2022年全等三角形解题方法

1、略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时,挑选三角形全等的五种方法（“SSS” ,“SAS” ,“ASA ” ,“ AAS ” ,“HL ” ）中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯；假如挑选找到了一组对应边,再找其次组条件,如找到一组对应边就再找这两边的夹角用“SAS” 或再找第三组对应边用“ SSS” ；如找到一组角就需找另一组角（可能用“ASA ” 或“AAS ” ）或夹这个角的另一组对应边用“ SAS” ；如是判定两个直角三角形全等就优先考虑“HL ” ；上述可归纳为：SSS 用SSS A 用SAS AS 用SAS A 用AAS 或 ASA

2、证明三角形全等的方法、平移法构造全等三角形例 如图所示,四边形 ABCD 中, AC 平分 DAB ,如 AB AD , DC BC ,求证：B D 180；分析 ：利用角平分线构造三角形,将 D 转移到 AEC ,而 AEC 与 CEB 互补,CEB B ,从而证得 B D 180；主要方法是：“ 线、角进行转移” ；证明 ：在 AB 上截取 AE AD ,在 ADC 与 AEC 中,D CAD AEDAC EACAC AC A E B图ADC AEC （SAS）D AEC , DC CE , DC BC , CE BC ,CEB B , CEB AEC 180 , B D 180 . 、翻

3、折法构造全等三角形AB例 如图所示,已知ABC 中, ACBC ,ACB90, BD 平分ABC ,求证：BCCD ；证明 ： BD 平分ABC ,将BCD 沿 BD 翻折后,点 C 落在 AB 上的点 E ,就有 BECE ,在BCD 与BED 中,BBCBECBDEBDBDBDEBCD BED （SAS）DEAACB90, CDDE , CDA 已知ABC 中, ACBC ,ACB90,图 2 A45, EDAA45, DEEA , ABBEEABCCD ；3、旋转法构造全等三角形例 3 如图 3 所示,已知点E 、 F 分别在正方形ABCD 的边GA图 3 EDBC 与 CD 上,并且

4、AF 平分EAD ,求证： BEDFAE ；F分析 ：此题要证的BE 和 DF 不在同一条直线上,因而要设法B将它们“ 组合” 到一起；可将ADF 绕点 A 旋转 90 到ABG ,就ADF ABG , BE = DF ,从而将 BEBG 转化为线段CGE ,再进一步证明GEAE 即可；证明略；4、延长法构造全等三角形例 4 如图 4 所示,在ABC 中,ACB2B ,ABADDAC ,求证： ABACCD ；分析 ：证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等CD ；BDC

5、E于另一条短线段；此题可延长AC 至 E ,使 AEAB ,构造图 4 ABD AED ,然后证明 CECD ,就可得 ABAC5、截取法构造全等三角形例 5 如图 5 所示,在ABC 中,边 BC 上的高为 AD ,又BAECB2C ,求证： CDABBD ；分析 ：欲证明 CDABBD ,可以在 CD 上截取一线段等D于 BD ,再证明另一线段等于AB ；假如截取 DEBD （如图所图 5 示）,就ADE 可认为而ADB 沿 AD 翻折而来,从而只需证明CEAE 即可；证明略；构造全等三角形解题的技巧 全等三角形是中学几何三角形中的一个重要内容,是中同学必需把握的三角形两 大学问点之一（全

6、等和相像）,在解决几何问题时,如能依据图形特点添加恰当的帮助 线,构造出全等三角形,并利用全等图形的性质,可以使问题化难为易,特别制胜,现举 几例供大家参考；友情提示：证明三角形全等的方法有 一、见角平分线试折叠,构造全等三角形SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt ）；例1 如图1,在 ABC中, AD平分 BAC, AB+BD=AC 求证： B：C=2： 1；证法一：在线段 AC上截取 AE=AB,连接 DE；在 ABD和 AED中,AE=AB,1=2, AD=AD, ABD AED；DE=DB,B=AED；AB+BD=ACAE+DE=AC 又AE+CE=ACDE=CE；C=EDC；A

7、ED=C+EDC,AED=2C,即 B=2C；B：C=2： 1；图1 证法二：延长 AB到 F,使 BF=BD,连接 DF；F=BDF；ABC=F+BDF,ABC=2F；AB+BD=ACAB+BF=AC,即 AF=AC；在 ADF和 ADC中,AF=AC,1=2, AD=AD, ADF ADC；F=C；又 ABC=2F,ABC=2C,即ABC：C=2： 1；图2点评：见到角平分线时,既可把ABD沿 AD折叠变成 AED,也可把 ACD沿 AD折叠变成 AFD,利用全等三角形的性质,可使问题得以解决；练习：如图 3, ABC中, AN平分 BAC,CNAN于点 N,M为 BC中点,如 AC=6,

8、AB=10,求 MN的长；图3提示：延长 CN交于 AB于点 D；就 ACN ADN,AD=AC=6；又 AB=10,就 BD=4；可证 为 BCD的中位线；点评：此题相当于把ACN沿 AN折叠成 AND；二、见中点“ 倍长” 线段,构造全等三角形例2 如图4,AD为 ABC中 BC上的中线, BF分别交 AC、AD于点 F、E,且 AF=EF,求 证： BE=AC；图4证明：延长 AD到 G,使 DG=AD,连接 BG；AD为 BC上的中线,BD=CD,在 ACD和 GBD中,AD=DG,ADC=BDG, BD=CD, ACD GBD；AC=BG,CAD=G；AF=EF,CAD=AEF；G=

9、AEF=BEG,BE=BG,AC=BG,BE=AC；点评：见中线 AD,将其延长一倍,构造GBD,就 ACD GBD；例3 如图 5,两个全等的含有、角的三角极 ADE和 ABC如图放置, E、A、C三点在同始终线上,连接 BD,取 BD中点 M,连接 ME、MC图5 试判定 EMC的外形,并说明理由；解析： EMC为等腰直角三角形；理由：分别延长 CM、ED,使其相交于点 N,可证 BCM DNM；就 BC=DN,CM=NM 由于 DEA ACB,就 DE=AC,AE=BC,DE+DN=AC+AE 即 EN=EC,就 ENC为等腰直角三角形；CM=NMEMCN,就可知 EMC为等腰直角三角形

10、；注：此题也可取 EC的中点 N,连接 MN,利用梯形中位线定理来证明；亦可连接 AM,利用角的度数来证明；,练习 1：如图 6,在平行四边形 ABCD中, E为 AD中点,连接 BE、CE,BEC=图6 求证：（ 1）BE平分 ABC；（2）如 EC=4,且,求四边形 ABCE的面积；提示：见图中所加帮助线,证ABE DFE；练习 2： ABC中, AC=5,中线 AD=7,就 AB的取值范畴为多少？注：延长 AD到 E,使 DE=AD,连接 BE；就 BDE CDA；BE=AC=5,DE=AD=7；在 ABE中,BE=5,AE=14；利用三角形三边关系可求线段AB的取值范畴为： 9AB19；三、构造全等三角形,证线段的和差关系 例4 如图 7,点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上,且 1=2；图7 求证： BE+DF=AE；证明：延长 CB到 G,使 BG=DF,连接 AG；在 ABG和 ADF中,AB=AD,ABG=D=,BG=DF, ABG ADF；G=AFD,4=1；1=2,4=2；AB CD,AFD=2+3=4+3=GAE；又 G=AFD,G=GAE；AE=GE；EG=BE+BG=BE+DFBE+DF=AE；从以上几例可以看出,