中考数学一轮复习第23讲特殊四边形练习

1、2017年中考数学一轮复习第23讲特殊四边形【考点解析】知识点一、矩形的性质及判定的应用【例1】（2016 四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形 的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的 距离之和是（）A. 4.8 B . 5 C . 6 D . 7.2【考点】矩形的性质.【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,可求得 OA=OD=5, 4AOD的面积，然后由 $ aod=Sa aop+S dop=OA?PE+OD?PF 求得答案.【解答】解：连接OP,矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,S 矩形 abcd=AB

2、?BC=48OA=OC, OB=OD, AC=BD=10 ,OA=OD=5Sa acd=S 矩形 abcd=24 ,- Sa aod=Sa acd = 12 , Saaod=Sa aop+Sa DOP=yOA?PE+-OD?PF=1-X5XPE+ -1-X5XPF= （ PE+PF ） =12 ,-1r -il* -解得：PE+PF=4.8 .故选：A.【变式】（2016 四川眉山 3分）如图，矩形 ABCD43, O为AC中点，过点O的直线分别与 AR CD 交于点E、F,连结BF交AC于点M 连结DEBO.若/ COB=60,FO=FC则下列结论：FB垂直平分 OC4EO里ACMBDE=E

3、FS /oe： Sabc帝2: 3.其中正确结论的个数是 （ ） A. 4个B. 3个C . 2个D. 1个【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；证 OMBA OEB 得 EO中 CMB先证 bef是等边三角形得出 bf=ef,再证？debf得出DE=BF所以得 DE=EF由可知 BCIWABEQ则面积相等， AOE和 BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即 Saoe： SaboAE BE由直角三角形30角所对的直角边是斜边的一半得出 BE=2OE=2AU 得出结论 Saaoe： SabofAE: BE=1: 2.【解答】解：.矩形 ABCD43,。为AC中点，.O

4、B=OPZ COB=60 ,.OBC是等边三角形，.OB=BQ FO=FQFB垂直平分OG故正确；.FB垂直平分OG. .CM 摩OMB. OA=OP Z FOCW EOA Z DCO2 BAQ.-.FO(AEO/.FO=EQ易得OBLEF,.OM 母 AOEB.,.EOB2ACM5故正确；由OM摩0EB24CMB 得/ 1=/2=/3=30 , BF=B.BEF是等边三角形，.BF=Ef? DF/ BE 且 DF=BE四边形DEBF是平行四边形，DE=BF，DE=EF故正确；在直角 BOE中3=30 ,BE=2O 匚 / OAEW AOE=30 , .AE=OEBE=2AES ZAOE： S

5、BCM=SaAOE Sa boE=1 ： 2,故错误；所以其中正确结论的个数为 3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实 相当于四个证明题，属于常考题型.知识点二、菱形的性质及判定的应用【例2】（2015辽宁朝阳）如图，在 ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段 AD及 其延长线上，且 DE=DF给出下列条件：BE1EQBF/ EQAB=AC从中选择一个条 件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）.【答案】，证明见解析.【分析】

6、由点 D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且 DE=DF即可得到 四边形BECF是平行四边形，由 AF是BC的中垂线，得到 BE=CE从而得到结论.【解析】 BD=CD DE=DF .四边形 BECF是平行四边形，BE1 EC时，四边形 BECF是矩 形，不一定是菱形；四边形BECF是平行四边形，则 BF/ EC一定成立，故不一定是菱形；AB=AC时，是BC的中点，AF是BC的中垂线，BE=CE，平行四边形 BECF是菱形. 故答案为：.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件来选择让问 题成立的条件是解题关键.【变式】（2016 青海西宁 2分）如

7、图，在菱形 ABCD43, E, F分别是AQ BD的中点，若EF=2, 则菱形ABCM周长是 16 .【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4,然后根据菱形的性质计算菱形ABCM周长.【解答】解：: E, F分别是AD, BD的中点，.EF为4ABD的中位线，AB=2EF=4四边形ABC型菱形，AB=BC=D=DA=4，菱形ABCD勺周长=4X 4=16.故答案为16.知识点三、正方形的性质及判定的应用【例3】（2016 四川眉山 3分）把边长为3的正方形ABC噬点A顺时针旋转45得到 正方形AB C D,边BC与D C交于点O,则四边形 ABOD的周

