等腰三角形三边的长，当a4或b4时， 即：4264k20，解得：k6，此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；当ab时，即（6）24（k2）0，解得：k7，此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；综上所述，k的值等于6或7，故选：D【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键5（2021深圳市南山区华侨城中学九年级二模）对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#ba2ab，如：3#232323，则方程（x1）#32的根的情

5、况是（ ）A没有实数根B只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根D本题根据题目所给新定义将方程（x1）#32变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可解：根据题意得（x1）#32可以变形为：，提公因式可得：，化简得：，根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根故选D【点评】本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根6（2021广东深圳市九年级二模）已知ykx+k1的图象如图所示，

6、则关于x的一元二次方程x2xk2k0的根的情况是（ ）A无实数根B有两个相等或不相等的实数根C有两个不相等的实数根D有两个相等的实数根C本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k0，k10，再通过根的判别式来判断根的情况解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k0，k10，0k1，则（1）24（k2k），1+4k2+4k，（2k+1）2，因为0k1，所以（2k+1）20，所以方程有两个不相等的实数根，故选：C【点评】本题考查了一次函数图象与一元二次方程根的判别式，属于中档题7（2021广东惠州市九年级一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCDD根据题

7、意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，0，0，故选D【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系，并能灵活选择计算是解题的关键8（2021广东九年级一模）已知关于x的方程kx22x+30有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）AkBkCk且k0Dk且k0C由方程kx22x+30有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和的意义得到k0，且0，即224k30，然后解不等式求出它们的公共部分即可解：x的方程kx22x+30有两个不相等的实数根，k0，且0，即224k30，解得k，k的取值范围为：k且

8、k0故选：C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac，解题关键是明确当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根，列出不等式，注意：二次项系数不为09（2021广东广州市九年级一模）若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）Ac=10Bc=5Cc=-5Dc=4D根据方程有两个不相等的实数根得出c 24140，代入判断即可解：根据题意，得：c 24140，即c 2160，当c=10时，c 2160，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；当c=5时，c 2160，方程x2-cx+4

9、=0有两个不相等的实数根，不符合题意；当c=-5时，c 2160，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；当c=4时，c 216=0，方程x2-cx+4=0有两个相等的实数根，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式确定字母的范围10（2021东莞外国语学校九年级一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，随增大而减小；若方程没有实数根，则；其中正确结论的个数是（ ）A2个B3个C4个D5个C抛物线的顶点为，,与轴的一个交点在点和之间，列不等式，解得，根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增

10、减性进行判断解：抛物线的顶点为，,与轴的一个交点在点和之间，解得，抛物线开口下，函数与x轴有两个交点，则b24ac0，故错误；函数的对称轴是x1，开口向下，所以当x1时，y随x的增大而减小，故正确；当y=0时有一根和之间，抛物线对称轴为x=-1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当x1时，函数值小于0，则a+b+c0，故正确；根据图象可知：抛物线的顶点为D（-1，2），方程ax2+bx+cm0没有实数根时，抛物线-m顶点在x轴下方，故正确，对称轴x1，b2a，a+b+c0，3a+c0，故正确，所以正确的选项有，故选：C【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根

11、的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题11（2021广东中考真题试卷）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则_（填“”或“”或“”）先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论解：一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，又，故填：【点评】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解12（2021广东河源市九年级一模）如图，在中，D是AC上一点，且，

12、E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小由勾股定理可求出BC的长，设，则，在中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图，在中，设，则，在中，即，解得：，（舍）故BF的最小值为故【点评】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键13（2021广东深圳市九年级一模）在平面直角

13、坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线yx上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为_3分别以A、B、C为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可解：如图所示：动点C在直线yx上，设点C坐标为（x，x），分三种情况讨论：A（0，2），B（0，6），AB=6-2=4，当ACAB时，根据勾股定理，得（x-0）2+(-x-2)2=AC2=AB2=42，整理得，（x2）2+x242，解得，x11+，x21，所以点C的坐标分别为：（1+，1）、（1，1+）当BCAC时，点C在AB中垂线上，点C纵坐标为（6+2）2=4，点C（4，4）；当BC

14、AB时，（x6）2+x242整理，得x2+6x+100，实数范围内此方程无解，这种情况不存在，所以点C的个数为3个故答案为3【点评】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键14（2021广东九年级一模）若m是方程2x2-3x10的根，则式子6m-4m2+2023的值为_2021根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值解：把x=m代入2x2-3x-1=0，得2m2-3m-1=0，则2m2-3m=1所以6m-4m2+2023=-2（2m2-

15、3m）+2023=-2+2023=2021故2021【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立15（2021广东深圳实验学校九年级其他模拟）定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为_由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab和a+b的代数式，再由a 、b 是方程 的两个根可得ab和a+b的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解，为的两个实数根，故答案为-8【点评】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab和a+b的值后代入由实数新运算法则

16、得到的算式求解是解题关键16（2021江门市蓬江区荷塘雨露学校九年级一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为_-1把代入方程，转化为关于a的一元二次方程，求得a值，结合二次项系数不能为零，确定结果即可一元二次方程有一个根为， a=1或a=-1，方程是一元二次方程，a-10，a=-1，故-1【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解题的一个陷阱，要注意17（2021广东深圳市九年级一模）对于实数p、q，我们用符号minp，q表示p、q两数中较小的数，如min1，21，若min（x1）2，x21，则x_2或1首先理解题意，进而可得min（x1

