浅谈对数学的审美认知

1、浅谈对数学的审美认知数学美是以数及数理关系认知物质世界的反映。我们探究数学美，即是用审美思维和方式认知数、数理关系及其内在特有的规律和法那么，培养数学审美观，提醒数学审美价值，激发对数学的热爱，推动数学学科的开展。不夸张的讲，数学可以诠释世间万物，更能诠释万物之美。比方对音乐而言，最简单的1、2、3、4、5、6、7已是音乐的化身，其变化让我们感悟到无限音乐之美；就现代科技而言，数码成像技术、计算机运用等是对客观物象进展数字编码以及依存于数学二进制的规律，从而表达了现代科技之美；即或是欢乐童年、青春年华、迟暮之年等也是用数年龄的变化诠释人生不可违犯的生命法那么；相对论电子波动方程可以列入20世纪

2、科学的最高成就之一，而促使狄拉克成就这一方程的初衷是基于方程的完美性和数学形式美的动机，他曾经说我的许多工作正是玩弄方程，并看它们给出些什么那是个漂亮的数学结果；同样，数学中不少猜想得以证明，往往是基于数学内在的节奏、匀称、和谐的审美特质，从而从相似性归纳、演绎出数学规律性等。可见，数学不仅诠释万物之美，更是人类审美智慧的结晶，探究数学之美，有助于对数学知识的理解运用，使之更好地效劳于现代科技和社会。一、树立数学审美观著名的雕塑家罗丹说过：美是到处都有的，对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。在长期的数学教学过程中，人们往往处于严谨、理性的分析、判断、推理的数学思维状态，难免让人觉得数学是

3、那么的高深而不可亲近，甚至于觉得数学枯燥无味，更谈不上有何美的感受。事实上，在数学概念、数理关系背后，存在着无尽的审美现象，只不过我们缺乏对数学的审美认知和审美需求。数学审美过程是将数学内在规律外化的过程，是将数理逻辑转化为现象感知的过程，从审美的角度来认知数学现象和本质，树立数学审美观，有助于开阔视野，活泼数学思维。比方：圆的审美意义，古希腊毕达哥拉斯学派从数学研究中发现圆的对称之美与和谐之美，认为一切平面图形中最美的是圆形，这个审美认识无不令人叹服，远远超越艺术家的审美感受。事实如此，假设在圆所在的平面，以圆心为对称点，旋转至任何角度，都与原图重合。可见圆是平面中最完美的对称图形。从视觉现

4、象而言，圆又是最为简洁、完好的图形。同样，人们又延伸其圆满的人文意义，放大其审美价值。即或是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10在数学思维中包含自然数、奇偶数、等差关系、极限变化等不同的含义和数理关系，但只要纳入视觉领域，就会立即产生形态大孝物象多少、图形变化、渐变与延伸等审美关系和无穷尽的对象化的审美客体，这就是数学中最质朴的审美认知。反之，探討数学的审美性，有助于形成不同的数学思维，推动数学学科的开展。二、强化数学审美意识在认识中，人们习惯性地把数学思维等同于逻辑思维、理性思维，而认为形象思维、感性思维与数学无缘。事实上，数学思维并不排斥其它思维方式，只不过由于数学的学科特点使逻辑思维

5、、理性思维与形象思维、感性思维等在数学思维中呈现出主次、强弱、显性与隐性等差异，而不是非此即彼的关系。审美活动是形象思维、感性思维的表现形式。在数学中，存在无尽的审美要素、审美关系和审美空间。比方：所有可图示化的数学问题就是通过视觉形象来进展分析、判断和思维的，视觉形象的呈现、联络与变化关系都对应于内在的数理、比例、尺度和规律等，这些不仅是数学问题，也是美学问题，涉及形式、构造、和谐、节奏、韵律等审美表现。相反，假设我们从形式、构造、和谐、节奏等的内在审美特质出发来探究数学问题，有助于强化数学思维才能。三、数学美的表达数学美的含义非常广泛，具有含蓄性，不像数学概念那样具有明确定义。从哲理上讲，

6、数或数理关系可从内在特质与形式表现两方面诠释万物之美。所以，数学美表达于两方面：一是表达于数学形式构造的外在美，比方：三角函数的双曲线的形式构造很美；二是表达于内在的规律、秩序和节奏美。同样，本文由论文联盟.Ll.搜集整理三角函数的双曲线从视觉形式看很美，但它更是对一种变化过程与趋势的美学反映。当然，对于艺术而言，诸如音乐的节奏与韵律、人体的比例与尺度、建筑的构造与造型等我们很容易去感知与理解。对于数学而言，就需要我们去发现，而且不是单纯去认知某种数学审美现象，而是将审美意识表达于数学思维过程，以期最大化地实现其审美价值和功能。这里，作者结合长期的高等数学教学理论，仅从美的形式、美的构造以及意

7、境美几方面来看数学之美。一形式美形式美主要从感官而言。许多数学图形和数学公式都表现出极强的形式美感，这有助于对数学知识的认知和理解。譬如：有人做过实验，让学生分别学习勾股定理a2+b2=2和欧拉公式Ei？仔+1=0，看学生能否体验到其中的美。结果发现，学生对勾股定理较容易感受到美，认为它很奇妙，且容易记忆和运用。对于欧拉公式，尽管有着很好的统一性和奇异性，它将数学中最常用的5个常数0，1，i，e，？仔用极为简单的方式联络到了一起，在历史上受到过很多人的赞美，但是，由于学生不理解这个公式的由来和其中包含的高等数学知识，绝大多数学生对这个公式反响漠然1。1.渐变指客观对象或某种现象逐渐的、有规律性