8、长是（）A. 62 B . 6 C. 3亚 d,【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形 AB C D,利用勾 股定理的知识求出 BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BQ OD ,从而可求四边形 ABOD的周长.【解答】解：连接 BC ,旋转角/ BAB =45 , / BAD =45 ,在对角线AC上，,. B C =AB =3,在 RtAB C中，AC =卜， 亡=30.B/ C=3v- 3,在等腰 RtOBC 中,OB=BC=3 6-3,在直角三角形 OBC中，OC而（啦-3） =6-3历，.OD =3-OC =32- 3,.四边形 ABOD的周长是

9、：2AD +OB+OD=6+3 也 -3+啦 -3=啦 .故选：A.【点评】本题考查了旋转的性质、 正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系.【变式】（2016 四川攀枝花） 如图，正方形纸片 ABCD43,对角线AG BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕 DE分别交AB AC于 点E、G,连结GR给出下列Z论：/ ADG=22.5 ;tan/AED=?S aagcfSaogS四边形AEF%菱形；BE=2OG若 Saog=1 ,则正方形 ABCM面积是6+旬电其中

10、正确的结论个数为（）A. 2 B . 3 C. 4 D. 5【考点】四边形综合题.【分析】由四边形 ABC虚正方形，可得/ GAD=ADO=45 ,又由折叠的性质，可求得/ ADG 的度数；由 AE=Ef2AE;由AG=GFOG可彳# AGD的面积 OGD的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得 EFG是等腰三角形，即可证得 AE=GF易证得四边形AEFG菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得 BE=2OG根据四边形 AEF加菱形可知 AB/ GF，AB=GF再由/ BAO=45 , / GOF=90可得出 OGF时等腰直角三角形，由 Saog=1求出GF的长，进而可得出 BE及AE的长，利用正

11、方形的面积 公式可得出结论.【解答】解：二四边形 ABC比正方形，./ GAD=ADO=45 ,由折叠的性质可得：/ ADG=ZADO=22.5 ,故正确.由折叠的性质可得：AE=EF /EFDhEAD=90 ,.AE=EFC BE,.AE OG AAGDAOGDW,S AAGD SaOGD故错误. /EFDh AOF=90 ,EF/ AG.ZFEG= AGE / AGE= FGEFEGW FGE.EF=GF.AE=EF.AE=GF故正确.,. AE=EF=GF AG=GF.AE=EF=GF=AG四边形AEFG是菱形，OGF=OAB=45 ,.EF=GF= -：OGBE=(2EF=/2X 血O

12、G=2OG故正确.四边形AEF%菱形，.AB/ GR AB=GF / BAO=45 , / GOF=90 ,.OGF时等腰直角三角形. S AOGF=1 ,.?OGM,解得 OG=、.,.BE=2OG=21,GF=-上.二二二2,.AE=GF=2.AB=BE+AE=2 2+2,1- S正方形 ABC二AE2=(2V2+2) 2=12+85L 故错误.其中正确结论的序号是：.故选B.【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.知识点四、特殊平行四

13、边形的综合应用【例4】（2015辽宁铁岭）如图，矩形 ABC邛，AB=& AD=。点E、F分别在边CD AB上.（1）若DE=BF求证：四边形 AFC弱平行四边形；（2）若四边形 AFC弱菱形，求菱形 AFCE的周长.【答案】（1）证明见解析；（2） 25.【分析】（1）由四边形 ABC的矩形，得至ij AB=CD AB/ CD由DE=BF得至U AF=CE AF/ CE，即可证明四边形 AFC比平行四边形；由四边形AFCE是菱形，得到 AE=CE然后设DE=k表示出AE, CE的长度，根据相等 求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长.【解析】（1）二.四边形 ABCM矩形，AB=CD AB/

14、 CD DE=BF，AF=CE AF/ CE，四 边形AFC既平行四边形；（2）二.四边形 AFCE 是菱形，AE=CE 设 DE=x,贝U AE=j62 X2 , CE=8 x ,贝U后X2 8 X,解得：x= 7,则菱形的边长为：8=竺，周长为：4X 竺=25,故44 44菱形AFCE勺周长为25.【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能 正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键.【变式】（2016 四川内江） 如图所示， ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点 A作BC 的平行线交CE的延长线于F,且AF= BR连接BF.求证：D是BC的

15、中点；（2）若AB= AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.F A考）K6行，特殊四边形的性质与判定。（油明:.1SE ad的中点，ae= deB AF/ BCD / ACE= / DCE / FAE= / CDE.EAF AEDC.AF= DC.AF= BD,.BD= DC 即D是BC的中点.(2)四边形AFBD矩形.证明如下：AF/ BQ AF= BD,四边形AFB皿平行四边形. AB= AC,又由(1)可知D是BC的中点，ADL BCAFBD是矩形.知识点五、四边形的研究应用【例5】(2016海南)如图1,在矩形ABCD43, BO AB, / BAD的平分线 AF与BQ

