5.1-平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理(讲解部分)

1、专题五平面向量与解三角形5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理高考数学 浙江专用第一页，编辑于星期六：四点 三十四分。考点一平面向量的线性运算及几何意义考点清单考向基础1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量 的大小,也就是向量的长度(或称模),记作|.3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度为1个单位的向量叫做单位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与任一向量平行.5.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.向量的加法法则:三角形法则和平行四边形法则.第二页，编辑于星期六：四点 三十四分。7.向量加法的交换律:a+

2、b=b+a.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).8.与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.规定:0的相反向量是0.9.实数与非零向量a的乘积a是一个向量,它的长度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:当0时,与a同向;当0时,与a反向.显然,当=0时,a=0.10.设a、b是任意向量,、是实数,则实数与向量的积适合以下运算律:(1)结合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.第三页，编辑于星期六：四点 三十四分。11.向量共线的判断(1)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数,使

3、得b=a;(2)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数、,使得a+b=0.第四页，编辑于星期六：四点 三十四分。考点二平面向量基本定理及坐标表示考向基础1.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,则a=(x,y).3.向量平行的坐标表示(1

4、)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),则ab的充要条件为x1y2-x2y1=0;(2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.第五页，编辑于星期六：四点 三十四分。4.几个重要结论:如图,(1)若a、b为不共线向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的对角线向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G为ABC的重心+=0G.(4)若+=2,则D为BC的中点,且D.反之也成立.(5)若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的

5、充要条件是=+,且+=1,R.第六页，编辑于星期六：四点 三十四分。平面向量线性运算的解题方法方法1方法技巧用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此,在求向量时要尽可能地转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线平行于第三边,且等于第三边的一半,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.解题的基本步骤:(1)根据已知条件,正确选择基底;(2)把条件和结论(或问题)中的所有向量用基底表示;(3)进行相关的运算.第七页，编辑于星期六：四点 三十四分。例1(2018浙

6、江杭州二中新高考调研卷三,12)已知平行四边形ABCD,|=2|=2,且=1,=,=2,则=; 若DE和AF交于点M,且=x+y(x,yR),则x+y=.解析=(+)(-)=-=.=+,设=,则=+,m+(1-m)=+=,故=+x+y=.答案; 第八页，编辑于星期六：四点 三十四分。方法2平面向量的坐标运算的解题方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,向量的运算就完全可以转化为代数运算了,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,很多几何问题的证明,特别是共线、共点等较难问题的证明,就可以转化为较为简单的代数运算的论证.解题的基本步骤:(1)建立适当的坐标系;(2)将参与运算的向量用坐标表示出来;(3)利用加法、减法、数乘等运算法则转化为代数运算;(4)将代数运算结果转化为向量结果作答.解题过程中注意数形结合思想和方程思想的运用.第九页，编辑于星期六：四点 三十四分。例2(2019浙江金丽衢十二校联考,15)若