中考数学总复习聚焦枣庄专题五函数压轴题试题

1、专题五函数压轴题类型一 动点函数图象问题匕类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情 口况.分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程 中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化.硒 （2016 济南）如图，在四边形 ABCD, AB/ CD / B= 90 , AB= AD- 5, BC= 4, M N, E分别是 AB, AQ CB上的点，AM= CE= 1, AhN= 3.点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 MB- BE向点 E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线 ND

2、 DC- CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一 个点也停止运动.设 APQ的面积为S,运动时间为t s,则S与t之间的函数关系白大致图象为（）【分析】由点Q从点N出发，沿折线 ND- DC- CE向点E运动，确定出点 Q分别在ND DQ CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数表达式，最后根据函数表达式确定对 应的函数图象.（2017 白银）如图1,在边长为4 cm的正方形ABCM,点P以每秒2 cm的速度从点 A出发，沿AABC 的路径运动，到点 C停止.过点 P作PQ/ Bq PQ与边AD（或边CD）交于点Q PQ的长度y（cm）与点P的运 动时间x（s

3、）的函数图象如图2所示.当点P运动2.5 s时，PQ的长是（ ）图1图2A. 2也 cmB. 3g cmC. 4也 cmD. 5镒 cm（2017 葫芦岛）如图，菱形ABCD勺边长为2, /A= 60 ,点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线 BC向右运动，且速度相同，过点Q作rQHLBR垂足为H,连接PH.设点P运动的距离为x（0 x2） , BPH的面积为S,则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）类型二二次函数综合题二次函数的综合题是中考数学的必考问题，一般作为压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大，是考生失分的重灾区.1 .二次函数动点问题例2 （ 2017 滨州）如

4、图，直线y=kx+b（k, b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-4, 0）, B（0 , 3）, 抛物线y = -x2+2x+1与y轴交于点C.（1）求直线y = kx+b的函数表达式；（2）若点P（x, y）是抛物线y=- x2+2x+1上的任意一点，设点 P到直线AB的距离为d,求d关于x的函 数表达式，并求d取最小值时点P的坐标；若点E在抛物线y=- x2+2x+1的对称轴上移动，点 F在直线AB上移动，求C曰EF的最小值.【分析】（1）利用待定系数法可求得直线表达式 ；（2）过P作PHLAB于点H过H作HQLx轴，过P作PQLy 3轴，两垂线交于点 Q则可证明 PH。ABA（O设 H

5、（m, 401+ 3）,利用相似三角形的性质可得到d与x的函数表达式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的 P点的坐标；（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C,由对称的T生质确定出 C点的坐标，利用（2）中所求函数表达式求得 d的值，即可求得CE + EF的最小值.解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或 抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行 计算.（2017 荷泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ 1交y轴于点A交x轴正半轴于点B（4, 50）,与过A点的直线相交

6、于另一点 D（3, 2）,过点D作DCLx轴，垂足为 C.（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC（不与点O, C重合），过P作PNLx轴，交直线 AD于M交抛物线于点 N,连接CM求 PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设 OP的长为t,是否存在t,使以点M, C, D, N为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由.2.二次函数存在点问题例W ( 2017-苏州)如图，二次函数 y = x2+ bx+c的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C, OB= OC.点D在函数图象上，CD/x轴，且CD= 2,直线l是抛物线的对称轴，E是抛物

7、线的顶点.(1)求b, c的值；(2)如图，连接 BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图，动点 P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与 BC交于点M与抛物线交于点 N.试问： 抛物线上是否存在点 Q使彳PQN与4APM的面积相等，且线段 NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b的值；由OB= OC可用c表示出B点坐标，代入 抛物线表达式可求得 c的值；(2)可设F(0, m),则可表示出F的坐标，由B, E的坐标可求得直线 BE的 表达式，把F坐标代入直线 BE表达式可得

8、到关于 m的方程，可求得 F点的坐标；(3)设点P坐标为(n, 0),可表示出PA PB, PN的长，作QFRL PN垂足为R,则可求得QR的长，用n可表示出 Q R, N的坐标， 在RtQRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标.司表息姑*,解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点 的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出 等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.(2016-日照

9、)如图1,抛物线y = - 3(x 2) 2+n与x轴交于点 A(m- 2, 0)和B(2m+ 3, 0)(点A在点 5B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC.求m, n的值；(2)如图2,点M, P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接 PM PG是否存在这样的点 P,使4PCM为 等腰三角形、 PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.二次函数相似问题例.下(2017枣庄)如图，抛物线y= 2x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6, 0),点C坐标为(0, 6),点D是抛物线的顶点，过点 D作x轴的垂线，垂足为 E,连接BD.(