16、BC分别 交于点E、F,点。是BD的中点，直线 OK/ AF,交AD于点K,交BC于点G.(1)求证：4 DOK ABO/ACB45 ,APM不可能是等腰直角三角形，点M不存在； 若点P为直角顶点时，点 M在第一象限，如图2, 过点M作MNL CB，交CB的延长线于点 N贝U RtMB国RtAPNIM.AB=PN=4 MN=BP设 M （x, 2x- 3）,贝U MN=x- 4,. 2x 3=4+3 ( x 4),_14x一，“14 反M ( f)；若点M为直角顶点时，点 M在第一象限，如图3,设 M (x, 2x 3),过点M作MG LOA交BC于点Hi,则 RtAAMGRtAPMHi,，A

17、G=MHi=3- (2x-3),.x+3- (2x-3) =4, x=2Mi (2, 1);设 M2 (x2x - 3),同理可得x+2x - 3-3=4,-10 11.-M2 (飞-,;14 19综上所述，点M的坐标为（号，寸），（2, 1）（3） x的取值范围为-2wxv0或0vxw&或山虫1 wxw空或“ ”后 WxW2.55555【典例解析】【例题1】（2016贵州毕节）如图，正方形ABC曲边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH若BE: EC=2 1,则线段CH的长是（）A. 3 B.4 C. 5 D. 6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】根据

18、折叠的性质可得 DH=EH在直角ACEH中，若设CH=x,则DH=EH=9x, CE=3cm 可以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH的长.【解答】解：由题意设 CH=xcm贝U DH=EH=（9 x） cm,.BE EC=2 1, .CE=BC=3cm在 RtECH中，eN=eC+C氏即（9x） 2=32+x2,解得：x=4,即 CH=4cm故选（B）【例题2】（2016 福建龙岩 4分）如图，在周长为 12的菱形ABC邛，AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点，则 EP+FP的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题.【分析】作F点关于B

19、D的对称点F,则PF=PF ,由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EP+FPW最小值，然后求得 EF的长度即可.【解答】解：作 F点关于BD的对称点F,则PF=PF ,连接EF交BD于点P.EP+FP=EP+FP.由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时ep+fp=ep+fp=ef .四边形ABC阴菱形，周长为12,.AB=BC=CD=DA=AB/ CD.AF=2 AE=1, . DF=AE=1四边形AEF D是平行四边形，.EF =AD=3.EP+FP的最小值为3.故选：C.【例题3】（2016 江西）如图是一张长方形纸片ABCD已知AB=8

20、, AD=7, E为AB上一点，AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片（ AEP ,使点P落在长方形ABCM某一条边上，则等腰三角 形AEP的底边长是.【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.【分析】分情况讨论：当AP=AE=5时，则4AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=/AE=5 即可；当PE=AE=5寸，求出BE,由勾股定理求出 PB,再由勾股定理求出等边 AP即可；当PA=PEM,底边AE=5;即可得出结论.【解答】解：如图所示：当AP=AE=5寸， / BAD=90 ,AEP是等腰直角三角形，底边 PE=/2AE=5/2;当PE=AE=5寸， BE=AB- AE=8- 5=3,

21、 Z B=90 ,pb=/f 产-BE2二4,底边 AP=/AB2+PB?=7s2 + 42=4/5；当PA=PEM,底边 AE=5;综上所述：等腰三角形 AEP的对边长为5或4百或5;故答案为：5&或4i或5.【例题4】（2016 陕西）如图，在正方形ABCD43,连接BR点。是BD的中点，若 M N是边AD上的两点，连接 MO NO并分别延长交边 BC于两点M、N,则图中的全等三角形共有()A. 2对B . 3对C . 4对D . 5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定.【分析】可以判断 AB里ABCID AMDAM BO ANOD N OB AMONAM ON 由 此即可对称结论.【

22、解答】解：二四边形 ABC比正方形，AB=CD=CB=AD A=Z C=Z ABCW ADC=90 , AD/ BG在 ABD和 BCD中，fAB=BCZA=ZC,. .AB ABCD1. AD/ BC/ MDO= M BQ在MODAM OB中，fZMDO=Zir jo旅=毓. .MDAM BO 同理可证 NO牵AN7 OB /.A MONAM ON ,，全等三角形一共有 4对.故选C.【中考热点】【热点1】(2016 湖北随州 3分)如图，边长为1的正方形ABCD勺对角线AG BD相交于点O.有 直角/MPN使直角顶点 P与点O重合，直角边PM PN分另1J与OA OB重合，然后逆时针旋 转

