空间位置关系的判断与证明

1、空间位置关系的判断与 证明模 块 框高 考 要要求层重难点次空空间线、面间中的的位置关系线面关系公理1，公理 2，公理 3，公理 4，定理*B 理解空 间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作 为推理依据的公理和定理A公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有的点在此1平面内公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该 点的公共直 线公理 4：平行于同一条直线的两条直 线互相平行定理：空间中如果一个角的两 边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补以立体几何的上述定义、公理和定理为

2、出发点，认识和理解空 间中线面平行、垂直的有关性 质与判定理解以下判定定理如果平面外一条直2线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂 线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明如果一条直线与一个平面平行，经过该 直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么3它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直 线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直 线

3、与另一个平面垂直能运用公理、定理和已 获得的 结论证 明一些空间位置关系的 简单命题公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直 线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直 线公理 4：平行于同一条直线的两条直 线平行定理：空间中如果两个角的两条 边分别对应 平行，那么这两个角相等或互 补知 识 内41集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空 间中的基本元素，将直线与平面看做空 间的子集，这样便可以用集合的 语言来描述点、直线和平面之 间的关系：点A在直线 上，记作：；点 不

4、在直线 上，记作；lA lAlAl点A在平面内，记作：；点 不在平面内，记作；AAA直线 l 在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作 l；直线 l 不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作；直线 l 和 m 相交于点 A ，记作 lm A平面与平面相交于直 线 a ，记作2平面的三个公理：，简记为 lmA ； 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在 这个平面内图形语言表述：如右图：ABl符号语言表述：Al ,Bl, A, Bl5 公理二：经过不在同一条直 线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面图形语言表述：如右图，A

5、BC符号语言表述：A, B,C 三点不共 线有且只有一个平面，使A,B,C 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 过这个点的公共直 线图形语言表述：如右图：Aa符号语言表述：Aa, Aa 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交， 这条公共直 线叫做两个平面的交 线3平面基本性质的推论：推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面6推论 2：经过两条相交直 线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直 线，有且只有一个平面4共面：如果空间中几个点或几条直 线可以在同一平面内，那么我们说它们共面1公理反映了直线与平面的位置关系，由此公理我 们知道如果一条

6、直 线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内2公理可以用来确定平面，只要有不在同一条直 线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的要 强调这 三点必须不共线，否则有无数多个平面 经过它们确定一个平面的意思是有且仅有一个平面3公理反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它 们的交集就是一条公共直线此公理可以用来 证明点共线或点在直 线上，可以从后面的例 题中看到74平面基本性质的三个公理是不需要 证明的，后面的三个推论都可以由 这三个公理得到推 论与直接在直线上取点，利用公理与便可得到

7、结论，推论是由平行的定义得到存在性的，再由公理保证唯一性线线关系与线面平行1平行线：在同一个平面内不相交的两条直 线平行公理：过直线外一点有且只有一条直 线与这条直线平行公理（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直 线互相平行；等角定理：如果一个角的两 边和另一个角的两 边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等2空间中两直线的位置关系：共面直 线：平行直线与相交直 线；异面直 线：不同在任一平面内的两条直 线3空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的 图形这四个点叫做空 间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空 间四边形的对角线8如右图中

8、的空间四边形 ABCD ，它有四条边 AB, BC,CD, DA ，两条对角线 AC,BD 其中 AB,CD ；AC,BD ；AD,BC 是三对异面直线ABDC4直线与平面的位置关系：直 线 l 在平面内：直线上所有的点都在平面内，记作，如图；直 线 l 与平面相交：直线与平面有一个公共点A ；记作A ，如图；直 线 l 与平面平行：直线与平面没有公共点， 记作 l / /，如图lllA1235直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条9直线平行，那么这条直线和这个平面平行符号语言表述：l / /l,m,l / /m图象语言表述：如右图：lm6直线与平面平行的性 质定

9、理：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行符号语言表述：m l / / ml / / ,l,图象语言表述：如右图：lm1画线面平行 时，常常把直线画成与平面的一条边平行；2等角定理证明：已知：如图所示，BAC 和B A C 的边AB/AB ，AC /AC ，且射线 AB与 AB 同向，射线 AC与10AC 同向求证： BACBAC证明：对于BAC 和BAC 在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形分别在BAC的两边和BA C 的两边上截取线段AD、AE 和 AD、AE ，使ADAD ,AEAE ，因为