17、）2，x21时分情况讨论，当x0.5时，x0.5时和x0.5时，进而可得答案min（x1）2，x21，当x0.5时，x2（x1）2，不可能得出最小值为1，当x0.5时，（x1）2x2，则（x1）21，x11，x11，x11，解得：x12，x20（不合题意，舍去），当x0.5时，（x1）2x2，则x21，解得：x11（不合题意，舍去），x21，综上所述：x的值为：2或1故答案为2或1【点评】此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意18（2021东莞外国语学校九年级一模）关于x的一元二次方程ax2x=0有实数根，则a的取值范围为_a1且a0利

18、用一元二次方程的定义和判别式的意义得到0且=（1）24a（）0，然后求出两个不等式的公共部分即可根据题意得a0且=（1）24a（）0，解得：a1且a0故答案为a1且a0【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根19（2021广东广州市九年级一模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_关于x的方程x22x+3k=0有两个不相等的实数根，即判别式=b24ac0即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围a=1，b=2，c=3k，=b24

19、ac=（2）2413k=412k0，解得：k故答案为k【点评】本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根20（2021广东中考真题试卷）方程的解为_.采用分解因式法解方程即可.解：，解得.【点评】本题考查了分解因式法解方程.三、解答题21（2021广东惠州市）已知关于的一元二次方程（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，为三边长的三角形是直角三角形，求的值（1）见解析；（2）或（）先计算，再利用配方法证明是个非负数即可得到结论；（2）先解方程，求解方程

20、的根为： 再分类讨论即可得到答案（）证明：，无论取何值，方程总有两个实数根（）解：，以，为三边长的三角形是直角三角形，当为斜边时，则，解得当为斜边时，则，解得综上所述，的值为或【点评】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，掌握利用根的判别式解决问题是解题的关键22（2021广东梅州市九年级二模）关于的方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围：（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（1）且；（2）不存在，理由见解析（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；（2）根据一元二次方程根与系数的

21、关系列出方程，解方程即可解：（1）由题知，方程有两个不等实数根，所以，解得且，所以的取值范围是且； （2）设方程的两个实数根为，且倒数和等于1，即，所以，因为，所以，即，解得：，经检验是方程的根，由（1）知的取值范围是：且，则不符合题意，所以不存在这样的值使方程的两个实数根的倒数和等于1【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，23（2021广东汕头市九年级一模）已知关于x的一元二次方程x2（k+1）x+2k30（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2（

22、k+1）x+2k30的两个实数根，求k的值（1）见解析；（2）k=3（1）先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可得出答案；（2）根据ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值解：（1）=(k+1)241(2k3)=k2+2k+18k+12=(k-3)2+4，无论k为何实数，(k-3)20，(k-3)2+40，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）AC、BC为方程x2(k+1)x+2k3=0的两个实数根，由（1）可得，ACBC，ABC为等腰三角形，AC=AB=3或BC=AB=3，方程x2(k+1)x+2k30

23、必有一根为x=3，323(k+1)+2k3=0，解得k=3【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根24（2021广东珠海市九年级二模）小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2（1）求的值；（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积（1）；（2）（1）设看错的常数为，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；（2）首先解出一元二次方程的两个解，然后利用菱形的面积公式求解即可（1）由题意得，设看错的常数为，（2）原方程为，解

24、方程得，由菱形面积公式可得：【点评】本题主要考查一元二次方程及菱形的面积，掌握二元一次方程组的解法及菱形的面积公式是关键25（2021广东佛山市九年级二模）若关于，的二元一次方程组的解，（1）求的取值范围；（2）若是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程的解，求这个直角三角形的面积（1）a；（2）6（1）利用加减消元法，用含a的代数式表示x，y，从而列出关于a的不等式组，进而即可求解；（2）先解一元二次方程，求出m的值，再利用勾股定理，得，然后消去a，得到y=3x-4，从而得到关于x的方程，进而即可求解解：（1），+2，得5x=5a+5，即：x=a+1，2-，得5

25、y=15a-5，即：y=3a-1，a+10且3a-10，a；（2），即：，m1=m2=4，是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，由消去a，得到15x-5y=20，即：y=3x-4，即：，解得：x1=3，x2=0（舍去）直角三角形的面积=【点评】本题主要考查解二元一次方程组，一元二次方程，勾股定理，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键26（2021广东惠州市九年级二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若病毒得不到有效控制，

26、_轮感染后机房内所有电脑都被感染（1）3台；（2）四（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，四轮感染后机房内所有电脑都被感染故四【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确

27、列出一元二次方程是解题的关键27（2021清远市清新区凤霞中学九年级一模）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？（1）5元；（2）60元（1）设每本故事书需涨价x元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程

28、的解即可得到结果；（2）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式（1）解：设每本故事书需涨价x元，由题意，得，解得，（不合题意，舍去）答：每本故事书需涨5元；（2）解：设每本故事书的售价为m元，则，解得，答：每本故事书的售价应不高于60元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”是解本题的关键28（2021中山大学附属中学九年级一模）有A，B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，小明先从A

29、布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字（1）用（m，n）表示小明取球时与的对应值，画出树状图（或列表），写出（m，n）的所有取值；（2）求关于的一元二次方程mxn0有两个相等实数根的概率（1）见解析；（2）（1）画树状图，后按照规定写出答案即可；（2）根据方程有两个相等实数根，得到=0即，得，验证等式成立的实数对（m，n）的个数，根据概率计算公式计算即可（1）画树状图，如下：故所有（m，n）的值为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3

30、，1），（3，2），共12个；（2）一元二次方程0有两个相等实数根，=0，只有（0，0），（2，2）满足等式，一元二次方程0有两个相等实数根的概率为【点评】本题考查了画树状图或列表求概率，一元二次方程的根的判别式，简单事件的概率，熟练画树状图，准确选择根的判别式是解题的关键29（2021广东佛山市九年级一模）春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况小李：“该商品的进价为50元/件”成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件”成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件”根据他们的对话，完成下列问题：（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出_件；（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能