23、/MPN旋转角为 9 (0 。90 ) , PM PN分别交AR BC于E、F两点，连接 EF交 OB于点G,则下列结论中正确的是(1), (2), (3), (5).EF=JOE (2) S四边形OEBF： S正方形ABC=1 : 4； (3) BE+BF=丹OA (4)在旋转过程中，当3 BEF与COF的面积之和最大时， AE令；(5) OG?BD=AECF2.【考点】四边形综合题.【分析】(1)由四边形 ABC虚正方形，直角/ MPN易证得 BO国COF( ASA,则可证得 结论；1(2)由(1)易证得 S四边形OEB=SzBOC=S正方形ABCD 则可证得结论；金(3)由BE=CF可得

24、BE+BF=BC然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=OA(4)首先设AE=x,则BE=CF=b x, BF=x,继而表示出 BEF与 COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；(5)易证得 OEDAOBE然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG?OB=OE再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论.【解答】解：(1)二.四边形ABC比正方形，.OB=OC/OBEW OCF=45 , / BOC=90 ,/ BOF廿 COF=90 ,/ EOF=90 ,/ BOF廿 COE=90 ,./ BOE= COF在 BOE和 COF中，rZB0E=ZC0F，。耳oc,b

25、Z0BE=20CF. .BO国COF( ASA,.OE=OF BE=CF.EF=.，OE 故正确； b 四边形 oeb=S/bo+Szboe-Sboe+Sacof-Sboc- S 正万形 abcdS四边形oebF S正方形abcd=1: 4;故正确；BE+BF=BF+CF=BC=2O/ 故正确；(4)过点O作O也BG.BC=1. .OH2 BC寺,设 AE=x,贝U BE=CF=b x, BF=x,S abef+Sa coF=BE?BF+CF?OH=x (1-x)寺(1-x) X-1- (x-1-) 2+jf,a= -0,2，当 X=g时，Sabef+SacofM大； 4即在旋转过程中，当 B

26、EF与COF的面积之和最大时， AeM;故错误； q . /EOG=BOE ZOEG = OBE=45 ,：.AOE(G AOBE.OE OB=OGOE.og?ob=Oe142. OB=-BD), OE=EF, ,22.1.og?bd=E!f.在 BEF 中，EF2=Bd+BP, EF2=AE2+CF2,.OG?BD=A2ECd.故正确.故答案为：(1), (2), (3), (5).【热点2】(2016 浙江省绍兴市)如图，矩形 ABCM, AB=4, BC=2 E是AB的中点，直线l平行于 直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD&上，将矩形 ABCDg直线 EF折叠

27、，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为 2狙或4-2用 .【考点】矩形的性质；翻折变换(折叠问题)【分析】当直线l在直线CE上方时，连接 DE交直线l于M,只要证明 DFM是等腰直角三 角形即可利用 DF=/2 DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由/ DEFi=ZBEFi=ZDFiE, 得到DF=DE,由此即可解决问题.【解答】解：如图，当直线 l在直线CE上方时，连接 DE交直线l于M,四边形ABCD矩形，/ A=Z B=90 , AD=BC.AB=4 AD=BC=2.AD=AE=EB=BC=2.ADE AECB是等腰直角三角形，/AEDW BEC=45 ,/ DEC=90 , l /

28、 EG.EDL l ,EM=2=A E点A、点M关于直线EF对称， / MDF= MFD=45 ,. DM=MF=DEEM=2/- 2,.DF= -DM=4- 2羲.当直线l在直线EC下方时，. / DEE=/BEF=/DFiE,.DFi=DE=2. ,综上所述DF的长为2%四或4 - 2点.故答案为2%万或4- 2&.【热点3】（2016海南）如图1,在矩形 ABCD43, BC AB, / BAD的平分线 AF与BQ BC分别交于点 E、F,点。是BD的中点，直线 OK/ AF,交 AD于点K,交BC于点G.（1）求证：4 DOK ABOG AB+AK=BG（2）若 KD=KG BC=4-亚.求KD的长度；如图2,点P是线段KD上的动点（不与点 D K重合），PM/ DG交KG于点M, PN/ KG交迤DG于点N,设PD=m当Sapm= 4时，求 m的值.【考点】四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.【分析】（1）先根据AAS判定DOKABOG再根据等腰三角形 ABF