8、的变化。对于艺术而言，渐变是艺术家从事艺术创作普遍遵守的法那么，其审美性表达于一种强烈的空间感、运动感和无限延伸的张力，比方铁路边电线杆出现近大远小的变化，汽车行驶逐渐远去的过程，飞机声音的变大与消失，温度的逐渐升高等现象，就是一种典型的渐变效果。这种效果广泛运用于现代绘画与设计中。在数学中，许多概念和逻辑规律包含了这种渐变的审美意义。比方：等比数列、等差数列、极限概念等。同样，对于再简单不过的1、2、3、4、5，而言，我们赋予它不同的度量关系，就可产生多少、大孝远近、轻重、上下等详细可感的、渐变的审美现象，从而丰富了对数学的理解。2.变化与统一变化与统一是形式美的总法那么，是对立统一规律的详

9、细化。在艺术表现过程中，变化与统一常常成为指导艺术创作和衡量艺术效果的标尺。比方：大孝黑白、明暗、疏密等变化关系，相似形状、邻近色、环境色等的统一关系。同样，在数学领域大部分概念和构造体系都以变化与统一的关系存在。比方：平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线定理，从构造上都可以统一于圆幂定理，但又各有变化。解析几何中的抛物线、双曲线都统一于圆锥曲线，从视觉上相似，但内容上不一样。如有限与无限、曲线与直线、切线与割线的转化的概念比照等。我们之所以要探究或放大这些审美关系，因为它有助于我们对数学知识的理解和掌握，进一步提醒数学的微妙，将数学知识广泛运用于现代科技和社会开展中。3.系列化

10、系列化是艺术表现中强化相似性的审美原那么，即具有一样根本构造和属性的客体重复出现，起到强化视觉效果突出内在特质的作用。比方日常生活中人们使用的各種商品，绝大部分是以系列化方式开发和销售的：化装品按男性系列、女性系列，季节系列，香味系列，价额系列，款式系列等来开发和销售就是如此。最为耳熟能详的品牌二字，就是产品系列化的存在方式。同样，不同的数学知识体系，其内在规律和联络往往构成从公理到定理，再到推论、诱导公式等系列构造。如：三角函数源于对角、边关系的研究，其本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数的定理、推论、根本公式诱导公式、和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式、万能公式

11、等很多、很复杂，但只要从系列化角度去理解和把握其内在规律就使问题简单化了。所以，感知三角函数定理、推论、诱导公式等表达出来的系列化的形式美感，有助于我们掌握三角函数的本质，有助于进步学习高等数学的积极性。二构造美构造美主要讨论事物内在的特质与骨骼。法国数学家彭加勒曾作过阐述：数学的构造美是指一种内在的美，它来自各部分的和谐秩序，并能为纯粹的理智所领会，可以说，正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架，使我们面对一个秩序井然的整体，可以预见数学定理。2任何审美对象其背后都由内在构造做支撑，即审美表现包含现象美和内在美，内在美即构造美，对构造美的讨论是当代艺术的重要审美活动。事实上，数学

12、各领域有其明显的构造体系，但对这种构造体系的认知与研究往往是放在科学与逻辑范畴，而未放在艺术领域去感知，好在大家对数学中存在的构造美的研究逐渐受到重视。数学中构造美表达为两方面，一是指构造的规律、秩序、比例与和谐关系等特质。如：秩序性是数列的构造美，比例是黄金分割的构造特征，对称性是正弦函数、余弦函数的构造美等。二是指构造的关系美，就这一点而言，数学中群的概念就是最好的理解。数学领域中最能表达构造关系的是群的概念，群构造观点已浸透到数学各个领域。无论是几何学还是代数学等都可以按照不同的群构造加以分类，从构造观点来研究数学问题，有助于对某种数学特质和关系的理解，因为数学特质和关系往往是以一种体系

13、呈现，任何体系都存在于某种同构性的或相似性的构造中，所以在研究问题时只要抓住一种构造进展分析即可，构造分析法是数学研究的本质方法，数学的构造美同样表达于数学知识本身的严谨与和谐。比方：高等数学是利用极限这个工具去研究函数的各种特性，所以高等数学教学内容安排顺序上也表达明显的构造关系：从函数研究对象到极限论研究工具到微分函数的变化率再到积分相反问题及其它们的应用。这种整体构造从概念、定理、性质及其运用等表达出的严谨和谐的特点，如同五言律诗和七言律诗最根底的平仄构造是其构造美的表达。数学中构造美表达于对任何公理、定理的内涵表述的高度概括性，同样，由公理、定理推演出庞大的理论体系，有其内在严密的逻辑

14、构造，其形式表现极具相似性，这种极为简洁的形式关系和相似性说明内在严谨的构造美。三意境美数学思维过程中，人们往往不假思索地认为数学思维就是逻辑思维，事实上这是机械的认识，形象思维先于逻辑证明，逻辑思维往往是基于形象和空间意境之上的，或者说是基于美感直觉的帮助，尽管这种直觉往往是无从解释的，但在数学思维中，会产生无限接近结论的思维与方法。例如：平面上有直线L及其同侧的两点A、B，在直线L上求一点，使从X轴看A、B所张的视角最大。相信大家头脑中首先瞬间浮现的是平面、直线和两点处于某种空间状，形成一种画面感，在这个意境中不断调整、分析、判断其互相的对应的某种视觉关系，从而感知视角变化，整个过程都是形象思维过程，之后才去作逻辑证明。这种呈现于意识中的画面感、空间感、运动感等是美的，不仅有助于人们对数学的认知与理解，更大大地促进了数学的开展。四、完毕语树立数学审美意识，尽管数学美是个模糊且含蓄的问题，是认知者个体的内在感受和体悟，不像数学问题那样可以得到逻辑