10、1)求抛物线的表达式及点 D的坐标；(2)点F是抛物线上的动点，当/ FBA= /BDE时，求点F的坐标；(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MM x轴与抛物线交于点 N点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MNK;对角线作正方形 MPNQ请写出点Q的坐标.备用图【分析】(1)由B, C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线表达式，再求其顶点D即可；(2)过F作FGx轴于点G,可设出F点坐标，利用 FB6 ABDtE由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；(3),由M N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点 Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标

11、，代入抛物线表达式可求得Q点的坐标.二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存在点的坐标表示出与相似三角形有关的线 段长，要注意边的对应有多种可能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利用相似三角形的对应边成比 例列出方程，通过解方程求得结果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况.(2016 济南)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a W0)与x轴交于点 A(4 , 0),与y轴交于点B.在x 轴上有一动点 E(m, 0)(0m4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线于点 巳过点P作PML AB 于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；C 6(2)设4P

12、MN的周长为C, 4AEN的周长为 Q,若方=.求m的值；C2 5如图2在(2)的条件下，将线段。透点O逆时针旋转得到 OE ,旋转角为“(0 “90 ),连接E A,E B,求E A+手：B的最小值.参考答案【聚焦枣庄】【例1】D 如图，过点 D作DFLAB于点F,过点Q作QGLAB于点G当0t2时，点Q在线段ND上.AB/ CD /B= 90 ,，四边形 BCD乱矩形,DF= BC= 4, .AF= AE2- DF=3,DG= BF= 2,.AQ= AN+ NQ= 3+t, AP AM+ MF 1+t.QG AQ而一ABQG/ DF, .AQ氏AADF TOC o 1-5 h z 口uQG

13、 3+t4即寸二-，QG= 5(3 +t).S= 1AP- QG= 1X(1+t) X4(3+t) =|t2 + 8t+6,且当 t=2 时，点 Q 恰好运动到点 D, S= 6; 225555当2vtW4时，点Q在线段DC上， 11.S= 2AP- BC= 2*(1 +t) X4= 2t +2;当45X(12 2t) =5t + 30,且当t=5时，点Q运动到点E后停止运动，此时 S= 5.综上所述,1t2+/+6, 0t2, 5552t +2, 2t4,5t + 30, 4t5,.S与t之间的函数关系的大致图象为D.变式训练1. B 2.A【例 2】(1) .4= kx+b 经过 A( 4

14、, 0), B(0, 3),-4k + b=0, b= 3,解得b = 3,3直线的函数表达式为y=4x+3.(2)如图，过点P作PHLAB于点H,过点H作x轴的平行线 MN分别过点 A P作MN勺垂线段，垂足分别 为 M, N.“3设 H(m, 4m+ 3)w3，则 M(4, T 3),N(x, -m+ 3), P(x , x2+2x+1). 4,. PHL AR / PHNF /AHMk 90 . AML MN Z MAH- / AH M= 90 , ./ MAH= / PHN./AMH= /PNH= 90 , .AM柞 HNP. MA/y 轴，.MAWAOBA.OBA NHPNH PN

15、PHT= Z= 5, TOC o 1-5 h z (了 m+ 3) ( x2+2x+1).x m4d, ， ，1, 3 r45整理得 d = -x2 x+55当*=，时，d最小，即P(1,曹). 8864如图，作点C关于直线x= 1的对称点C,过点C彳CFLAB于F,交抛物线的对称轴x=1于点E,此时CE+ CF的值最小.根据对称性，易知点 C (2, 1).点C在抛物线上，.由(2)得 C F=4X 222 + 8 = 1，555即CE+ EF的最小值为y.变式训练52,3.解：把点 B(4, 0),点 D(3, 2)代入 y=ax + bx+1 中,316a + 4b+1 = 0,a= 一

16、一，4得5 解得9a+3b+1 _2，b=一b 4 ，抛物线的表达式为 y = - 4x2 + -4-x+ 1.(2)设直线 AD的表达式为 y=kx+b, 5. A(0, 1), D(3, 2),b=1,L 1k=5解得 23k+b=5，b=1,1直线AD的表达式为y=2x+ 1.设 P(t , 0),则 M(t, 2t +1), PP2 1t + 1. CDLx 轴，PC= 3-t ,1 PCM -PC-21PMk 济3 -t)(12t + 1)-1t2 一【+ 4t+2=一在 一2)2十25.PCM面积的最大值是2516.OP= t, .点M N的横坐标为t,“13 2 11设 M(t,

