2021-2022学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

1、2021-2022学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知，若（为虚数单位），则（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B将展开可得答案.【详解】，所以故选：B2. 已知向量，满足，则（ ）A 0B. C. D. 【答案】D【详解】由题得.故选：D3. 过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 1或3【答案】D【详解】过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定平面个数是；当三条直线不在同一个平面内时，它们

2、所确定的平面个数是.故选：D4. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模是（ ）A. 5B. C. D. 3【答案】C首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.5. 已知，则cos等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为，又因为，所以，所以，所以，故选：A.6. 如图，在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】故选：B7. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.8. 在中分别是的对边，若且，则的面积为（ ）A. B. C. D

3、. 2【答案】B【详解】解：在中，由，即，由正弦定理得，化简得，又由余弦定理得，即，解得或（舍），的面积故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9. 下列结果为零向量的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【详解】A项，；B项，；C项，；D项，.故选：BCD.10. 下列各式中值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【详解】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，故选项D错误；故选：AC11. 在中，角，的对边分别为，若，则下列结论正确的是（

4、）A. B. C. D. 【答案】AD根据正弦定理得到，根据余弦定理得到，得到答案.【详解】，故，根据正弦定理：，即，故，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故.故选：.12. 正方体的棱长为，分别为，的中点则（ ）A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行C. 平面截正方体所得的截面面积为D. 点与点到平面的距离相等【答案】BC【详解】对于A，若，因为且，所以平面，所以，所以，此时不成立，所以线与直线不垂直，故A错误；对于B，如图所示，取的中点，连接，由条件可知：，且,又平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为为的中点，所以，所以

5、四点共面，所以截面即为梯形，由题得该等腰梯形的上底下底，腰长为，所以梯形面积为，故C正确；对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. i是虚数单位，则为_.【答案】【详解】,故答案为：14. 已知为单位向量，当它们的夹角为时，则在方向上的投影为_【答案】【详解】因为在方向上的投影为，且，所以，故答案为：15. 如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：与平行；与是异面直线；与成角；与垂直.以上四个结论中，正确的是_.【答案】【详解】展开图复原的正方体如图，不难看出

6、：与平行；错误的，是异面直线；与是异面直线，错误；是平行线；从图中连接，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；由于，所以平面，所以与垂直.正确判断正确的答案为.故答案为.16. 已知，满足，则_.【答案】求得的值，由此求得的值.【详解】由于，所以，由于，所以，所以，.故答案为：四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知z为复数，为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位，为z的共轭复数.（1）求；（2）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设 为实数又为纯虚数 ； （2

7、） 因为在复平面对应的点在第三象限 18. 设向量，.（1）求；（2）若，求的值；（3）若，求证：A，三点共线.【答案】（1）1 （2）2 （3）证明见解析【小问1详解】，；【小问2详解】，所以，解得：，所以；【小问3详解】因为，所以，所以A，三点共线.19. 如图所示，长方体中，、分别为、的中点，（1）判断与平面的位置关系，并证明；（2）若，求与所成角余弦值.【答案】（1）/平面，证明见详解；（2）【详解】（1）/平面如图取的中点，连接，由、分别为、的中点，所以可知/且/且，又/且所以/且故四边形为平行四边形，所以/，又平面而平面，所以/平面（2）连接，由/所以与所成角即与所成角又，故与所成角的余弦值20. 在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1） （2）【小问1详解】由已知条件得，；【小问2详解】设点，则，即，又，.21. 在锐角中，已知，且（1）求角B的大小；（2）若，求面积的最大值【答案】（1） （2）【小问1详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为锐角三角形，所以，所以，.【小问2详解】设角A、B、C所对的边为a,b,c，则，由余弦定理得，所以，即，又，所以，解得，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值.22. 在四边形中