实验三 快速傅立叶变换

1、实验三 快速傅立叶变换 1一、实验目的 加深对离散傅立叶变换(DFT)的理解。 掌握利用MATLAB语言进行离散傅立叶变换和逆变换的方法。加深对离散傅立叶变换基本性质的理解。掌握离散傅立叶变换快速算法的应用。2二、实验原理及方法有限长序列通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N的平方成正比）, 很难实时地处理问题, 因此引出了快速傅里叶变换(FFT)。FFT并不是一种新的变换形式,它只是DFT的一种快速算法.并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法.3DFT的快速算法FFT是数字信号处理的基本方法和基本技术，是必须牢牢掌握的。 时间抽选FF

2、T算法的理论推导和流图详见数字信号处理教材。该算法遵循两条准则： （1）对时间奇偶分；（2）对频率前后分。 这种算法的流图特点是： （1）基本运算单元都是蝶形 任何一个长度为N=2M的序列，总可通过M次分解最后成为2点的DFT计算。如图所示： 4WNk称为旋转因子 计算方程如下： Xm+1(p)=Xm(p)+WNkXm(q) Xm+1(q)=Xm(p)-WNkXm(q)5 （2）同址（原位）计算 这是由蝶形运算带来的好处，每一级蝶形运算的结果Xm+1(p)无须另外存储，只要再存入Xm(p)中即可，Xm+1(q)亦然。这样将大大节省存储单元。 （3）变址计算 输入为“混序”（码位倒置）排列，输出

3、按自然序排列，因而对输入要进行“变址”计算（即码位倒置计算）。“变址”实际上是一种“整序”的行为，目的是保证“同址”。 6FFT的应用凡是利用付里叶变换来进行分析、综合、变换的地方，都可以利用FFT算法来减少其计算量。FFT主要应用在 1、快速卷积 2、快速相关 3、频谱分析7快速傅立叶变换的MATLAB实现提供fft函数计算DFT格式 X=fft(x) X=fft(x,N) 如果x的长度小于N，则在其后填零使其成为N点序列，反之对x进行截断，若省略变量N，则DFT的长度即为x的长度。如果N为2的幂，则得到高速的基-2FFT算法；若N不是2的乘方，则为较慢的混合算法。如果x是矩阵，则X是对矩阵

4、的每一列向量作FFT。8快速傅立叶逆变换（IFFT）函数调用格式 y=ifft(x) y=ifft(x,N)当N小于x长度时，对x进行截断，当N大于x长度时，对x进行补零。9fftshift函数功能： 对fft的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中心。调用格式 y=fftshift(x) 当x为向量时，fftshift(x)直接将x中左右两半交换而产生y。 当x为矩阵时，fftshift(x)直接将x中左右、上下进行交换而产生y。10由题目可得x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)fs=100N=128/1024例：已知信号由15Hz幅值0.5的正弦信号

5、和40Hz幅值2的正弦信号组成，数据采样频率为100Hz,试绘制N=128点DFT的幅频图。11fs=100;N=128;n=0:N-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,N);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);mag=abs(y);stem(f,mag);title(N=128点)12利用FFT进行功率谱的噪声分析已知带有测量噪声信号 其中f1=50Hz,f2=120Hz, 为均值为零、方差为1的随机信号，采样频率为1000Hz，数据点数N=512。试绘制信号的功率谱图。13t=0:0.001

6、:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(1,length(t);Y=fft(y,512);P=Y.*conj(Y)/512; %求功率f=1000*(0:255)/512;subplot(2,1,1);plot(y);subplot(2,1,2);plot(f,P(1:256);14序列长度和FFT的长度对信号频谱的影响。已知信号 其中f1=15Hz,f2=40Hz,采样频率为100Hz. 在下列情况下绘制其幅频谱。 Ndata=32,Nfft=32; Ndata=32,Nfft=128;15fs=100;Ndata=32; Nfft

7、=32;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);subplot(2,1,1)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)title(Ndata=32,Nfft=32)16Nfft=128;n=0:Ndata-1;t=n/fs;x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);y=fft(x,Nfft);mag=abs(y);f=(0:length(y)-1)*fs/le

8、ngth(y);subplot(2,1,2)plot(f(1:Nfft/2),mag(1:Nfft/2)title(Ndata=32,Nfft=128)17线性卷积的FFT算法在MATLAB实现卷积的函数为CONV，对于N值较小的向量，这是十分有效的。对于N值较大的向量卷积可用FFT加快计算速度。由DFT性质可知，若DFTx1(n)=X1(k),DFTx2(n)=X2(k)则 若DFT和IDFT均采用FFT和IFFT算法，可提高卷积速度。18计算x1(n)和x2(n)的线性卷积的FFT算法可由下面步骤实现计算X1(k)=FFTx1(n);计算X2(k)=FFTx2(n);计算Y(k)=X1(k) X2(k);计算x1(n)*x2(n)=IFFTY(k).19用函数conv和FFT计算同一序列的卷积，比较其计算时间。clock函数读取瞬时时钟etime(t1,t2)函数计算时刻t1,t2间所经历的时间。20调