10、AD/ /AD，所以 AA D D 是平行四 边形所以 AA/ /DD 同理可得 AA / /EE ，因此DD / / EE 所以 DD E E 是平行四 边形因此DEDE于是所以ADEA D EBACB A CECADBECADB3根据等角定理可以定 义异面直 线所成的角的概念：过11空间一点作两异面直 线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或 锐角叫做两异面直 线成的角异面直线所成角的范 围是(0,24线面平行判定定理（ l,m,l / /ml / /），即线线平面，则线面平行要证明这个定理可以考虑用反 证法，因为线线 平行（l/ /m ），所以它们可以确定一个平面， 与已知

11、平面的交线恰为 m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交 线 m 上，从而得到 l 与 m 相交，与已知矛盾5线面平行性 质定理，即线面平行，则线线 平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）面面平行的判定与性 质1两个平面的位置关系两个平面,平行：没有公共点，记为/ /；画两个平行平面 时，一般把表示平面的平行四 边形画成对应边平行，如右图：12两个平面,相交，有一条交线，l 2两个平面平行的判定定理 ：如果一个平面内有两条相交直 线平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号语言表述：a, b, abA, a / /,b / / /推论：如果一个平面内有两条相交直 线分别平行

12、于另一个平面内的两条相交直 线，则这两个平面平行3两个平面平行的性 质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言表述：/ /,a,ba / /b 图象语言表述：如右图：ab131画两个平面相交 时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画如右图所示：2面面平行的判定定理可以由线面平行的性 质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直 线都平行于平面的交 线，与过直线外一点只能作一条直 线与已知直线平行的公理矛盾故 这两个平面不相交，是平行平面3面面平行的性 质定理可以直接由两条交 线无交点且共面得到4在证明线面平行，线线平行和面面平行的

13、题时，常常遇到平行关系的 转化，要灵活运用两个性 质定理与两个判定定理，证明要求的 结论由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所 结合，本板块专门就平行知 识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一 讲中详细讲解由于线面与面面 问题之间都是互相转化的，因此本板 块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行 问14题本板块题 目多采用两种方法，事 实上就是两种思路 证明线面平行，一种方法 线线平行线面平行，另一种方法是面面平行线面平行线面垂直1线线 垂直：如果两条直线相交于一点或 经过平移后相交于一点，并且交角 为直角，则称这两条直 线互相垂直由定 义知，垂直有相交垂直和异

14、面垂直2直线与平面垂直：概念：如果一条直 线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直 线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直这条直线叫做平面的垂 线，这个平面叫做直 线的垂面，交点叫垂足垂线上任意一点到垂足 间的线段，叫做这个点到这个平面的垂 线段垂线段的长度叫做这个点到平面的距离如果一条直 线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直画直线与平面垂直 时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形15的一边垂直，如右图l直线 l 与平面互相垂直，记作 l线面垂直的判定定理：如果一条直 线与平面内的两条相交直 线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条

15、垂直于平面，那么另一条直线也垂直于 这个平面线面垂直的性 质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行1如果定义了异面直 线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90 2线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直 线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断16AmBnCDEA要证明判定定理，只能用定义，若，要证AA ，AA m, AA n,m n B m,n在平面内任选一条直线 g ，去证 AA g ，结合右图，通过全等三角形的 证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略3线面垂直的性 质定理，可以用同一法 证明，如图：mlmABa直线

16、 l,m，若直线 l, m 不平行，则过直线 l 与平面的交点 B 作直线 m/ /l，从而有 m又相交直 线 m, m 可以确定一个平面，记a ，则因为 m, m 都垂直于平面，故m,m 都垂直于交 线 a 这与在一个平面内， 过直线上17一点有且只有一条直线与已知直 线垂直相矛盾故 m, m 重合，m / / l ，性质定理得证由同一法 还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条点面距离与 线面角（一）主要方法：本板块所学内容 为点面距离与 线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通 过直接法作面的垂 线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直 线上的点到面的距离；线面角问

17、题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用点、斜线、斜线段及射影点在直 线上的射影自点A 向直线 l 引垂线，垂足A1 叫做点 A 在直线 l 上的射影点 A 到垂足的距离叫点到直 线的距离点在平面内的射影自点 A 向平面 引垂线，垂足 A1 叫做点 A 在平面内的射影，这点和垂足 间的线段叫做 这点到平面的垂 线段垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离斜线在平面内的射影一条直 线和一个平面相交，但不和 这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜 线，斜线和平面的交点叫做斜足，180 ,90斜线上一点和斜足 间的线段，叫做这点到平面的斜 线段过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直 线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足 间的线段叫做这点到平面的斜 线段在这个平面内的射影2直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：直线和平面斜交 时，线面所成的角是 这条直线和它在平面内的射影所成的 锐角；直 线和平面垂直 时，直线和平面所成的角的大小为 90 ；直