17、 2t + 1), N(t,不 +t + 1), MNk 3 2114t +7+1 1 2t5 cd)= 2.以点M, C, D, N为顶点的四边形是平行四边形，MNk CD 即/+* =|，整理得一3t2+9t -10=0. _ 2A= 9 4X3X10= 39,.方程无实数根，不存在t,使以点M, C, D, N为顶点的四边形是平行四边形.【例 3】(1) .CD/ x 轴，CD= 2,，抛物线对称轴为直线l: x=1,b 2= 1, b= 2. OB- OC C(0, c) , .B 点的坐标为(一c, 0),0= c2+2c+q 解得 c= 3或c= 0(舍去), c= - 3.(2)

18、设点F的坐标为(0 , m).对称轴为直线l：x=1,，点F关于直线l的对称点F的坐标为(2, m).直线 BE经过点 B(3, 0), E(1 , 4),直线BE的表达式为y=2x6.点F在BE上,.m= 2X2 6=2,即点 F 的坐标为(0 , 2).(3)存在点Q满足题意.设点P坐标为(n , 0),则 PA= n + 1, pb= PM= 3-n, PNh - n2+2n+ 3.如图，作QFRLPN,垂足为R,S APQNJ= SaAPM， 2(n +1)(3 -n) =1( -n2+2n + 3) - QR.QFR= 1.点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n - 1, n2-

19、4n) , R点的坐标为(n , n2- 4n), N点的坐标为(n , n - 2n - 3).在 RtQRN中，NQ= 1 + (2n -3)2 TOC o 1-5 h z 3 . .，n=2时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（5，4）.点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+11, n24）.同理，nQ= 1 + （2n 1）2,，一，n=2时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（,，）.115315综上所述，满足题意的点Q的坐标为（2,彳）或（2,彳）.变式训练4.解：（1）二抛物线的对称轴是x = 2,，nn- 2+2m+ 3=4,解得 nn= 1. .A（ 1, 0）, B（5

20、, 0）.把A（ 1, 0）代入抛物线表达式，_3-得一 Z（9 + n） = 0,解得 n= - 9.5 . nn= 1, n= 9.(2)假设点P存在，设点 P(x, 0)(0 x 05), 当点P为APMB的直角顶点时，CM= MP.MP。“名器CM器Xo.3J34-9x0=-5 TOC o 1-5 h z .MP= 3(5x), CM= *4 55334.则(5 x0)=七一x0,解得 55，P(*, 0), 5当点M为4PMB的直角顶点时，则 CM= MP.PM BM PB COT OF BC .PM=3而5x。)5 BM=Xo),.CM=弧9+5xo标(5X0)=而.39 + 5x

21、 o3则=(5x0)=斛得 xo = -.34,3443，p(4, 0).综上所述，满足条件的点P的坐标为（对34二9, 0）或（3, 0）.54【例4】（1）将点B（6,0)一1 2C(0, 6)代入 y = 2x + bx + c,18 + 6b + c = 0, c= 6,解得b=2,c= 6,，抛物线的表达式为 y = - 2X2 + 2x + 6.- y=- 2x2 + r2x + 6=-1(x-2)2+8,点D的坐标为(2 , 8).(2)如图，当点F在x轴上方时，过点 F作FGLx轴于G 连接BF. 设F点的坐标为(x, -2x2+ 2x + 6),/FB- /BDE /FG乐

22、/BED= 90 , FG BE.FBKB DE,bg= de点 B(6, 0)，点 D(2, 8),点 E(2 , 0), BE= 4, DE= 8, OB= 6,-1x2+ 2x+6 TOC o 1-5 h z _24-6x = 8，解得 Xi= - 1, x2= 6(舍去)，.点F的坐标为(一1, 2).当点F在x轴下方时， 9同理可得点F的坐标为(一3,余.一 ，7 ,9综上可知，满足条件的点F有两个：Fi(-1, 2)或F2(-3, ,)(3)设对角线MN PQ交于点O ,如图.点M, N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPN成正方形，点P为抛物线对称轴与 x轴的交点，点 Q在抛物线对称轴上.设点Q的坐标为(2 , 2n),则点M的坐标为(2 -n, n).点M在